Corrigé du brevet de maths 2018 : Amérique du Nord

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Dans ce corrigé du brevet de maths Amérique du Nord 2018, chaque question des huit exercices est expliquée pas à pas. Tu y verras comment lire et exploiter un tableur (différence, formule recopiée, pourcentage d’un effectif), comment construire la figure en vraie grandeur puis enchaîner réciproque de Pythagore et théorème de Thalès, et comment dénombrer les 12 nombres possibles avec les urnes. Le programme Scratch est suivi instruction par instruction pour comprendre la taille et la position des carrés. On identifie ensuite une symétrie et une translation dans la frise, on calcule la pente de la terrasse avec la tangente et le volume du prisme pour établir la facture, avant de finir par du calcul littéral, la lecture d’une fonction affine et une durée de téléchargement.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2018 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Nord 2018

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2018 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Tableur et abonnements Internet » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Pythagore et Thalès » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Probabilités avec deux urnes » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Scratch et carrés » (exercice 4). En outre, le corrigé explique « Frise et transformations » (exercice 5).

Ensuite, la correction reprend « Terrasse : tangente et prisme » (exercice 6). Puis tu lis la démarche complète pour « Calcul littéral et fonction affine » (exercice 7). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Durée de téléchargement » (exercice 8).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2018 sont le tableur, les pourcentages, le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et le programme Scratch, rédigées comme sur une copie.

Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2018) : tableur et abonnements Internet

1. Le très haut débit est en ligne 3, l’année 2016 en colonne D : la cellule D3 contient 5,446. En 2016, on comptait 5,446 millions d’abonnements à très haut débit, soit 5 446 000.

2. Les totaux (haut débit et très haut débit ensemble) sont en ligne 4. Ensuite, on fait la différence entre 2016 et 2015 :

\[27{,}684-26{,}867=0{,}817\ \text{million}\]

Or 0,817 million, c’est \(0{,}817\times 1\,000\,000=817\,000\). Il y avait bien 817 000 abonnements de plus en 2016 qu’en 2015.

3. Le total de 2014 est la somme des cellules B2 et B3. En recopiant vers la droite, B devient C puis D. Puis on peut saisir =B2+B3 (ou =SOMME(B2:B3)).

4. En 2015, il y avait 4,237 millions d’abonnements à très haut débit (cellule C3). Prendre 5,6 % d’une quantité revient à la multiplier par \(\dfrac{5{,}6}{100}=0{,}056\) :

\[4\,237\,000\times 0{,}056=237\,272\]

Cela représentait 237 272 abonnements à la fibre optique.

À retenir : repère toujours la ligne et la colonne avant de lire une valeur dans un tableur, et attention aux unités (« en millions »). Calculer \(p\ \%\) d’une quantité, c’est la multiplier par \(\dfrac{p}{100}\).

Corrigé de l’exercice 2 : Pythagore et Thalès

1. Voici une manière de construire la figure avec la règle et le compas :

  • trace le segment [DE] de 5,6 cm ;
  • trace un arc de cercle de centre D et de rayon 7 cm, puis un arc de centre E et de rayon 4,2 cm : leur point d’intersection est A ;
  • trace les demi-droites [AD) et [AE) ;
  • place B sur [AD) et C sur [AE) à 9 cm de A (ils sont au-delà de D et de E) ;
  • place F sur [AD] à 2,5 cm de A ;
  • trace la parallèle à (DE) passant par F : elle coupe [AE] en G ;
  • trace enfin le segment [FE] comme sur le schéma.

Figure construite : triangle ADE rectangle en E avec AD = 7 cm, AE = 4,2 cm, DE = 5,6 cm ; F sur [AD] à 2,5 cm de A, G sur [AE] avec (FG) parallèle à (DE) ; B et C sur les demi-droites [AD) et [AE) à 9 cm de A

2. Le plus long côté du triangle ADE est [AD]. Alors on compare :

\[\text{AD}^2=7^2=49\]

\[\text{AE}^2+\text{DE}^2=4{,}2^2+5{,}6^2=17{,}64+31{,}36=49\]

Ensuite, on a \(\text{AD}^2=\text{AE}^2+\text{DE}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en E, le sommet opposé à [AD].

3. Les points A, F, D sont alignés, les points A, G, E aussi, et (FG) est parallèle à (DE). D’après le théorème de Thalès dans les triangles AFG et ADE :

\[\dfrac{\text{AF}}{\text{AD}}=\dfrac{\text{AG}}{\text{AE}}=\dfrac{\text{FG}}{\text{DE}}\]

Avec la première et la troisième fraction : \(\dfrac{2{,}5}{7}=\dfrac{\text{FG}}{5{,}6}\), donc \(\text{FG}=\dfrac{2{,}5\times 5{,}6}{7}=\dfrac{14}{7}=2\).

FG = 2 cm. Tu peux vérifier cette valeur en mesurant sur ta figure en vraie grandeur.

À retenir : pour prouver qu’un triangle est rectangle, compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres (réciproque de Pythagore). Avec deux droites parallèles et deux sécantes, pense au théorème de Thalès.

Corrigé de l’exercice 3 : les deux urnes

Commence par lister tous les nombres possibles : 3 choix pour la dizaine (1, 2 ou 3) et 4 choix pour l’unité (2, 3, 5 ou 6), donc \(3\times 4=12\) issues, toutes équiprobables.

Urne D \ Urne U 2 3 5 6
1 12 13 15 16
2 22 23 25 26
3 32 33 35 36

1. Un nombre est pair quand son chiffre des unités est pair. Dans l’urne U, 2 boules sur 4 sont paires (2 et 6) et 2 sont impaires (3 et 5). Dans le tableau, on trouve 6 nombres pairs (12, 16, 22, 26, 32, 36) et 6 impairs (13, 15, 23, 25, 33, 35). La probabilité de former un nombre pair vaut \(\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\), comme celle de former un nombre impair. On n’a pas plus de chances de former un nombre pair : les deux sont également probables.

2. a. Les nombres premiers possibles sont 13 et 23. (Les autres ont un diviseur autre que 1 et eux-mêmes : 15 = 3 × 5, 25 = 5 × 5, 33 = 3 × 11, 35 = 5 × 7, et les nombres pairs sont divisibles par 2.)

2. b. Il y a 2 issues favorables sur 12 : \(P=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\). La probabilité de former un nombre premier est bien \(\dfrac{1}{6}\).

3. Il faut un évènement réalisé par \(\dfrac{1}{3}\times 12=4\) issues. Par exemple : « le nombre formé est supérieur à 30 » (c’est-à-dire tirer la boule 3 dans l’urne D) : il est réalisé par 32, 33, 35 et 36, et sa probabilité vaut \(\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\). L’évènement « le nombre formé est un multiple de 3 » (12, 15, 33, 36) convient aussi.

À retenir : avec deux tirages successifs, un tableau à double entrée donne toutes les issues sans en oublier. La probabilité d’un évènement est alors le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues.

Corrigé de l’exercice 4 : les carrés dessinés par Scratch

Suivons le script principal : le lutin part du point (−200 ; 0), tourné vers la droite, avec un stylo de taille 1, et la variable côté vaut 40. La boucle est répétée 4 fois : on dessine un carré de côté « côté », on avance de « côté », puis on ajoute 20 à côté. Le bloc carré se termine en ayant tourné 4 fois de 90°, donc le lutin revient à son point de départ, toujours orienté vers la droite, stylo relevé.

1. a. Le premier carré est tracé avant toute augmentation : le plus petit carré a un côté de 40 pixels.

1. b. Les côtés successifs sont 40, 60, 80 et 100 (on ajoute 20 après chaque carré, et il y a 4 carrés). Le plus grand carré a un côté de 100 pixels.

2. Sur le dessin, le premier carré est tracé avec la taille 1, puis chaque carré est plus épais que le précédent. Il faut donc augmenter la taille du stylo dans la boucle « répéter 4 fois », après le bloc « carré », par exemple juste après « ajouter à côté 20 ». Les carrés sont alors tracés avec des tailles de stylo 1, 3, 5 et 7. (Placée avant « carré », l’instruction épaissirait déjà le premier carré.)

3. Après chaque carré, le lutin avance maintenant de côté + 30 au lieu de côté : il laisse donc un espace de 30 pixels entre deux carrés. Il avance toujours horizontalement, donc tous les carrés restent posés sur la même ligne, et comme le stylo est relevé à la fin du bloc carré, aucun trait n’est tracé entre les carrés. Le dessin 1 a des carrés décalés vers le bas et le dessin 2 un trait continu à la base : ils ne conviennent pas. Puis on obtient le dessin 3.

À retenir : pour comprendre un script, joue le rôle du lutin et note la valeur de chaque variable à chaque tour de boucle. Une instruction placée dans une boucle est exécutée à chaque tour, et sa position (avant ou après un bloc) compte.

Corrigé de l’exercice 5 (Nord 2018) : la frise de losanges

1. Le point D est l’image de C par la symétrie axiale d’axe (AB) : les points A et B, qui sont sur l’axe, restent en place, et le triangle ADB est l’image du triangle ACB. La symétrie d’axe (AB) complète le motif 1 en motif 2. La symétrie centrale de centre le milieu de [AB] convient aussi, puisqu’elle échange A et B et envoie C sur D (les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu).

2. Sur la frise, le deuxième losange commence au point B : son sommet « de gauche » est en B, alors que celui du premier losange est en C. Son sommet du haut est en D, à la place de A. Il s’agit de la translation qui transforme C en B (c’est aussi celle qui transforme A en D).

À retenir : pour identifier une translation dans une frise, repère un point du motif et le point qui occupe la même position dans le motif suivant : la translation est celle qui envoie le premier sur le second.

Corrigé de l’exercice 6 : la terrasse de Madame Martin

1. BCDP est un rectangle, donc PD = BC = 0,15 m et PB = DC = 5 m. Ensuite, on en déduit \(\text{AP}=\text{AD}-\text{PD}=0{,}27-0{,}15=0{,}12\) m.

Le triangle ABP est rectangle en P. Pour l’angle \(\widehat{\text{ABP}}\), [AP] est le côté opposé et [PB] le côté adjacent, donc on utilise la tangente :

\[\tan\widehat{\text{ABP}}=\dfrac{\text{AP}}{\text{PB}}=\dfrac{0{,}12}{5}=0{,}024\]

À la calculatrice (touche \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\)) : \(\widehat{\text{ABP}}\approx 1{,}37^\circ\). Comme \(1\lt 1{,}37\lt 1{,}5\), le projet respecte la condition.

2. Volume de béton. La base ABCD est un trapèze rectangle de bases AD = 0,27 m et BC = 0,15 m et de hauteur DC = 5 m :

\[\mathcal{A}_{\text{ABCD}}=\dfrac{(0{,}27+0{,}15)\times 5}{2}=\dfrac{0{,}42\times 5}{2}=1{,}05\ \text{m}^2\]

(Tu peux aussi découper la base en le rectangle BCDP, d’aire \(5\times 0{,}15=0{,}75\) m², et le triangle ABP, d’aire \(\dfrac{5\times 0{,}12}{2}=0{,}3\) m².)

La hauteur du prisme est CG = 8 m, donc \(V=1{,}05\times 8=8{,}4\ \text{m}^3\).

Prix du béton : \(8{,}4\times 95=798\) €.

Livraison : le camion transporte au plus 6 m³, et \(8{,}4\gt 6\) : il doit faire 2 livraisons. Chaque livraison est un aller-retour de \(2\times 23=46\) km, soit \(2\times 46=92\) km en tout, facturés \(92\times 5=460\) €.

Facture : \(798+460=1\,258\) €. La facture s’élève à 1 258 €.

À retenir : dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le quotient du côté opposé par le côté adjacent. Pour un prisme droit, calcule d’abord l’aire de la base (ici un trapèze), puis multiplie par la hauteur.

Corrigé de l’exercice 7 : calcul littéral et fonction affine

1. D’abord, on distribue chaque produit, en faisant attention au signe devant le 4 :

\[\text{A}=2x\times x-2x\times 1-4\times x+4\times 1=2x^2-2x-4x+4\]

\(\text{A}=2x^2-6x+4\).

2. Puis on remplace \(x\) par \(-5\) dans le membre de gauche :

\[(2\times(-5)+1)\times(-5-2)=(-10+1)\times(-7)=(-9)\times(-7)=63\]

Alors on obtient bien 63 : \(-5\) est une solution de l’équation.

3. a. C’est le graphique B, avec la droite (d2).

3. b. La fonction \(f(x)=-3x+1{,}5\) est affine, de coefficient directeur \(-3\) et d’ordonnée à l’origine 1,5.

  • Son coefficient \(-3\) est négatif, donc la droite descend : c’est le cas de (d2), alors que (d1) monte.
  • Pour \(x=0\), \(f(0)=1{,}5\) : la droite coupe l’axe des ordonnées en 1,5, ce qu’on lit sur le graphique B.
  • Contrôle avec un autre point : \(f(1)=-3+1{,}5=-1{,}5\), et (d2) passe bien par \((1\ ;\ -1{,}5)\).
À retenir : pour tester si un nombre est solution d’une équation, remplace l’inconnue et calcule chaque membre. Pour reconnaître la droite de \(f(x)=ax+b\), regarde le signe de \(a\) (droite montante ou descendante) et l’ordonnée à l’origine \(b\).

Corrigé de l’exercice 8 : durée d’un téléchargement

Il reste à télécharger \(115{,}2-9{,}7=105{,}5\) Mo. À la vitesse de 1,3 Mo par seconde, il faut :

\[\dfrac{105{,}5}{1{,}3}\approx 81{,}2\ \text{s}\]

Une minute et vingt-cinq secondes, c’est \(60+25=85\) secondes. Comme \(81{,}2\lt 85\), non, il faudra moins d’une minute et vingt-cinq secondes : environ 1 min 21 s.

À retenir : durée = quantité restante ÷ vitesse. Pour comparer des durées, convertis-les dans la même unité (ici tout en secondes).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2018 : Amérique du Nord.

Comment utiliser le corrigé corrigé Nord 2018

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

En ce qui concerne le tableur, écris la formule en commençant par le signe =, puis vérifie les références de cellules avant de la recopier. Quant aux pourcentages, traduis une hausse de t % par une multiplication par 1 + t/100, donc une baisse par 1 − t/100. Dans les questions sur le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Au besoin, la définition de la notion de tableur sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Nord 2018 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2018

Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2018 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2018. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur le tableur, les pourcentages, le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2018

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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