Corrigé du brevet de maths 2017 : France, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2017 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé septembre 2017

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé septembre 2017 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Probabilités : boules dans un sac » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Pythagore et Thalès » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Spirales en Scratch » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Carrelage et plinthes » (exercice 4). En outre, la correction reprend « Vrai ou faux » (exercice 5).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Neige artificielle » (exercice 6). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Bactéries légionelles » (exercice 7).

Ainsi, le corrigé corrigé septembre 2017 te fait revoir les probabilités, le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, le programme Scratch et les pourcentages, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2017) : boules dans un sac

1. Les 120 boules ont la même chance d’être tirées et 30 sont bleues. La probabilité est donc \(\dfrac{30}{120}\). En simplifiant par 30 : \(\dfrac{30}{120}=\dfrac{1}{4}\). La probabilité de tirer une boule bleue est \(\dfrac{1}{4}\).

2. Sur 20 tirages, Cécile a obtenu une fréquence de boules vertes de \(\dfrac{8}{20}=0{,}4\). Mais sur un si petit nombre d’expériences, la fréquence observée peut être assez éloignée de la probabilité réelle : elle ne permet pas de connaître avec certitude la composition du sac. Réponse c : on ne peut pas savoir.

3. a. Si \(r\) désigne le nombre de boules rouges, la probabilité de tirer une rouge est \(\dfrac{r}{120}=0{,}4\), donc \(r=0{,}4\times 120=48\). Il y a 48 boules rouges.

b. Le nombre de boules vertes est \(120-30-48=42\). La probabilité de tirer une boule verte est \(\dfrac{42}{120}=\dfrac{7}{20}=0{,}35\). Tu peux vérifier par l’autre chemin : \(1-\dfrac{1}{4}-0{,}4=1-0{,}25-0{,}4=0{,}35\). La probabilité est \(\dfrac{7}{20}=0{,}35\).

Remarque : il y a donc 42 boules vertes, et non 48, ce qui confirme qu’on ne pouvait pas le deviner à partir des 20 tirages de Cécile.

Corrigé de l’exercice 2 : figure à main levée, Pythagore et Thalès

1. Dans le triangle AFG, le plus long côté est [AF]. Ensuite, on compare :

\[AF^2=5^2=25\qquad AG^2+GF^2=4^2+3^2=16+9=25\]

Comme \(AF^2=AG^2+GF^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFG est rectangle en G.

2. Les points A, G, E sont alignés et les points A, F, D aussi, avec (FG) parallèle à (DE). D’après le théorème de Thalès dans les triangles AFG et ADE :

\[\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{FG}{DE}\]

Ici \(AE=AG+GE=4+6{,}8=10{,}8\) cm. Avec la première égalité : \(\dfrac{5}{AD}=\dfrac{4}{10{,}8}\), donc \(AD=\dfrac{5\times 10{,}8}{4}=13{,}5\) cm.

Vérification par Pythagore : (FG) est perpendiculaire à (AE) et (DE) est parallèle à (FG), donc (DE) est aussi perpendiculaire à (AE) ; le triangle ADE est rectangle en E et \(AD^2=10{,}8^2+8{,}1^2=116{,}64+65{,}61=182{,}25\), d’où \(AD=\sqrt{182{,}25}=13{,}5\).

Puis on obtient AD = 13,5 cm. Comme F est sur le segment [AD] : \(FD=AD-AF=13{,}5-5=8{,}5\). Donc FD = 8,5 cm.

3. Les points G, A, C sont alignés, ainsi que F, A, B, et dans le même ordre (A est entre les deux points à chaque fois). Alors on compare les rapports :

\[\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{4}{5}=0{,}8\qquad\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{5}{6{,}25}=0{,}8\]

Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (BC) sont parallèles.

Corrigé de l’exercice 3 : spirales en Scratch

1. a. On suit le bloc « un tour » avec longueur = 30, en partant vers la droite. La première boucle trace deux fois : avancer de 30, tourner de 90° vers la gauche. Puis longueur devient 60, et la seconde boucle trace deux fois : avancer de 60, tourner de 90° vers la gauche. On obtient donc, à l’échelle 1 cm pour 30 pixels :

• 1 cm vers la droite ;
• 1 cm vers le haut ;
• 2 cm vers la gauche ;
• 2 cm vers le bas.

b. Le stylo a tourné quatre fois de 90° vers la gauche, soit un tour complet de 360° : il est de nouveau orienté vers la droite.

2. Le script appelle deux fois le bloc « un tour », avec une longueur de départ de 30 puis de 90 (le bloc ajoute 30, puis le script ajoute encore 30). Les segments tracés mesurent donc successivement 30, 30, 60, 60, 90, 90, 120 et 120 pixels : chaque longueur est tracée deux fois de suite. C’est le cas de la figure 3, où les segments vont par paires de même longueur, alors que dans la figure 1 chaque segment est plus long que le précédent. Le programme permet d’obtenir la figure 3.

3. La figure 2 a la même structure en spirale, mais ses angles sont ceux d’un hexagone régulier : le stylo tourne de 60° à chaque fois (\(\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ\)). Il faut donc remplacer « tourner de 90 degrés » par « tourner de 60 degrés » dans les deux boucles du bloc « un tour ».

Corrigé de l’exercice 4 (septembre 2017) : carrelage et plinthes d’un salon

1. a. ABHDG est un rectangle de 7 m sur 5 m (\(GD=1+1+5=7\) m). Dans le triangle BCH rectangle en H :

• \(BH=AH-AB=7-4=3\) m ;
• \(HC=HD-CD=5-3=2\) m.

\[\mathcal{A}_{BCH}=\dfrac{BH\times HC}{2}=\dfrac{3\times 2}{2}=3\ \text{m}^2\]

L’aire du triangle BCH est 3 m².

b. La pièce est le rectangle AHDG privé du triangle BCH : \(7\times 5-3=35-3=32\). L’aire de la pièce est bien 32 m².

2. Augmenter de 10 % revient à multiplier par 1,1 : \(32\times 1{,}1=35{,}2\) m² à prévoir.

• Carrelage : \(\dfrac{35{,}2}{1{,}25}=28{,}16\). 28 boîtes ne suffiraient pas, il faut donc 29 boîtes.
• Colle : \(\dfrac{35{,}2}{4}=8{,}8\). Il faut 9 sacs.

3. Il manque la longueur BC. Dans le triangle BCH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore :

\[BC^2=BH^2+HC^2=3^2+2^2=13\quad\text{donc}\quad BC=\sqrt{13}\approx 3{,}61\ \text{m}\]

Ensuite, on fait le tour de la pièce sans la porte [FE] : \(AB+BC+CD+DE+FG+GA=4+\sqrt{13}+3+5+1+5=18+\sqrt{13}\approx 21{,}61\) m.

Avec la marge de 10 % : \(21{,}61\times 1{,}1\approx 23{,}77\) m. Les plinthes mesurent 1 m et se vendent à l’unité : il faut 24 plinthes.

4. Puis on additionne les achats :

• carrelage : \(29\times 19{,}95=578{,}55\) € ;
• colle : \(9\times 22=198\) € ;
• plinthes : \(24\times 2{,}95=70{,}80\) € ;
• clous : 5,50 €.

\[578{,}55+198+70{,}80+5{,}50=852{,}85\]

La dépense s’élève à environ 853 €.

Corrigé de l’exercice 5 : vrai ou faux

Affirmation 1 : vraie. Appelons \(x\) le nombre de départ. Ensuite, on ajoute 3 : \(x+3\) ; on multiplie par 2 : \(2(x+3)=2x+6\) ; on soustrait le double du nombre de départ : \(2x+6-2x=6\). Le résultat vaut 6 quel que soit \(x\). (Tester quelques valeurs, par exemple 0 ou 1, illustre l’affirmation mais ne la démontre pas : c’est le calcul littéral qui prouve qu’elle est toujours vraie.)

Affirmation 2 : fausse. La multiplication est prioritaire sur la soustraction :

\[\dfrac{7}{5}-\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{5}-\dfrac{4}{15}=\dfrac{21}{15}-\dfrac{4}{15}=\dfrac{17}{15}\]

Le résultat est \(\dfrac{17}{15}\) et non \(\dfrac{1}{5}\) (on trouve \(\dfrac{1}{5}\) si l’on effectue à tort la soustraction en premier).

Affirmation 3 : vraie. Puis on résout \(4x-5=x+1\) : \(4x-x=1+5\), soit \(3x=6\), donc \(x=2\). On remplace dans la seconde équation : \(2^2-2\times 2=4-4=0\). Le nombre 2 est bien solution de \(x^2-2x=0\).

Affirmation 4 : fausse. Un seul contre-exemple suffit : pour \(n=4\), \(2^4-1=15=3\times 5\), qui n’est pas premier. (On a bien \(2^2-1=3\) et \(2^3-1=7\) premiers, mais la propriété doit être vraie pour tous les entiers de 2 à 9.)

Corrigé de l’exercice 6 : neige artificielle

1. La couche de neige est un pavé droit de 480 m de long, 25 m de large et 0,40 m d’épaisseur (40 cm = 0,4 m, toutes les longueurs en mètres) :

\[V_{\text{neige}}=480\times 25\times 0{,}4=4800\ \text{m}^3\]

Il faut 1 m³ d’eau pour 2 m³ de neige, donc le volume d’eau est la moitié : \(\dfrac{4800}{2}=2400\) m³. Alors on doit produire 4 800 m³ de neige, qui utilisent 2 400 m³ d’eau.

2. Les 7 canons produisent ensemble \(7\times 30=210\) m³ de neige par heure. La durée nécessaire est :

\[\dfrac{4800}{210}\approx 22{,}86\ \text{h}\]

Après 22 heures, la neige n’est pas encore entièrement produite : il faut faire fonctionner les canons pendant environ 23 heures.

Corrigé de l’exercice 7 : les bactéries légionelles

1. Un micromètre vaut un millionième de mètre, soit \(10^{-6}\) m. Donc \(0{,}8\ \mu\text{m}=0{,}8\times 10^{-6}\) m. En écriture scientifique, le premier facteur doit être compris entre 1 et 10 : \(0{,}8\times 10^{-6}=8\times 10^{-1}\times 10^{-6}\). La taille d’une légionelle est \(8\times 10^{-7}\) m.

2. a. Chaque quart d’heure, le nombre de bactéries est multiplié par 2 par rapport à la ligne précédente. En B3, on saisit =B2*2 ; en étirant vers le bas, la formule devient =B3*2, =B4*2, etc.

b. Une heure correspond à 4 quarts d’heure : on double 4 fois le nombre de départ, 100 → 200 → 400 → 800 → 1 600. Au bout d’une heure, il y a 1 600 bactéries (\(100\times 2^4=1600\)).

c. Au temps 0, il y a déjà 100 bactéries : une situation de proportionnalité donnerait 0 pour un temps nul. De plus, entre 1 et 2 quarts d’heure le temps double et le nombre de bactéries aussi (200 puis 400), mais entre 1 et 3 quarts d’heure le temps est multiplié par 3 alors que le nombre de bactéries est multiplié par 4 (200 puis 800). Le nombre de bactéries n’est pas proportionnel au temps écoulé.

d. Ensuite, on continue le doublement : 1 600 (4 quarts d’heure), 3 200 (5), 6 400 (6), 12 800 (7). La population dépasse 10 000 bactéries après 7 quarts d’heure, soit 1 h 45 min.

3. Sur l’annexe, on trace les lectures en pointillés comme ci-dessous.

a. On part de 3 sur l’axe du temps, on monte jusqu’à la courbe puis on lit sur l’axe vertical : il reste environ 5 000 bactéries au bout de 3 heures (un peu plus de 5 000).

b. On part de 6 000 sur l’axe vertical, on rejoint la courbe puis on descend sur l’axe du temps : on lit un peu plus de 2 h, environ 2 h 15 min (environ 2,3 h).

c. Réduire de 80 % le nombre initial, c’est qu’il ne reste que 20 % des 10 000 bactéries : \(10000\times 0{,}2=2000\) bactéries. Sur le graphique, la courbe n’atteint 2 000 qu’après un peu plus de 7 heures ; à 5 heures, il reste encore environ 3 300 bactéries, soit une réduction d’environ 67 % seulement. L’antibiotique testé n’est pas efficace sur l’être humain selon ce critère.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2017 : France, septembre.

Comment utiliser le corrigé corrigé septembre 2017

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Pour les probabilités, compte les issues favorables et le nombre total d’issues, puis vérifie que ta probabilité reste comprise entre 0 et 1. En ce qui concerne le théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Quant au théorème de Thalès, cite d’abord les deux droites parallèles et les points alignés, ensuite seulement l’égalité des trois rapports. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de probabilité, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé septembre 2017, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé septembre 2017

Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2017 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2017. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les probabilités, le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et le programme Scratch. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé septembre 2017

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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