Corrigé du brevet de maths 2018 : France

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2018 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé France 2018

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé France 2018 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Globe de cristal : carte et volumes » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Statistiques : pollution à Lyon et Grenoble » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Probabilités : lecture aléatoire » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Triangles semblables et angles droits » (exercice 4). En outre, la correction reprend « Programme de calcul et calcul littéral » (exercice 5).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Scratch : carrés, triangles et homothétie » (exercice 6). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Hand-spinner : graphique et fonction affine » (exercice 7).

Ainsi, le corrigé corrigé France 2018 te fait revoir le cylindre, les pourcentages, la médiane et les statistiques, le calcul littéral et le programme Scratch, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Corrigé de l’exercice 1 (France 2018) : le gros globe de cristal

1. Sur la carte, les parallèles (lignes rouges) sont tracés tous les 10° et les méridiens (lignes bleues) tous les 15°. Pyeongchang se trouve au-dessus de l’équateur, donc dans l’hémisphère Nord, entre les parallèles 30° N et 40° N ; elle est à droite du méridien de Greenwich, donc à l’Est, un peu avant le méridien 135° E.

Ensuite, on lit approximativement : latitude environ 35° à 40° Nord, longitude environ 130° Est. (Les coordonnées réelles sont d’environ 37° N et 128° E ; toute lecture proche est acceptée.)

2. Le trophée mesure 46 cm, dont 23 cm pour le cylindre : la boule a donc un diamètre de 23 cm, et un rayon \(R=23\div2=11{,}5\) cm.

\[V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times11{,}5^3=\dfrac{4}{3}\times\pi\times1\,520{,}875\approx6\,370{,}6\ \text{cm}^3\]

Arrondi à l’unité, le volume de la boule est bien d’environ 6 371 cm³.

3. Le cylindre a un diamètre de 6 cm, donc un rayon de 3 cm, et une hauteur de 23 cm :

\[V_{\text{cylindre}}=\pi\times3^2\times23=207\pi\approx650{,}3\ \text{cm}^3\]

Le volume total du trophée est d’environ \(6\,370{,}6+650{,}3=7\,020{,}9\) cm³. La part de la boule vaut :

\[\dfrac{6\,370{,}6}{7\,020{,}9}\approx0{,}907\]

La boule représente environ 91 % du volume total, ce qui est bien proche de 90 % : Marie a raison.

Corrigé de l’exercice 2 : pollution aux particules fines à Lyon et Grenoble

1. La moyenne de Lyon est donnée : 72,5 µg/m³. Pour Grenoble, on additionne les 10 relevés et on divise par 10 :

\[\dfrac{32+39+52+57+78+63+60+82+82+89}{10}=\dfrac{634}{10}=63{,}4\ \mu\text{g/m}^3\]

Comme \(72{,}5\gt63{,}4\), c’est Lyon qui a eu la plus forte concentration moyenne en PM10.

2. L’étendue est l’écart entre la valeur maximale et la valeur minimale.

• Lyon : \(107-22=85\) µg/m³.
• Grenoble : \(89-32=57\) µg/m³.

Lyon a l’étendue la plus importante (85 µg/m³ contre 57 µg/m³). Cela signifie que la pollution a beaucoup plus varié d’un jour à l’autre à Lyon qu’à Grenoble : les concentrations y ont été plus dispersées, avec des jours peu pollués et des jours très pollués.

3. À Lyon, on ne connaît pas les dix relevés, mais on connaît la médiane : 83,5 µg/m³. Rangeons les 10 valeurs dans l’ordre croissant. Avec 10 valeurs, la médiane est la moyenne de la 5^e et de la 6^e valeur. La 6^e valeur est supérieure ou égale à la 5^e, donc elle est supérieure ou égale à leur moyenne, 83,5.

Ainsi, la 6^e, la 7^e, la 8^e, la 9^e et la 10^e valeur sont toutes au moins égales à 83,5 µg/m³, donc supérieures à 80 µg/m³. Cela fait au moins 5 jours au-dessus du seuil d’alerte : l’affirmation est exacte.

Corrigé de l’exercice 3 : lecture aléatoire de morceaux de musique

1. Chaque morceau a la même chance d’être choisi. Il y a 125 morceaux de rap sur 375 :

\[P(\text{rap})=\dfrac{125}{375}=\dfrac{1}{3}\]

(car \(375=3\times125\)). La probabilité d’écouter du rap est \(\dfrac{1}{3}\).

2. La probabilité est le nombre de morceaux de rock divisé par 375, donc le nombre de morceaux de rock vaut :

\[\dfrac{7}{15}\times375=7\times25=175\]

Théo possède 175 morceaux de rock.

3. Pour Alice, la probabilité d’écouter du rock est \(40\ \%=0{,}4\). Pour Théo, elle vaut \(\dfrac{7}{15}\approx0{,}467\), soit environ 46,7 %. On peut aussi comparer avec le même dénominateur : \(0{,}4=\dfrac{6}{15}\lt\dfrac{7}{15}\).

C’est Théo qui a le plus de chances d’écouter un morceau de rock.

Corrigé de l’exercice 4 (France 2018) : triangles semblables et angles droits

1. Le triangle BDC est rectangle en B, son hypoténuse est [CD]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{CD}^2=\text{CB}^2+\text{BD}^2\quad\text{donc}\quad\text{BD}^2=8{,}5^2-7{,}5^2=72{,}25-56{,}25=16\]

Une longueur est positive, donc \(\text{BD}=\sqrt{16}=4\) : on a bien BD = 4 cm.

2. Deux triangles sont semblables quand les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. Puis on range les côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand et on calcule les quotients :

Les trois quotients sont égaux : BFE est une réduction de CBD de coefficient 0,8. Les triangles CBD et BFE sont semblables.

3. Dans deux triangles semblables, les angles correspondants sont égaux. L’angle \(\widehat{\text{BFE}}\) est compris entre les côtés [FB] et [FE], qui correspondent aux côtés [BC] et [BD]. Il correspond donc à l’angle \(\widehat{\text{CBD}}\), qui est droit.

Vérification par la réciproque de Pythagore dans BFE, dont le plus grand côté est [BE] : \(\text{BE}^2=6{,}8^2=46{,}24\) et \(\text{BF}^2+\text{FE}^2=36+10{,}24=46{,}24\). L’égalité est vérifiée, donc BFE est rectangle en F.

Sophie a raison : \(\widehat{\text{BFE}}\) est un angle droit.

4. Comme C, B et E sont alignés, l’angle \(\widehat{\text{ACD}}\) se décompose en \(\widehat{\text{ACB}}+\widehat{\text{BCD}}\), avec \(\widehat{\text{ACB}}=61^\circ\).

Dans le triangle BCD rectangle en B, le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{BCD}}\) est [CB] et l’hypoténuse est [CD] :

\[\cos\widehat{\text{BCD}}=\dfrac{\text{CB}}{\text{CD}}=\dfrac{7{,}5}{8{,}5}=\dfrac{15}{17}\quad\text{donc}\quad\widehat{\text{BCD}}\approx28{,}07^\circ\]

Alors \(\widehat{\text{ACD}}\approx61+28{,}07=89{,}07^\circ\). Pour avoir un angle droit, il faudrait \(\widehat{\text{BCD}}=29^\circ\), or \(\cos29^\circ\approx0{,}875\) alors que \(\dfrac{15}{17}\approx0{,}882\) : l’angle BCD est strictement plus petit que 29°.

Max a tort : \(\widehat{\text{ACD}}\approx89^\circ\), ce n’est pas un angle droit (même s’il en a l’air sur la figure).

Corrigé de l’exercice 5 : programme de calcul et calcul littéral

1. On applique les étapes avec \(-1\) : \(-1\times4=-4\), puis \(-4+8=4\), puis \(4\times2=8\). Le programme donne bien 8.

2. On remonte le programme en faisant les opérations inverses dans l’ordre inverse : \(30\div2=15\), puis \(15-8=7\), puis \(7\div4=1{,}75\).

Vérification : \(1{,}75\times4=7\), \(7+8=15\), \(15\times2=30\). Le nombre choisi au départ est 1,75 (soit \(\dfrac{7}{4}\)).

3. Alors on développe chaque expression. D’une part :

\[A=2(4x+8)=8x+16\]

D’autre part, avec l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :

\[B=(4+x)^2-x^2=16+8x+x^2-x^2=8x+16\]

Les deux expressions développées sont identiques : \(A=B\) pour toutes les valeurs de \(x\).

4. Affirmation 1 : un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’elle est fausse. Avec \(x=-3\) : \(8\times(-3)+16=-24+16=-8\), résultat négatif. En fait, le résultat \(8x+16\) est négatif dès que \(x\lt-2\). L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : on factorise le résultat par 8 : \(8x+16=8(x+2)\). Si \(x\) est un entier, \(x+2\) est aussi un entier, donc le résultat est 8 fois un entier, c’est-à-dire un multiple de 8. L’affirmation 2 est vraie.

Corrigé de l’exercice 6 : carrés et triangles en Scratch

1. a. Le stylo part de l’origine (0 ; 0), orienté vers la droite, avec Longueur = 300 pixels, soit \(300\div50=6\) cm.

• Ligne 6, bloc « Carré » : le lutin avance de 300 et tourne à gauche de 90°, quatre fois. Il trace un carré de côté 6 cm situé au-dessus et à droite du point de départ, et revient au départ, orienté vers la droite.
• Ligne 7, bloc « Triangle » : il avance de 300 et tourne à gauche de 120°, trois fois. Tourner de 120° à chaque sommet donne des angles intérieurs de \(180-120=60^\circ\) : c’est un triangle équilatéral de côté 6 cm, de même base que le carré.

b. Après la ligne 7, le lutin est revenu à (0 ; 0), orienté vers la droite. La ligne 8 le fait avancer de \(300\div6=50\) pixels vers la droite. Les coordonnées du stylo sont (50 ; 0).

2. Le petit carré commence en \(x=50\). Comme la figure est symétrique par rapport à l’axe vertical \(x=150\) (milieu du grand carré), il doit aussi s’arrêter à 50 pixels du bord droit, c’est-à-dire en \(x=250\). Son côté vaut donc \(300-2\times50=200\) pixels.

La ligne 9 devient : mettre Longueur à 200 (on peut aussi écrire « Longueur − 100 » ou « Longueur × 2/3 »).

3. a. Le petit carré a la même forme que le grand, il est seulement plus petit et placé au milieu du côté du bas : ni une translation, ni une rotation, ni une symétrie ne changent les longueurs. C’est donc une homothétie, de rapport :

\[k=\dfrac{200}{300}=\dfrac{2}{3}\]

Son centre est le point (150 ; 0), milieu du côté du bas des deux carrés. Le rapport de réduction est \(\dfrac{2}{3}\).

b. Dans une réduction de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) :

\[k^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\]

Vérification : \(\dfrac{200^2}{300^2}=\dfrac{40\,000}{90\,000}=\dfrac{4}{9}\). Le rapport des aires est \(\dfrac{4}{9}\) (l’aire du petit carré vaut les 4/9 de celle du grand).

Corrigé de l’exercice 7 : la vitesse du hand-spinner

1. Une situation de proportionnalité se représente par une droite qui passe par l’origine du repère. Ici la représentation est bien une droite, mais elle ne passe pas par l’origine : au temps 0, la vitesse vaut 20 tours par seconde, et non 0. De plus, la vitesse diminue quand le temps augmente. Le temps et la vitesse de rotation ne sont pas proportionnels.

2. a. La vitesse initiale se lit à \(t=0\) : 20 tours par seconde.

b. Une minute et vingt secondes font \(60+20=80\) s. Ensuite, on lit l’ordonnée du point de la droite d’abscisse 80 : environ 3 tours par seconde.

c. Le hand-spinner s’arrête quand la vitesse devient nulle, c’est-à-dire là où la droite coupe l’axe des temps : environ 94 secondes (une lecture entre 92 et 96 s est acceptable).

3. a. Puis on remplace \(t\) par 30 :

\[V(30)=-0{,}214\times30+20=-6{,}42+20=13{,}58\]

Au bout de 30 s, la vitesse est de 13,58 tours par seconde.

b. On cherche \(t\) tel que \(V(t)=0\) :

\[-0{,}214t+20=0\quad\text{donc}\quad0{,}214t=20\quad\text{donc}\quad t=\dfrac{20}{0{,}214}\approx93{,}5\]

Le hand-spinner s’arrête au bout d’environ 93,5 secondes, ce qui confirme la lecture graphique.

c. Avec une vitesse initiale quelconque \(V_{\text{initiale}}\), l’arrêt a lieu quand \(-0{,}214t+V_{\text{initiale}}=0\), c’est-à-dire pour :

\[t=\dfrac{V_{\text{initiale}}}{0{,}214}\]

La durée de rotation est proportionnelle à la vitesse initiale : si on double \(V_{\text{initiale}}\), on double la durée. Par exemple, à 40 tours par seconde : \(t=\dfrac{40}{0{,}214}\approx186{,}9\) s, soit bien le double de 93,5 s. C’est vrai : il tournera deux fois plus longtemps.

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Bien réviser avec le corrigé corrigé France 2018

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

Pour le cylindre, calcule l’aire du disque de base, puis multiplie-la par la hauteur. En ce qui concerne les pourcentages, précise toujours la quantité de référence, car un pourcentage n’a de sens que par rapport à elle. Quant à la médiane et les statistiques, compte l’effectif total avant tout, car c’est lui qui donne le rang de la médiane. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de cylindre, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé France 2018, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé France 2018

Faut-il lire le corrigé corrigé France 2018 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2018. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement le cylindre, les pourcentages, la médiane et les statistiques et le calcul littéral. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé France 2018

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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