Corrigé du brevet de maths 2012 : Amérique du Nord

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Sommaire

Ce corrigé du brevet 2012 d’Amérique du Nord (8 juin 2012) reprend les activités numériques, les activités géométriques et le problème. Tu y vois comment démontrer ou réfuter une affirmation (un contre-exemple suffit pour dire faux), comment exploiter une moyenne, une médiane et une étendue sans connaître toutes les données, et comment repérer une croissance par doublement. En géométrie, on applique le théorème de Thalès dans une configuration en papillon, on calcule des volumes de cônes et de cylindre en valeur exacte, puis on construit un carré grâce au théorème de Pythagore. Le problème de l’échange avec le Mexique fait travailler un tableau d’effectifs, la proportionnalité d’une recette, une probabilité, un partage de frais, des durées et le décalage horaire.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2012 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : vrai ou faux

Affirmation 1. \(\dfrac{1}{8}=\dfrac{125}{1\,000}=0{,}125\) : ce nombre s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. On cherche les diviseurs de 72 par paires : \(72=1\times72=2\times36=3\times24=4\times18=6\times12=8\times9\). Les diviseurs de 72 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72 : il y en a 12, pas 5. L’affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. On développe avec l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :

\[(n-1)(n+1)+1=n^2-1+1=n^2\]

Pour tout entier \(n\), on obtient le carré de l’entier \(n\). L’affirmation 3 est vraie. (Exemple : avec \(n=5\), \(4\times6+1=25=5^2\).)

Affirmation 4. Il suffit d’un contre-exemple : 9 et 15 sont impairs, mais ils sont tous les deux divisibles par 3. Leur plus grand diviseur commun est 3, pas 1, donc ils ne sont pas premiers entre eux. L’affirmation 4 est fausse.

À retenir : pour prouver qu’une affirmation générale est vraie, il faut un calcul valable pour tous les cas (souvent avec une lettre) ; pour prouver qu’elle est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Corrigé de l’exercice 2 : livres empruntés dans deux classes

1. La classe n° 1 compte 21 élèves. La somme des livres empruntés est \(1+4\times2+8\times3+5\times6+3\times7=1+8+24+30+21=84\). Moyenne : \(\dfrac{84}{21}=4\). Les deux classes ont la même moyenne : 4 livres par élève.

2. Dans la classe n° 1, les grands lecteurs sont ceux qui ont emprunté 6 ou 7 livres : \(5+3=8\) élèves.

Dans la classe n° 2, il y a 25 élèves : la médiane est la 13^e valeur de la série rangée par ordre croissant, et elle vaut 5. La 13^e valeur et les 12 suivantes sont donc toutes supérieures ou égales à 5 : cela fait au moins 13 grands lecteurs. Comme \(13\gt8\), la classe n° 2 a le plus de grands lecteurs.

3. Dans la classe n° 1, le maximum est 7 livres. Dans la classe n° 2, l’étendue vaut 8 : la plus grande valeur est égale à la plus petite plus 8. Comme la plus petite valeur est au moins 0, la plus grande est au moins 8, donc supérieure à 7. L’élève qui a emprunté le plus de livres est dans la classe n° 2.

À retenir : la médiane partage la série en deux moitiés, ce qui permet de compter les valeurs au-dessus d’un seuil ; l’étendue (maximum moins minimum) renseigne sur la plus grande valeur.

Corrigé de l’exercice 3 : la cellule de bambou

Chaque heure, chaque cellule se divise en deux : le nombre de cellules double. En partant d’une cellule à midi, on note :

Heure	12 h	13 h	14 h	15 h	16 h	17 h	18 h	19 h	20 h
Nombre de cellules	1	2	4	8	16	32	64	128	256

Au bout de \(n\) heures, il y a \(2^n\) cellules. Comme \(2^7=128\lt200\) et \(2^8=256\gt200\), il faut attendre 8 heures après midi. Léa notera plus de 200 cellules pour la première fois à 20 h (256 cellules).

À retenir : une quantité qui double à chaque étape est multipliée par \(2^n\) après n étapes ; un tableau de valeurs permet de repérer le premier dépassement d’un seuil.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : le tabouret pliant

Les droites (CB) et (AD) se coupent en G. Les points C, G, B sont alignés, ainsi que D, G, A (dans cet ordre), et les droites (CD) et (AB) sont parallèles. On est dans une configuration de Thalès « en papillon », et le théorème de Thalès donne :

\[\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{GD}{GA}=\dfrac{CD}{BA}\]

Avec les longueurs connues : \(\dfrac{30}{45}=\dfrac{CD}{51}\). Or \(\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}\), donc \(CD=51\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{102}{3}=34\). L’assise mesure 34 cm.

À retenir : dans la configuration en papillon, écris les rapports en partant du point d’intersection, en associant les côtés du petit triangle à ceux du grand dans le même ordre.

Corrigé de l’exercice 2 : le sablier

1. a. Le cylindre a pour rayon \(AK=1{,}5\) cm et pour hauteur 6 cm. Son volume est aire de la base × hauteur :

\[V=\pi\times1{,}5^2\times6=\pi\times2{,}25\times6=13{,}5\pi\ \text{cm}^3\]

On a bien \(V=13{,}5\pi\ \text{cm}^3\).

b. Les deux cônes ont leur sommet commun C au milieu du cylindre : chacun a une hauteur de \(6\div2=3\) cm et une base de rayon 1,5 cm. Volume d’un cône :

\[\dfrac{\pi\times1{,}5^2\times3}{3}=2{,}25\pi\ \text{cm}^3\]

Le sablier est formé de deux cônes : \(V_1=2\times2{,}25\pi=4{,}5\pi\ \text{cm}^3\). On retrouve \(V_1=4{,}5\pi\ \text{cm}^3\).

c. \(\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{4{,}5\pi}{13{,}5\pi}=\dfrac{4{,}5}{13{,}5}=\dfrac{45}{135}=\dfrac{1}{3}\). Le sablier occupe \(\dfrac{1}{3}\) du volume du cylindre. C’est normal : un cône a le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

2. Un débit de 240 cm³ par heure correspond à \(240\div60=4\) cm³ par minute. Pour 12 cm³ de sable : \(12\div4=3\) minutes. Autre calcul : \(\dfrac{12}{240}=0{,}05\) h et \(0{,}05\times60=3\) min. Le sablier mesure 3 minutes.

Remarque : un cône a un volume de \(2{,}25\pi\approx7{,}1\) cm³, donc en réalité 12 cm³ de sable ne tiendraient pas dans un seul cône. L’énoncé n’est pas très réaliste sur ce point, mais le calcul attendu est bien celui du temps d’écoulement.

À retenir : volume du cylindre : \(\pi R^2h\) ; volume du cône : \(\dfrac{\pi R^2h}{3}\). Pour une durée à partir d’un débit, divise la quantité par le débit en faisant attention aux unités de temps.

Corrigé de l’exercice 3 : construire un carré d’aire donnée

Le petit carré a une aire de 4 cm², donc son côté mesure 2 cm, car \(2^2=4\). D’après le codage, le côté du grand carré est formé de deux segments de même longueur, dont l’un a la hauteur du petit carré : il mesure \(2\times2=4\) cm et son aire vaut \(4^2=16\ \text{cm}^2\).

On cherche un carré d’aire \(4+16=20\ \text{cm}^2\), donc de côté \(c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx4{,}47\) cm. Cette longueur ne se mesure pas exactement à la règle, mais on peut la construire avec le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 2 cm et 4 cm, l’hypoténuse vérifie \(h^2=2^2+4^2=4+16=20\), donc \(h=\sqrt{20}\).

Construction :

trace un segment de 4 cm (le côté du grand carré) ;
à une extrémité, trace un segment de 2 cm perpendiculaire au premier (le côté du petit carré) ;
relie les deux extrémités libres : ce segment mesure \(\sqrt{20}\) cm ;
construis un carré sur ce segment, à l’équerre et au compas.

Le carré construit sur l’hypoténuse a une aire de 20 cm², égale à la somme des aires des deux carrés.

À retenir : le théorème de Pythagore dit que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés : c’est l’outil idéal pour additionner des aires de carrés.

Problème

Corrigé de la partie 1 : l’inscription des élèves

1. L’échange concerne les élèves de 3^e qui étudient l’espagnol : c’est la case vide du tableau. En 4^e, il y a \(84+22+62=168\) élèves, donc en 3^e il y en a \(320-168=152\). Parmi eux, \(24+50=74\) font de l’allemand ou de l’italien, donc \(152-74=78\) font de l’espagnol. 78 élèves peuvent être concernés par l’échange.

2. Il y a 152 élèves de 3^e. Proportion des participants : \(\dfrac{24}{152}\approx0{,}158\), soit environ 15,8 %. Autre méthode : 12 % de 152 font \(0{,}12\times152=18{,}24\) élèves, et 24 est plus grand. Oui, c’est vrai : cela représente plus de 12 % des élèves de 3^e.

À retenir : dans un tableau à double entrée, on retrouve une case manquante grâce aux totaux des lignes et des colonnes. Pour comparer à un pourcentage, calcule la proportion ou le pourcentage de l’effectif total.

Corrigé de la partie II : le financement

1. a. La recette est prévue pour 4 personnes et il y en a 50 : on multiplie toutes les quantités par \(50\div4=12{,}5\).

bœuf haché : \(500\times12{,}5=6\,250\) g, soit 6,25 kg ;
haricots rouges : \(400\times12{,}5=5\,000\) g, soit 5 kg ;
oignons : \(2\times12{,}5=25\) gros oignons ;
concentré de tomate : \(65\times12{,}5=812{,}5\) g.

b. Recette du repas : \(50\times15=750\) €. Bénéfice : \(750-261=489\). Le repas rapporte un bénéfice de 489 €.

2. a. Chacun des 720 tickets a la même chance d’être tiré et 3 tickets sont gagnants. Avec un ticket, \(P(\text{gagner un lot})=\dfrac{3}{720}=\dfrac{1}{240}\approx0{,}004\). La probabilité est \(\dfrac{1}{240}\).

b. Un seul ticket gagne la mini-chaîne : la probabilité est \(\dfrac{1}{720}\), soit environ 0,0014.

3. La tombola rapporte \(720\times2=1\,440\) € (les lots sont offerts, il n’y a pas de dépense). Avec le bénéfice du repas : \(489+1\,440=1\,929\). Les deux actions rapportent bien 1 929 €.

À retenir : pour adapter une recette, on multiplie toutes les quantités par le même coefficient de proportionnalité. Dans une situation d’équiprobabilité, probabilité = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles.

Corrigé de la partie II : le voyage

1. Prix des 24 billets : \(24\times770{,}30=18\,487{,}20\) €. On retire la somme récoltée : \(18\,487{,}20-1\,929=16\,558{,}20\) €. Part de chaque élève : \(16\,558{,}20\div24\approx689{,}93\). Chaque élève paie environ 690 €. (Autre méthode : chaque élève reçoit \(1\,929\div24\approx80{,}38\) € d’aide et paie \(770{,}30-80{,}38\approx689{,}92\) €.)

2. Durée du trajet en bus : \(t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{256}{80}=3{,}2\) h. Or \(0{,}2\) h \(=0{,}2\times60=12\) min, donc le trajet dure 3 h 12 min. Il faut arriver à 11 h 30 : 11 h 30 − 3 h 12 min = 8 h 18. Le bus peut partir de Caen jusqu’à 8 h 18.

3. a. Mexico a 7 heures de retard sur la France : quand il est 17 h 24 à Mexico, il est \(17\ \text{h}\ 24+7\ \text{h}=24\) h 24 en France, c’est-à-dire 0 h 24 le lendemain. L’avion a décollé à 13 h 30 (heure française). De 13 h 30 à 24 h 24, il s’écoule 10 h 54 min. Le vol dure 10 h 54 min.

b. On convertit la durée en heures : \(54\ \text{min}=\dfrac{54}{60}\ \text{h}=0{,}9\) h, donc la durée vaut 10,9 h. Vitesse moyenne : \(v=\dfrac{9\,079}{10{,}9}\approx832{,}9\). L’avion vole à environ 833 km/h.

À retenir : pour une durée avec décalage horaire, exprime les deux horaires dans le même fuseau avant de soustraire. Pour calculer une vitesse, convertis la durée en heures décimales (54 min = 0,9 h).

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