Sujet du bac de maths 2022 : Liban, jour 1
La solution rédigée question par question se trouve sur la page du corrigé ; gardez-la pour après votre propre recherche. D'autres épreuves attendent sur la page des sujets du bac de maths.
Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2022
Liban (centres étrangers groupe 1 : Mayotte, Liban, Madagascar…) — Sujet 1 (jour 1) — 18 mai 2022
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 6 points (le total sera ramené sur 20 points). Chaque exercice est noté sur 7 points au Liban.
La clarté et la précision de l'argumentation ainsi que la qualité de la rédaction sont notées sur 2 points.
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.
Exercice 1 (sujet de bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
Principaux domaines abordés : Probabilités
Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur :
- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ;
- un forfait SENIOR pour les autres.
Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.
Également, par ailleurs, on admet que :
- 20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
- 80 % des skieurs ont un forfait SENIOR ;
- parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6 % choisissent l'option coupe-file ;
- parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5 % choisissent l'option coupe-file.
Par ailleurs, on interroge un skieur au hasard et on considère les évènements :
- \(J\) : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
- \(C\) : « le skieur choisit l'option coupe-file ».
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité \(P(J \cap C)\).
3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à \(0{,}112\).
4. Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).
5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.
Partie B
On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112.
Puis on considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.
Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.
1. En outre, on admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Par ailleurs, donner les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).
3. Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).
4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\).
Exercice 2 (sujet de bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
Principaux domaines abordés : Suites ; Fonctions, Fonction logarithme.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Puis pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Ensuite, une réponse exacte rapporte un point. Puis une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. De plus, pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
1. Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil. Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15 %. Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?
| a. 2 heures | b. 8 heures | c. 9 heures | d. 13 heures |
2. Ensuite, on considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = 4\ln(3x)\). Ensuite, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), on a :
| a. \(f(2x) = f(x) + \ln(24)\) | b. \(f(2x) = f(x) + \ln(16)\) |
| c. \(f(2x) = \ln(2) + f(x)\) | d. \(f(2x) = 2f(x)\) |
3. Puis on considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]1\,;\,+\infty[\) par :
\[g(x) = \dfrac{\ln(x)}{x - 1}.\]
Désormais, on note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal. Par ailleurs, la courbe \(\mathcal{C}_g\) admet :
| a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale. | b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale. |
| c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale. | d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale. |
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \(h\) définie sur l'intervalle \(]0\,;\,2]\) par :
\[h(x) = x^2\left[1 + 2\ln(x)\right].\]
Ensuite, on note \(\mathcal{C}_h\) la courbe représentative de \(h\) dans un repère du plan. Par ailleurs, on admet que \(h\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(]0\,;\,2]\). Désormais, on note \(h'\) sa dérivée et \(h''\) sa dérivée seconde. Par ailleurs, on admet que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0\,;\,2]\), on a :
\[h'(x) = 4x\left(1 + \ln(x)\right).\]
Question 4
4. Sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2\right]\), la fonction \(h\) s'annule :
| a. exactement 0 fois. | b. exactement 1 fois. |
| c. exactement 2 fois. | d. exactement 3 fois. |
5. Une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_h\) au point d'abscisse \(\sqrt{\text{e}}\) est :
| a. \(y = \left(6\text{e}^{\frac12}\right)x\) | b. \(y = \left(6\sqrt{\text{e}}\right)x + 2\text{e}\) |
| c. \(y = 6\text{e}^{\frac{x}{2}}\) | d. \(y = \left(6\text{e}^{\frac12}\right)x - 4\text{e}\) |
6. Sur l'intervalle \(]0\,;\,2]\), le nombre de points d'inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_h\) est égal à :
| a. 0 | b. 1 | c. 2 | d. 3 |
7. (uniquement au Liban) On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par
\[u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 3 \quad \text{et} \quad u_0 = 6.\]
Par ailleurs, on peut affirmer que :
| a. la suite \((u_n)\) est strictement croissante. | b. la suite \((u_n)\) est strictement décroissante. |
| c. la suite \((u_n)\) n'est pas monotone. | d. la suite \((u_n)\) est constante. |
Exercice 3 (sujet de bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
Principaux domaines abordés : Suites ; Fonctions, Fonction exponentielle.
Partie A
On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :
\[f(x) = 1 + x - \text{e}^{0{,}5x - 2}.\]
Par ailleurs, on admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Ensuite, on note \(f'\) sa dérivée.
1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
b. Démontrer que, pour tout réel \(x\) non nul, \(f(x) = 1 + 0{,}5x\left(2 - \dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x} \times \text{e}^{-2}\right)\).
En déduire la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
2. a. Déterminer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\).
b. Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f'(x) \lt 0\) est l'intervalle \(]4 + 2\ln(2)\,;\,+\infty[\).
3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Ensuite, on fera figurer la valeur exacte de l'image de \(4 + 2\ln(2)\) par \(f\).
4. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution sur l'intervalle \([-1\,;\,0]\).
Partie B
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\) où \(f\) est la fonction définie à la partie A.
1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.\]
b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. Désormais, on notera \(\ell\) la limite.
2. a. Par ailleurs, on rappelle que \(f\) vérifie la relation \(\ell = f(\ell)\). Démontrer que \(\ell = 4\).
b. Puis on considère la fonction valeur écrite ci-dessous dans le langage Python :
def valeur (a) :
u = 0
n = 0
while u <= a:
u=1 + u - exp(0.5*u - 2)
n = n+1
return n
L'instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Exercice 4 (sujet de bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
Principaux domaines abordés : Géométrie dans l'espace
L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)\).
Désormais, on considère les points \(\text{A}(5\,;\,0\,;\,-1)\), \(\text{B}(1\,;\,4\,;\,-1)\), \(\text{C}(1\,;\,0\,;\,3)\), \(\text{D}(5\,;\,4\,;\,3)\) et \(\text{E}(10\,;\,9\,;\,8)\).
1. a. Soit R le milieu du segment [AB].
Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).
b. Soit \(\mathcal{P}_1\) le plan passant par le point R et dont \(\overrightarrow{\text{AB}}\) est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}_1\) est :
\[x - y - 1 = 0.\]
c. Démontrer que le point E appartient au plan \(\mathcal{P}_1\) et que EA = EB.
2. Ensuite, on considère le plan \(\mathcal{P}_2\) d'équation cartésienne \(x - z - 2 = 0\).
a. Justifier que les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants.
b. Puis on note \(\Delta\) la droite d'intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).
Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) est :
\[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2 + t\\ y &=& 1 + t\\ z &=& t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R}).\]
3. Désormais, on considère le plan \(\mathcal{P}_3\) d'équation cartésienne \(y + z - 3 = 0\).
Justifier que la droite \(\Delta\) est sécante au plan \(\mathcal{P}_3\) en un point \(\Omega\) dont on déterminera les coordonnées.
Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. Par ailleurs, on admet que les plans \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\) et \(\mathcal{P}_3\) sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].
Question 4
4. a. Justifier que \(\Omega\text{A} = \Omega\text{B} = \Omega\text{C} = \Omega\text{D}\).
b. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.
Présentation du sujet de bac 2022, Liban, jour 1
Ce sujet de bac 2022, Liban, jour 1 du 18 mai 2022 compte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (6 points) porte sur : probabilités conditionnelles, arbre pondéré, probabilités totales, loi binomiale, espérance. Ensuite, l'exercice 2 (6 points) aborde : qCM : suite géométrique et logarithme, propriétés de ln, asymptotes, tangente, convexité, suite arithmético-géométrique. Puis, l'exercice 3 (6 points) aborde : fonction exponentielle, limites et croissances comparées, variations, théorème des valeurs intermédiaires, suite récurrente, récurrence, algorithme de seuil en Python. Enfin, l'exercice 4 (6 points) traite : géométrie dans l'espace : milieu, vecteur normal, équation cartésienne de plan, distances, intersection de plans, représentation paramétrique, plans médiateurs, sphère.
En pratique, chronométrez-vous dès le départ, car le temps file vite. Par exemple, l'exercice 1 vaut 6 points, donc il mérite environ 70 minutes. Par ailleurs, une question admise peut toujours servir pour la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2022, Liban, jour 1
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Puis pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. Ensuite, en effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.
Quand vous avez fini, passez à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2022
- France, jour 1
- France, jour 2
- Amérique du Nord, jour 1
- Amérique du Nord, jour 2
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- Liban, jour 2
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.
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