Corrigé du brevet de maths 2014 : France

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2014 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : octogone régulier et cercle

1. Un octogone régulier inscrit dans un cercle découpe le tour complet en 8 angles au centre égaux : \(360^\circ\div 8=45^\circ\). Construction : trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm, place un point A sur le cercle, puis avec le rapporteur trace des rayons tous les 45° pour obtenir B, C, D, E, F, G et H (tu peux aussi reporter la longueur AB au compas tout autour du cercle). Relie enfin les huit points dans l’ordre.

2. De D à H, en passant par E, F et G, il y a 4 côtés, donc \(\widehat{DOH}=4\times 45^\circ=180^\circ\) : les points D, O et H sont alignés et [DH] est un diamètre du cercle circonscrit. Le point A est sur ce cercle. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Donc le triangle DAH est rectangle en A.

3. L’angle \(\widehat{BEH}\) est un angle inscrit dans le cercle : son sommet E est sur le cercle et il intercepte l’arc BH (celui qui passe par A). L’angle au centre qui intercepte le même arc est \(\widehat{BOH}=2\times 45^\circ=90^\circ\). Un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc, donc \(\widehat{BEH}=45^\circ\).

Corrigé de l’exercice 2 : comparer des promotions

Notons \(x\) le prix d’un cahier avant promotion (le même dans les trois magasins).

1. Pour un seul cahier, Léa paie \(x\) au magasin A (le lot ne sert qu’à partir de 3 cahiers) et \(x\) au magasin B (la réduction ne porte que sur le deuxième). Au magasin C, elle paie \(x-0{,}3x=0{,}7x\). Comme \(0{,}7x\lt x\), le magasin C est le plus intéressant pour un cahier : c’est le seul à réduire le prix du premier cahier.

2. a. Prix de deux cahiers :

Le prix le plus bas est \(1{,}4x\) : pour deux cahiers, elle doit choisir le magasin C.

2. b. Prix de trois cahiers (au magasin B, le troisième cahier n’a pas de réduction) :

Le prix le plus bas est \(2x\) : pour trois cahiers, elle doit choisir le magasin A.

3. Baisser un prix de 30 % revient à le multiplier par 0,7 ; baisser ensuite de 10 % revient à multiplier par 0,9. Les deux réductions s’enchaînent :

\[x\times 0{,}7\times 0{,}9=0{,}63x\]

Léa paie 63 % du prix initial, donc la réduction totale est de \(100\ \%-63\ \%=\) 37 % (et non 40 % : la seconde réduction s’applique à un prix déjà diminué).

Corrigé de l’exercice 3 : programme de calcul

1. Avec 8 : d’un côté \(8-6=2\), de l’autre \(8-2=6\), puis \(2\times 6=12\). Le programme donne bien 12.

2. Si on choisit un nombre \(x\), le programme calcule \((x-6)(x-2)\).

Proposition 1. Essayons avec 4 : \(4-6=-2\) et \(4-2=2\), puis \((-2)\times 2=-4\). Le résultat est négatif, donc la proposition 1 est vraie.

Proposition 2. Avec \(\dfrac{1}{2}\) : \(\dfrac{1}{2}-6=-\dfrac{11}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}\), puis

\[\left(-\dfrac{11}{2}\right)\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{33}{4}\]

La proposition 2 est vraie.

Proposition 3. Le résultat est nul lorsque \((x-6)(x-2)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x-6=0\) ou \(x-2=0\), c’est-à-dire \(x=6\) ou \(x=2\). Il y a exactement deux nombres qui donnent 0 : la proposition 3 est vraie.

Proposition 4. En développant, \((x-6)(x-2)=x^2-2x-6x+12=x^2-8x+12\). Cette fonction contient un terme en \(x^2\), elle n’est pas de la forme \(x\mapsto ax\). Autre argument : une fonction linéaire donne toujours 0 pour 0, alors qu’ici le résultat pour 0 est \((-6)\times(-2)=12\). La proposition 4 est fausse.

Corrigé de l’exercice 4 : fréquences et probabilité

1. a. Après un grand nombre de tirages, la fréquence du jaune se stabilise autour de 0,5, bien au-dessus des autres couleurs : la couleur la plus présente est le jaune.

1. b. La fréquence est le nombre d’apparitions du rouge divisé par le nombre de tirages. En ligne 2, il faut donc diviser B2 par A2 ; en recopiant vers le bas, les numéros de ligne s’adaptent. Contrôle en ligne 7 : \(1\div 6\approx 0{,}1667\). La formule est =B2/A2.

2. Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés, donc la probabilité de tirer un rouge est \(\dfrac{\text{nombre de jetons rouges}}{20}\). On veut \(\dfrac{\text{nombre de jetons rouges}}{20}=\dfrac{1}{5}\), donc nombre de jetons rouges \(=20\times\dfrac{1}{5}=4\). Il y a 4 jetons rouges dans le sac.

Corrigé de l’exercice 5 : QCM (volumes, vitesse, racines, puissances)

Question 1. Le volume d’une boule est \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\). Avec un rayon \(2r\), on obtient \(\dfrac{4}{3}\pi(2r)^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 8r^3\) : le volume est multiplié par \(2^3=8\). Réponse d : 8.

Question 2. 36 km en 1 heure, c’est 36 000 m en 3 600 s, soit \(36\,000\div 3\,600=10\) m par seconde. Réponse a : \(10\ \text{m.s}^{-1}\).

Question 3. On cherche un carré parfait dans 525 : \(525=25\times 21\), donc \(\sqrt{525}=\sqrt{25}\times\sqrt{21}=5\sqrt{21}\). En divisant par 5, on obtient \(\sqrt{21}\). Réponse c : \(\sqrt{21}\).

Question 4. On convertit tout en octets : \(1{,}5\ \text{To}=1{,}5\times 10^{12}\) octets et \(60\ \text{Go}=60\times 10^{9}=6\times 10^{10}\) octets. Le nombre de dossiers vaut

\[\dfrac{1{,}5\times 10^{12}}{6\times 10^{10}}=0{,}25\times 10^{2}=25\]

Réponse a : 25.

Corrigé de l’exercice 6 : feux de croisement, tangente et Thalès

1. Le quadrilatère APQC a trois angles droits (en A, en Q et en C) : c’est un rectangle, donc QC = PA = 0,65 m. Le point K est sur [QC], d’où \(\text{QK}=\text{QC}-\text{CK}=0{,}65-0{,}58=0{,}07\) m. L’inclinaison vaut alors

\[\dfrac{\text{QK}}{\text{QP}}=\dfrac{0{,}07}{5}=0{,}014\]

L’inclinaison est bien de 0,014 (comprise entre 0,01 et 0,015, donc conforme).

2. Le triangle PQK est rectangle en Q. Par rapport à l’angle \(\widehat{QPK}\), [QK] est le côté opposé et [QP] le côté adjacent :

\[\tan\widehat{QPK}=\dfrac{\text{QK}}{\text{QP}}=0{,}014\]

À la calculatrice, \(\arctan(0{,}014)\approx 0{,}80^\circ\), donc \(\widehat{QPK}\approx 0{,}8^\circ\) au dixième de degré.

3. Les droites (CK) et (AP) sont toutes les deux perpendiculaires au sol (AS), donc elles sont parallèles. Dans le triangle SAP, le point C est sur [SA] et K sur [SP]. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{SC}}{\text{SA}}=\dfrac{\text{CK}}{\text{AP}}=\dfrac{0{,}58}{0{,}65}\]

Comme SC = SA − 5, on obtient \(0{,}65\times(\text{SA}-5)=0{,}58\times\text{SA}\), soit \(0{,}07\times\text{SA}=3{,}25\), donc

\[\text{SA}=\dfrac{3{,}25}{0{,}07}\approx 46{,}4\ \text{m}\]

Vérification par la trigonométrie : les droites (PQ) et (AS) sont parallèles, donc l’angle \(\widehat{PSA}\) est égal à \(\widehat{QPK}\) (angles alternes-internes), et dans le triangle PAS rectangle en A, \(\text{AS}=\dfrac{\text{PA}}{\tan\widehat{PSA}}=\dfrac{0{,}65}{0{,}014}\approx 46{,}4\) m. La distance d’éclairage est d’environ 46 m.

Corrigé de l’exercice 7 : isolation d’un toit en bottes de paille

1. On calcule le volume d’une botte en m³ : 90 cm = 0,9 m, 45 cm = 0,45 m, 35 cm = 0,35 m.

\[V=0{,}9\times 0{,}45\times 0{,}35=0{,}14175\ \text{m}^3\]

Masse : 1 m³ pèse 90 kg, donc une botte pèse \(0{,}14175\times 90=12{,}7575\) kg, soit 0,012 757 5 tonne.

Prix : \(0{,}0127575\times 40=0{,}5103\) €, soit bien 0,51 € par botte au centime près.

2. a. La zone grisée est un rectangle de longueur FG = BC = 15,3 m et de largeur JF. Dans le triangle JIF rectangle en I : IF = AB = 3,6 m et JI = AJ − AI = 7,7 − 5 = 2,7 m (car AI = CG = 5 m). D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{JF}^2=\text{JI}^2+\text{IF}^2=2{,}7^2+3{,}6^2=7{,}29+12{,}96=20{,}25\]

donc \(\text{JF}=\sqrt{20{,}25}=4{,}5\) m.

L’isolation fait 35 cm d’épaisseur : les bottes sont donc posées sur leur face de 90 cm × 45 cm. Comme sur la photo, on les aligne dans le sens de la pente : \(4{,}5\div 0{,}9=5\) bottes sur la largeur et \(15{,}3\div 0{,}45=34\) bottes sur la longueur. Il faut \(5\times 34=\) 170 bottes.

On le confirme par les aires : le toit mesure \(4{,}5\times 15{,}3=68{,}85\ \text{m}^2\) et chaque botte couvre \(0{,}9\times 0{,}45=0{,}405\ \text{m}^2\) ; or \(68{,}85\div 0{,}405=170\).

2. b. Avec le prix arrondi d’une botte : \(170\times 0{,}51=86{,}70\). La paille coûte 86,70 € (avec le prix exact 0,5103 €, on trouve 86,75 €, la différence vient de l’arrondi).

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