Corrigé du brevet de maths 2012 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2012 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé septembre 2012
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé septembre 2012 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Vrai ou faux sur des calculs » (exercice 1 de la partie numérique). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Probabilité et cybercafé » (exercice 2 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « Tableur et fonctions » (exercice 3 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Thalès » (exercice 1 de géométrie). En outre, la correction reprend « Parallélogramme et angles » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Tipi pyramidal » (exercice 3 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Triathlon : préparation » (partie A). Enfin, le corrigé explique « Triathlon : analyse de la course » (partie B).
Ainsi, le corrigé corrigé septembre 2012 te fait revoir les probabilités, les équations, le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore et la moyenne, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé septembre 2012)
Corrigé de l’exercice 1 : repérer les erreurs d’un élève
1. Pour additionner un entier et une fraction, on écrit l’entier avec le même dénominateur : \(2=\dfrac{6}{3}\). Donc \(2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{3}\). L’élève a oublié le terme \(\dfrac{4}{3}\) (ou a additionné n’importe comment). La réponse est inexacte : le résultat est \(\dfrac{10}{3}\).
2. \(\sqrt{16}=4\) et \(\sqrt{9}=3\), donc \(\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7\). L’élève a calculé \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\), mais la racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines carrées. La réponse est inexacte : on trouve 7.
3. On peut utiliser l’algorithme d’Euclide : \(52=39\times 1+13\), puis \(39=13\times 3+0\). Le dernier reste non nul est 13. On le vérifie aussi avec \(52=13\times 4\) et \(39=13\times 3\), où 4 et 3 n’ont aucun diviseur commun autre que 1. La réponse est exacte : PGCD(52 ; 39) = 13.
4. Ensuite, on remplace \(b\) par \(\dfrac{1}{2}\) : \(4\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1=4\times\dfrac{1}{4}+1=1+1=2\). La réponse est exacte.
5. Pour montrer qu’une égalité « pour toute valeur » est fausse, un seul contre-exemple suffit. Avec \(b=0\) : \(4\times 0^2+1=1\) et \(1\neq 2\). L’affirmation est fausse. (En fait, \(4b^2+1=2\) équivaut à \(b^2=\dfrac{1}{4}\), qui n’est vrai que pour \(b=\dfrac{1}{2}\) ou \(b=-\dfrac{1}{2}\).)
Corrigé de l’exercice 2 : moteur de recherche et probabilité
Sur un grand nombre d’utilisateurs, la fréquence observée d’un choix est une bonne estimation de sa probabilité. Parmi les 992 utilisateurs, 789 ont choisi Youpi :
\[\dfrac{789}{992}\approx 0{,}795\]
Cette valeur est bien plus proche de 0,8 que de 0,6 ou de 0,4. La probabilité de choisir Youpi est proche de 0,8.
Corrigé de l’exercice 3 (septembre 2012) : tableur et équation
1. Dans la ligne 2 du tableur, on lit \(-1\) dans la colonne E, où \(x=1\). Donc \(g(1)=-1\) : vérification \(5\times 1^2+1-7=6-7=-1\). Le nombre 1 a pour image −1 par \(g\). (Il en existe un second, \(-\dfrac{6}{5}=-1{,}2\), mais un seul était demandé.)
2. Attention aux priorités : le carré passe avant la multiplication par 5.
\[g(-2)=5\times(-2)^2+(-2)-7=5\times 4-2-7=20-9=11\]
Puis on retrouve bien \(g(-2)=11\).
3. La formule de B2 traduit \(g(x)\) avec la cellule B1 à la place de \(x\). De la même manière, \(h(x)=2x-7\) s’écrit : =2*B1−7. Recopiée vers la droite, elle devient =2*C1−7, =2*D1−7, etc.
4. a. Ensuite, résoudre \(5x^2+x-7=2x-7\), c’est chercher les \(x\) pour lesquels \(g(x)=h(x)\). Dans la colonne D, les lignes 2 et 3 affichent toutes les deux \(-7\) pour \(x=0\). Le nombre 0 est une solution de l’équation.
b. Ensuite, on regroupe tout dans le membre de gauche :
\[5x^2+x-7-2x+7=0 \quad\text{soit}\quad 5x^2-x=0\]
Puis on factorise par \(x\) : \(x(5x-1)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul, donc \(x=0\) ou \(5x-1=0\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{1}{5}=0{,}2\).
Vérification : \(g(0{,}2)=5\times 0{,}04+0{,}2-7=-6{,}6\) et \(h(0{,}2)=0{,}4-7=-6{,}6\). Oui, l’équation a une autre solution : \(x=0{,}2\), que le tableur ne pouvait pas montrer car il n’affiche que des valeurs entières de \(x\).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : Thalès en configuration papillon
Les droites (BE) et (CD) se coupent en A, les points B, A, E d’une part et C, A, D d’autre part sont alignés, et (BC) // (DE). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{DE}\]
On connaît AC = 2,1 cm, AD = 1,5 cm et DE = 3,5 cm, donc on utilise l’égalité \(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{DE}\) :
\[\dfrac{2{,}1}{1{,}5}=\dfrac{BC}{3{,}5} \quad\text{donc}\quad BC=\dfrac{2{,}1\times 3{,}5}{1{,}5}=\dfrac{7{,}35}{1{,}5}=4{,}9\]
Le segment [BC] mesure bien 4,9 cm. La longueur AB = 3,2 cm n’est pas utile pour cette question.
Corrigé de l’exercice 2 : angle dans un parallélogramme
Étape 1 : l’angle \(\widehat{GJI}\). Dans le triangle GIJ, la somme des angles vaut 180° :
\[\widehat{GJI}=180^\circ-110^\circ-30^\circ=40^\circ\]
Étape 2 : angles alternes-internes. JGIH est un parallélogramme, donc ses côtés opposés (GJ) et (IH) sont parallèles. La diagonale (IJ) coupe ces deux droites parallèles : les angles \(\widehat{GJI}\) et \(\widehat{JIH}\) sont alternes-internes, donc ils ont la même mesure.
Donc \(\widehat{JIH}=40^\circ\).
Autre méthode pour vérifier : deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires, donc \(\widehat{GIH}=180^\circ-110^\circ=70^\circ\) et \(\widehat{JIH}=70^\circ-30^\circ=40^\circ\).
Corrigé de l’exercice 3 (septembre 2012) : le tipi pyramidal
1. La base est le rectangle ABCD, d’aire \(B=AD\times CD=1{,}6\times 1{,}2=1{,}92\ \text{m}^2\). La hauteur est \(h=SH=2{,}4\) m.
\[V=\dfrac{1{,}92\times 2{,}4}{3}=\dfrac{4{,}608}{3}=1{,}536\]
Le volume du tipi est \(V=1{,}536\ \text{m}^3\) (environ 1,54 m³).
2. ABCD est un rectangle, donc le triangle BAD est rectangle en A, avec AB = CD = 1,20 m et AD = 1,60 m. D’après le théorème de Pythagore :
\[BD^2=AB^2+AD^2=1{,}2^2+1{,}6^2=1{,}44+2{,}56=4\]
Donc BD = 2 m.
3. a. Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu, et H est le centre du rectangle, donc H est le milieu de [BD] : HD = 1 m. La hauteur [SH] est perpendiculaire à la base, donc le triangle SHD est rectangle en H. Par le théorème de Pythagore :
\[SD^2=SH^2+HD^2=2{,}4^2+1^2=5{,}76+1=6{,}76\]
\(\sqrt{6{,}76}=2{,}6\), donc SD = 2,60 m.
b. Dans le triangle SAD, E est sur [SA], F est sur [SD] et (EF) // (AD). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{EF}{AD} \quad\text{donc}\quad EF=\dfrac{1{,}95\times 1{,}6}{2{,}6}=\dfrac{3{,}12}{2{,}6}=1{,}2\]
La baguette [EF] mesure 1,20 m.
4. Faisons la liste des neuf baguettes :
- les quatre arêtes latérales [SA], [SB], [SC], [SD], de 2,60 m chacune (la pyramide a sa hauteur au centre du rectangle, donc toutes ses arêtes latérales ont la même longueur que [SD]) ;
- deux côtés de 1,60 m : [AD] et [BC] ;
- trois baguettes de 1,20 m : [AB], [CD] et [EF].
Une baguette de 2,60 m laisse une chute de 0,40 m, trop courte pour faire une autre baguette : il faut une tige entière pour chaque arête latérale, soit 4 tiges.
Il reste cinq baguettes (1,60 ; 1,60 ; 1,20 ; 1,20 ; 1,20). Une tige donne au plus deux baguettes, donc il faut au moins 3 tiges pour ces cinq baguettes. Trois tiges suffisent :
- tige 1 : 1,60 m + 1,20 m = 2,80 m (AD et AB) ;
- tige 2 : 1,60 m + 1,20 m = 2,80 m (BC et CD) ;
- tige 3 : 1,20 m (EF), il reste 1,80 m inutilisé.
On ne peut pas faire mieux : deux baguettes de 1,60 m ensemble feraient 3,20 m, plus que 3 m, mais de toute façon trois tiges sont le minimum pour cinq baguettes. Il faut acheter au minimum 4 + 3 = 7 tiges de bambou.
Problème
Corrigé de la partie A : préparer le triathlon
1. Le parcours de natation fait le tour du triangle DAB : \(250+600+650=1\,500\) m, c’est-à-dire 1,5 km. Si Rémi nage 1 km en 20 minutes à vitesse régulière, la durée est proportionnelle à la distance : pour 0,5 km il met 10 minutes. Pour 1,5 km, il mettra \(20+10=30\) minutes.
2. a. Le triangle PHS est rectangle en H, avec PS = 20 km = 20 000 m et SH = 800 m. Le théorème de Pythagore donne \(PS^2=PH^2+SH^2\), donc :
\[PH^2=20\,000^2-800^2=400\,000\,000-640\,000=399\,360\,000\]
\(PH=\sqrt{399\,360\,000}\approx 19\,983{,}99\). Arrondi au mètre, PH = 19 984 m.
b. Le dénivelé est \(d=800\) m et la longueur horizontale \(l=19\,984\) m (même unité, c’est bon) :
\[p=\dfrac{800}{19\,984}\times 100\approx 4{,}003\]
La pente moyenne du col est d’environ 4 %.
3. Deux tours de 20 minutes font 40 minutes pour 10 km. Pour trouver la distance en une heure (60 min), on multiplie par \(\dfrac{60}{40}=1{,}5\) :
\[v=\dfrac{10\ \text{km}}{\frac{2}{3}\ \text{h}}=10\times\dfrac{3}{2}=15\ \text{km/h}\]
Sa vitesse moyenne prévue est de 15 km/h.
4. Total : 30 min + 1 h 30 min + 40 min = 1 h 30 min + 70 min = 2 h 40 min.
| Épreuves | Natation | Cyclisme | Course à pied | Total du triathlon |
|---|---|---|---|---|
| Temps prévus | 30 min | 1 h 30 min | 40 min | 2 h 40 min |
Temps total prévu : 2 h 40 min.
Corrigé de la partie B : analyser la course
1. Les prévisions donnent des points de coordonnées (durée cumulée ; distance cumulée). Sur le graphique, un petit carreau horizontal vaut 5 minutes (12 carreaux par heure) et un petit carreau vertical vaut 2,5 km.
- fin de la natation prévue : 30 min = 0,5 h et 1,5 km, point P1(0,5 ; 1,5) ;
- fin du cyclisme prévue : 30 min + 1 h 30 min = 2 h et 1,5 + 40 = 41,5 km, point P2(2 ; 41,5) ;
- fin du triathlon prévue : 2 h 40 min, soit environ 2,67 h (32 carreaux de 5 min), et 51,5 km, point P3(2 h 40 ; 51,5).
2. Ensuite, on lit les temps réels : R1 est à 7 carreaux, soit 35 min ; R2 est à 2 h ; R3 est à 3 h.
a. Non : il a terminé en 3 h au lieu de 2 h 40 min prévues, soit 20 minutes de plus.
b. Natation : 35 min au lieu de 30 min (moins bien). Cyclisme : de 35 min à 2 h, soit 1 h 25 min au lieu de 1 h 30 min (mieux). Course à pied : de 2 h à 3 h, soit 1 h au lieu de 40 min (moins bien). Il a fait mieux que prévu uniquement sur la partie cyclisme.
3. Rémi a perdu \(75-71=4\) kg. Rapportée à son poids de départ, cette perte représente :
\[\dfrac{4}{75}\times 100\approx 5{,}3\ \%\]
C’est plus que 4 %, ce qui correspond à la ligne « Risque de malaise » du tableau. Oui, Rémi était proche du malaise : sa perte de poids dépasse même le seuil de 4 %.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé septembre 2012
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Pour les probabilités, compte les issues favorables et le nombre total d’issues, puis vérifie que ta probabilité reste comprise entre 0 et 1. En ce qui concerne les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Quant au théorème de Thalès, cite d’abord les deux droites parallèles et les points alignés, ensuite seulement l’égalité des trois rapports. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de probabilité, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé septembre 2012, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé septembre 2012
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2012 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2012. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les probabilités, les équations, le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé septembre 2012
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
Les autres corrigés du brevet 2012
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- Corrigé du brevet de maths 2012 : Amérique du Nord
- De même, corrigé du brevet de maths 2012 : Centres étrangers
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
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