Corrigé du brevet de maths 2020 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2020 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé septembre 2020
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé septembre 2020 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 5 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « QCM » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Programme de calcul » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Portique de balançoires » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Tarifs, tableur et fonctions » (exercice 4). Enfin, le corrigé explique « Éolienne en Scratch » (exercice 5).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé septembre 2020 sont le calcul littéral, les équations, le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et les pourcentages, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2020) : QCM
1. D’abord, on range les 7 valeurs dans l’ordre croissant : 2 ; 6 ; 10 ; 12 ; 14 ; 22 ; 25. Avec 7 valeurs, la médiane est la 4e (trois valeurs avant, trois après). Réponse A : 12.
2. Le sac contient \(50 + 45 + 45 + 60 = 200\) billes, dont 60 jaunes, toutes ayant la même chance d’être tirées. \(P(\text{jaune}) = \dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\). Puis la réponse 60 est un effectif, pas une probabilité (une probabilité est toujours entre 0 et 1). Réponse B : 0,3.
3. Dans une décomposition en facteurs premiers, tous les facteurs doivent être premiers : la réponse A contient 10, qui n’est pas premier, et la réponse B vaut \(25 \times 101 = 2\,525\). Ensuite, on vérifie C : \(2 \times 2 \times 5 \times 101 = 20 \times 101 = 2\,020\), et 2, 5, 101 sont premiers. Réponse C : \(2 \times 2 \times 5 \times 101\).
4. \(2\pi R\) est le périmètre d’un cercle et \(\pi R^2\) l’aire d’un disque. Puis un volume fait intervenir une longueur au cube. Réponse C : \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\).
5. Une homothétie de rapport \(k\) multiplie les longueurs par la distance à zéro de \(k\) ; ici par 2. De plus, le signe « moins » indique seulement que l’image est de l’autre côté du centre A. Réponse A : elle agrandit les longueurs.
Corrigé de l’exercice 2 : programme de calcul et identité remarquable
1. Avec 2 au départ : on ajoute 7, ce qui donne \(2 + 7 = 9\) ; on soustrait 7 au nombre de départ, ce qui donne \(2 – 7 = -5\). Ensuite, le produit vaut \(9 \times (-5) = -45\), puis on ajoute 50 : \(-45 + 50 = 5\). Ensuite, on obtient bien 5.
2. Avec \(-10\) au départ : \(-10 + 7 = -3\) et \(-10 – 7 = -17\). Par ailleurs, le produit de deux nombres négatifs est positif : \((-3) \times (-17) = 51\). Enfin \(51 + 50 = 101\). Le résultat est 101.
3. Un seul exemple ne suffit pas à prouver une règle, mais un seul contre-exemple suffit à la contredire. Avec \(-10\), la méthode de l’élève donnerait \(2 \times (-10) + 1 = -19\), alors que le programme donne 101 (question 2). L’élève a tort.
4. Avec \(x\) au départ, on obtient \(x + 7\) et \(x – 7\), puis le produit auquel on ajoute 50 :
\[(x+7)(x-7) + 50 = x^2 – 7^2 + 50 = x^2 – 49 + 50 = x^2 + 1\]
Puis on a utilisé l’identité remarquable \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\). Le programme donne bien \(x^2 + 1\). (Contrôle : \(2^2 + 1 = 5\) et \((-10)^2 + 1 = 101\), comme aux questions 1 et 2.)
5. On cherche \(x\) tel que \(x^2 + 1 = 17\), c’est-à-dire \(x^2 = 16\). Deux nombres ont pour carré 16 : \(4\) et \(-4\), car \(4^2 = 16\) et \((-4)^2 = 16\). Il faut choisir 4 ou \(-4\).
Corrigé de l’exercice 3 : le portique de balançoires
1. H est le milieu de [BC], donc \(\mathrm{HC} = 290 \div 2 = 145\) cm. Puis dans le triangle isocèle ABC, la droite (AH) qui joint le sommet principal au milieu de la base est aussi la hauteur : le triangle AHC est rectangle en H (c’est d’ailleurs codé sur la vue de côté). Son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{HC}^2 \quad \text{donc} \quad \mathrm{AH}^2 = 342^2 – 145^2 = 116\,964 – 21\,025 = 95\,939\]
\(\mathrm{AH} = \sqrt{95\,939} \approx 309{,}74\). La hauteur du portique est d’environ 310 cm.
2. Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C, et (MN) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès dans les triangles AMN et ABC :
\[\dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \dfrac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} = \dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}} \quad \text{d^{\prime}où} \quad \dfrac{165}{342} = \dfrac{\mathrm{MN}}{290}\]
\(\mathrm{MN} = \dfrac{165 \times 290}{342} = \dfrac{47\,850}{342} \approx 139{,}9\). Chaque barre de maintien mesure environ 140 cm.
3. Fais la liste de ce qu’il faut acheter, en prenant chaque fois la pièce la moins chère qui convient.
- La poutre du haut mesure 384 cm : il faut une poutre de 4 m, soit 12,99 €.
- Les pieds mesurent 342 cm (longueur AC) : une poutre de 3 m est trop courte, il faut 4 poutres de 3,5 m, soit \(4 \times 11{,}75 = 47\) €.
- Il faut deux barres de maintien d’environ 140 cm. Deux barres de 1,5 m coûteraient \(2 \times 3{,}89 = 7{,}78\) €, mais une seule barre de 3 m coupée en deux (\(2 \times 140 = 280\) cm, moins de 300 cm) ne coûte que 6,99 €.
- Fixations : 80 € ; balançoires : 50 €.
Corrigé de l’exercice 3 : le portique de balançoires (suite)
\[12{,}99 + 47 + 6{,}99 + 80 + 50 = 196{,}98\]
Le coût minimal est bien 196,98 € (avec deux barres de 1,5 m, on arriverait à 197,77 €, ce qui n’est pas le minimum).
4. Augmenter de 20 %, c’est multiplier par \(1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2\) : \(196{,}98 \times 1{,}2 = 236{,}376\). Le prix de vente est 236,38 €.
5. Dans le triangle AHC rectangle en H, pour l’angle \(\widehat{\mathrm{HAC}}\), le côté opposé est [HC] et l’hypoténuse est [AC] :
\[\sin\left(\widehat{\mathrm{HAC}}\right) = \dfrac{\mathrm{HC}}{\mathrm{AC}} = \dfrac{145}{342} \quad \text{donc} \quad \widehat{\mathrm{HAC}} \approx 25{,}09^\circ\]
Dans le triangle isocèle ABC, la hauteur (AH) est aussi bissectrice de \(\widehat{\mathrm{BAC}}\), donc \(\widehat{\mathrm{BAC}} = 2 \times \widehat{\mathrm{HAC}} \approx 50{,}2^\circ\). Comme \(45 \lt 50{,}2 \lt 55\), le portique respecte la condition de sécurité (angle d’environ 50°).
Corrigé de l’exercice 4 : deux tarifs, tableur et fonctions
1. Au tarif A, on paie 8 € par demi-journée ; au tarif B, 30 € plus 5 € par demi-journée. Annexe 1 complétée :
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Nombre de demi-journées | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | Tarif A | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 |
| 3 | Tarif B | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 |
2. Le tarif B vaut 30 plus 5 fois le nombre de demi-journées, lu en B1. C’est la réponse D : =30+5*B1. (La réponse E donnerait 35 dans toutes les cellules une fois étirée, et la B donnerait 35 pour B1 = 1 mais 65 pour 2.)
3. Une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire, de la forme \(x \mapsto ax\). C’est la fonction \(f\), avec \(f(x) = 8x\) ; \(g\) est affine mais pas linéaire à cause des 30 € d’adhésion.
4. \(f\) est linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine. Ensuite, on place deux points, par exemple \((0 ; 0)\) et \((10 ; 80)\) (car \(f(10) = 80\)), et on trace la droite qui les relie (en rouge ci-dessous).
5. Les deux droites se coupent au point de coordonnées \((10 ; 80)\). Par le calcul : \(8x = 30 + 5x\) donne \(3x = 30\), soit \(x = 10\). Pour 10 demi-journées, les deux tarifs coûtent 80 €.
6. Alors on cherche, pour chaque tarif, le plus grand nombre entier de demi-journées dont le prix ne dépasse pas 100 €.
Corrigé de l’exercice 4 : deux tarifs, tableur et fonctions (suite)
- Tarif A : \(8x \leqslant 100\) donne \(x \leqslant 12{,}5\), donc au plus 12 demi-journées (96 €).
- Tarif B : \(30 + 5x \leqslant 100\) donne \(5x \leqslant 70\), donc \(x \leqslant 14\) : 14 demi-journées (exactement 100 €).
Graphiquement, la droite horizontale d’ordonnée 100 coupe la droite du tarif B plus loin (abscisse 14) que celle du tarif A (abscisse 12,5). Avec 100 €, on peut participer au maximum à 14 demi-journées, en choisissant le tarif B.
Corrigé de l’exercice 5 : l’éolienne en Scratch
1. a. Puis le triangle DEC est isocèle en D, donc ses deux angles à la base sont égaux : \(\widehat{\mathrm{DEC}} = \widehat{\mathrm{ECD}} = 85^\circ\). De plus, la somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :
\[\widehat{\mathrm{CDE}} = 180^\circ – 85^\circ – 85^\circ = 10^\circ\]
L’angle \(\widehat{\mathrm{CDE}}\) mesure bien 10°.
b. Ensuite, le lutin part de A, avance de 30 jusqu’à B, tourne de 90° pour se diriger vers C et avance de 13 : il est en C, orienté dans le prolongement de [EC] (il « regarde » à l’opposé de E). Par ailleurs, pour partir vers D, il doit s’écarter de cette direction d’un angle qui, ajouté à l’angle \(\widehat{\mathrm{ECD}}\) du triangle, forme un angle plat. Il tourne de \(180^\circ – 85^\circ = 95^\circ\) : c’est l’angle supplémentaire de \(\widehat{\mathrm{ECD}}\).
c. Après la ligne 7, le lutin est en D et regarde dans le prolongement de [CD]. Puis pour repartir vers E, il doit tourner du supplémentaire de l’angle \(\widehat{\mathrm{CDE}}\) du triangle : \(180^\circ – 10^\circ = 170^\circ\). Il faut écrire 170 à la ligne 8.
Tu peux vérifier : le long du triangle CDE (en C, en D puis en E), le lutin tourne à gauche de \(95 + 170 + 95 = 360^\circ\), ce qui est normal pour contourner un triangle en revenant à sa direction de départ.
2. L’éolienne a 3 pales, et après chaque pale le lutin tourne de 120°, c’est-à-dire un tiers de tour (\(3 \times 120^\circ = 360^\circ\)). Il faut répéter 3 fois.
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Comment utiliser le corrigé corrigé septembre 2020
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Quant aux équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Ensuite, dans les questions sur le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Au besoin, la définition de la notion de identités remarquables sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé septembre 2020 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé septembre 2020
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2020 en entier ?
Non, pas forcément. Puis en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2020. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur le calcul littéral, les équations, le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. De plus, en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé septembre 2020
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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- Corrigé du brevet de maths 2020 : Centres étrangers, septembre
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