Corrigé du brevet de maths 2017 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2017 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Nord 2017
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nord 2017 est découpé en 6 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « QCM sur les nombres » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Carrés et cercle » (exercice 2). Puis la correction reprend « Probabilités » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Allergies alimentaires » (exercice 4). Par ailleurs, en outre, tu trouves la solution rédigée de « Scratch : le chat et la balle » (exercice 5).
Enfin, le corrigé explique « Enclos et tableur » (exercice 6).
Ainsi, le corrigé corrigé Nord 2017 te fait revoir les fractions, les équations, les racines carrées, le théorème de Pythagore et les aires, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2017) : QCM sur les nombres
1. Pour additionner deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur ; ici 12 est un multiple commun de 4 et de 3 :
\[\dfrac{7}{4}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{21}{12}+\dfrac{8}{12}=\dfrac{29}{12}\]
Réponse B : \(\dfrac{29}{12}\). (La réponse A vient de l’erreur qui consiste à additionner numérateurs et dénominateurs.)
2. Ensuite, on isole \(x\) : \(5x+12=3\) donne \(5x=3-12=-9\), puis \(x=\dfrac{-9}{5}=-1{,}8\). Vérification : \(5 \times (-1{,}8)+12=-9+12=3\). Réponse C : \(-1{,}8\).
3. À la calculatrice, \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\), donc \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \approx \dfrac{3{,}236}{2} \approx 1{,}618\). Arrondi au dixième : 1,6. Réponse B : 1,6. (Ce nombre s’appelle le nombre d’or.)
Corrigé de l’exercice 2 : les deux carrés et le cercle
1. Construction avec AB = 3 cm, dans l’ordre du programme :
- trace un segment [AB] de 3 cm, puis, à l’équerre, les côtés [AD] et [BC] de 3 cm perpendiculaires à [AB] du même côté, et relie C à D : c’est le carré ABCD ;
- pique le compas en A avec l’écartement AC (environ 4,2 cm) et trace le cercle ;
- prolonge la demi-droite [AB) au-delà de B : elle coupe le cercle en E (AE ≈ 4,2 cm) ;
- trace [DE], puis construis le carré DEFG du côté opposé à A : perpendiculaires à [DE] en E et en D, reporte la longueur DE pour placer F et G, et ferme le carré.
2. a. ABCD est un carré, donc le triangle ABC est rectangle en B avec AB = BC = 10 cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2=AB^2+BC^2=10^2+10^2=100+100=200\]
donc AC = \(\sqrt{200}\) cm (environ 14,1 cm).
b. Le point E est sur le cercle de centre A et de rayon AC. Tous les points d’un cercle sont à la même distance du centre, égale au rayon, donc AE = AC = \(\sqrt{200}\) cm.
c. L’angle \(\widehat{DAB}\) est droit (angle du carré) et E est sur la demi-droite [AB), donc le triangle DAE est rectangle en A. Par le théorème de Pythagore :
Corrigé de l’exercice 2 : les deux carrés et le cercle (suite)
\[DE^2=AD^2+AE^2=10^2+\left(\sqrt{200}\right)^2=100+200=300\]
L’aire d’un carré est le carré de son côté. Celle de DEFG vaut donc \(DE^2=300\ \text{cm}^2\), et celle de ABCD vaut \(10^2=100\ \text{cm}^2\). Comme \(300=3 \times 100\), l’aire de DEFG est bien le triple de celle de ABCD.
3. L’aire de DEFG est le triple de celle de ABCD, donc l’aire de ABCD doit être \(48 \div 3=16\ \text{cm}^2\). Puis le côté d’un carré d’aire 16 cm² est \(\sqrt{16}=4\) cm. Ensuite, il faut choisir AB = 4 cm.
Corrigé de l’exercice 3 : tirages dans une urne
Les boules sont indiscernables : chaque numéro a la même chance d’être tiré, et la probabilité d’un événement vaut \(\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\).
1. Numéros pairs : 2, 4, 6, 8, 10, 12, soit 6 numéros, et une probabilité de \(\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\).
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, soit 4 numéros, et une probabilité de \(\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\).
Comme \(\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{3}\), il est plus probable d’obtenir un numéro pair.
2. Tous les numéros de 1 à 12 sont inférieurs à 20 : c’est un événement certain. Sa probabilité est 1.
3. Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6. Puis une fois ces 4 boules retirées, il en reste 8 : 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Parmi elles, les nombres premiers (qui n’ont que deux diviseurs, 1 et eux-mêmes) sont 5, 7 et 11. Donc :
\[P(\text{premier})=\dfrac{3}{8}=0{,}375\]
La probabilité vaut bien \(\dfrac{3}{8}=0{,}375\). Attention : 9 n’est pas premier (\(9=3 \times 3\)).
Corrigé de l’exercice 4 : les allergies alimentaires
Partie 1
1. D’après le document 2, la population était d’environ 64 millions d’habitants en 2015. De plus, le nombre de personnes allergiques en 2015 était donc d’environ :
\[\dfrac{4{,}7}{100} \times 64\ 000\ 000=3\ 008\ 000\]
Le document 1 indique qu’en 2010 elles étaient deux fois moins nombreuses : \(3\ 008\ 000 \div 2=1\ 504\ 000\). À 100 000 près, environ 1 500 000 personnes souffraient d’allergies alimentaires en 2010.
2. En 1970, la population était d’environ 50,3 millions (lecture graphique) et 1 % était concerné : \(\dfrac{1}{100} \times 50\ 300\ 000=503\ 000\) personnes. Puis on compare avec 2015 :
\[\dfrac{3\ 008\ 000}{503\ 000} \approx 5{,}98\]
Le nombre de personnes concernées a été multiplié par presque 6. Oui, c’est vrai : il y avait environ 6 fois plus de personnes allergiques en 2015 qu’en 1970.
Partie 2
1. Dans le collège, la proportion d’élèves allergiques est :
\[\dfrac{32}{681} \approx 0{,}0470 \text{ soit environ } 4{,}7\ \%\]
C’est la même proportion que dans la population française en 2015 (4,7 %) ; plus précisément \(\dfrac{32}{681} \approx 4{,}699\ \%\), à peine moins. La proportion n’est donc pas supérieure : elle est pratiquement égale à celle de la population française.
2. Le tableau compte des allergies, pas des élèves. Ensuite, un élève allergique à la fois au lait et à l’œuf, par exemple, est compté dans deux colonnes. Par ailleurs, le total de 39 dépasse 32 parce que certains élèves sont allergiques à plusieurs aliments : il y a \(39-32=7\) « allergies en plus » réparties entre ces élèves.
Corrigé de l’exercice 4 : les allergies alimentaires (suite)
3. a. Les aliments sont des catégories (un caractère qualitatif) : il n’y a pas d’ordre entre eux ni de « passage progressif » du lait aux fruits. Puis le graphique de Margot relie les points par des segments, comme pour une évolution dans le temps, ce qui n’a pas de sens ici. Le diagramme en barres de Lucas est le mieux adapté.
b. On ajoute une barre de hauteur 11 pour les arachides, 5 pour le poisson et 9 pour l’œuf, toutes de même largeur. Attention : l’axe de Lucas s’arrête à 9, il faut le prolonger au moins jusqu’à 11.
Corrigé de l’exercice 5 : le chat et la balle en Scratch
1. Les points sont espacés de 40 unités. Ensuite, le centre de la balle est à 4 points à droite de O et à 3 points au-dessus : \(x=4 \times 40=160\) et \(y=3 \times 40=120\). Puis la balle a pour coordonnées \((160\ ;\ 120)\).
2. a. D’après le script, la flèche droite ajoute 80 à \(x\) alors que la flèche gauche n’enlève que 40. Après → puis ←, l’abscisse a augmenté de \(80-40=40\) : le chat se retrouve en \((-80\ ;\ -80)\), un point à droite de sa position de départ. Les deux déplacements n’ont pas la même longueur, ils ne se compensent pas.
b. Alors on part de \((-120\ ;\ -80)\) et on suit chaque touche :
| Touche | Effet | Position |
|---|---|---|
| → | \(x+80\) | \((-40\ ;\ -80)\) |
| → | \(x+80\) | \((40\ ;\ -80)\) |
| ↑ | \(y+80\) | \((40\ ;\ 0)\) |
| ← | \(x-40\) | \((0\ ;\ 0)\) |
| ↓ | \(y-40\) | \((0\ ;\ -40)\) |
Après ce déplacement, \(x=0\) et \(y=-40\).
c. Pour chaque proposition, on compte les touches : chaque → ajoute 80 à \(x\), chaque ← retire 40, chaque ↑ ajoute 80 à \(y\), chaque ↓ retire 40.
- Déplacement 1 : 7 fois → et 5 fois ↑, donc \(x=-120+7 \times 80=440\) et \(y=-80+5 \times 80=320\) : le chat arrive en \((440\ ;\ 320)\), ce n’est pas la balle.
- Déplacement 2 : 4 fois →, 1 fois ←, 3 fois ↑, 1 fois ↓, donc \(x=-120+320-40=160\) et \(y=-80+240-40=120\) : le chat arrive en \((160\ ;\ 120)\), sur la balle.
- De même, déplacement 3 : 4 fois →, 3 fois ↑, 2 fois ↓, donc \(x=-120+320=200\) et \(y=-80+240-80=80\) : arrivée en \((200\ ;\ 80)\), à côté de la balle.
C’est le déplacement 2 qui permet d’atteindre la balle.
3. Le dernier script teste, à chaque touche pressée, si le chat touche la balle. Quand c’est le cas, le chat dit « Je t’ai attrapé » pendant 2 secondes, puis le bloc Départ le renvoie à sa position de départ \((-120\ ;\ -80)\).
Corrigé de l’exercice 6 : l’enclos de Leïla
1. a. Le grillage suit B → C → D → E → F. Ensuite, on calcule les longueurs manquantes grâce au rectangle OCDE (ses côtés opposés sont égaux) :
- OC = OB + BC = 6 + 5 = 11 m, donc DE = OC = 11 m ;
- OE = OF + FE = 4 + 15 = 19 m, donc CD = OE = 19 m.
Longueur de grillage : BC + CD + DE + EF = 5 + 19 + 11 + 15 = 50 m. Elle utilise bien les 50 m de grillage.
b. L’enclos est un rectangle de dimensions OC = 11 m et OE = 19 m : \(\mathcal{A}=11 \times 19=209\). L’aire de l’enclos est bien de 209 m².
2. Dans la question 1, BC = 5 m. Puis on remplace \(x\) par 5 dans la formule de la voisine :
\[A(5)=-5^2+18 \times 5+144=-25+90+144=209\]
Ensuite, on retrouve 209 m², le même résultat qu’à la question 1 : la formule est cohérente. (Attention : \(-5^2\) vaut \(-25\), le carré porte seulement sur 5.)
Pour aller plus loin, on peut retrouver cette formule. Si BC = \(x\), alors OC = DE = \(6+x\). De plus, le grillage mesure 50 m : \(x+CD+(6+x)+EF=50\), avec CD = OE = \(4+EF\). Ensuite, on obtient \(2x+2\,EF+10=50\), donc \(EF=20-x\) et OE = \(24-x\). Ainsi \(A(x)=(6+x)(24-x)=144-6x+24x-x^2=-x^2+18x+144\).
3. a. La formule de B2 utilise la valeur de \(x\) située juste au-dessus, en B1. En l’étirant vers la droite, la lettre de colonne change. En F2, on lit donc =-F1*F1+18*F1+144.
Corrigé de l’exercice 6 : l’enclos de Leïla (suite)
b. La plus grande aire du tableau est 225 m², obtenue dans la colonne F pour \(x=9\). Leïla choisit BC = 9 m.
c. Avec BC = 9 m : OC = 6 + 9 = 15 m, et OE = 24 − 9 = 15 m (ou bien \(225 \div 15=15\)). Vérification du grillage : BC + CD + DE + EF = 9 + 15 + 15 + 11 = 50 m. L’enclos est un carré de 15 m de côté, d’aire 225 m².
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Bien réviser avec le corrigé corrigé Nord 2017
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Nord 2017, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Nord 2017
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2017 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2017. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les équations, les racines carrées et le théorème de Pythagore. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nord 2017
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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- De même, corrigé du brevet de maths 2017 : Centres étrangers
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
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