Corrigé du bac de maths 2022 : Liban, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2022, Liban, jour 2) 6 points

Arbre pondéré, probabilités totales, indépendance, formule de Bayes, loi binomiale, inéquation avec logarithme

1. Arbre pondéré de la situation.

Le premier niveau sépare les femmes (\( F \)) des hommes (\( \overline{F} \)) ; le second indique si la personne est cadre. Les probabilités d'une même branche se complètent à 1 : \( 1 - 0{,}48 = 0{,}52 \), \( 1 - 0{,}165 = 0{,}835 \) et \( 1 - 0{,}215 = 0{,}785 \).

• \( F \) avec probabilité \( 0{,}48 \)
  • \( C \) avec probabilité \( P_F(C) = 0{,}165 \)
  • \( \overline{C} \) avec probabilité \( P_F(\overline{C}) = 0{,}835 \)
• \( \overline{F} \) avec probabilité \( 0{,}52 \)
  • \( C \) avec probabilité \( P_{\overline{F}}(C) = 0{,}215 \)
  • \( \overline{C} \) avec probabilité \( P_{\overline{F}}(\overline{C}) = 0{,}785 \)

En conclusion : l'arbre comporte deux branches \( F \) (0,48) et \( \overline{F} \) (0,52), puis \( C \) avec 0,165 sous \( F \) et 0,215 sous \( \overline{F} \).

2. Probabilité d'une femme cadre.

Ensuite, on cherche \( P(F \cap C) \). Par ailleurs, on suit le chemin \( F \) puis \( C \) de l'arbre et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[ P(F \cap C) = P(F) \times P_F(C) = 0{,}48 \times 0{,}165 = 0{,}0792. \]

En conclusion : \( P(F \cap C) = 0{,}0792 \).

3. a) Montrer que \( P(C) = 0{,}191 \).

Les évènements \( F \) et \( \overline{F} \) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne donc :

\[ P(C) = P(F \cap C) + P(\overline{F} \cap C) = 0{,}0792 + 0{,}52 \times 0{,}215 = 0{,}0792 + 0{,}1118 = 0{,}191. \]

En conclusion : \( P(C) = 0{,}191 \).

Question 3 b

3. b) \( F \) et \( C \) sont-ils indépendants ?

Deux évènements sont indépendants lorsque \( P(F \cap C) = P(F) \times P(C) \). Or \( P(F) \times P(C) = 0{,}48 \times 0{,}191 = 0{,}09168 \), alors que \( P(F \cap C) = 0{,}0792 \). Les deux nombres diffèrent. Ensuite, on pouvait aussi le voir sans calcul : \( P_F(C) = 0{,}165 \) n'est pas égal à \( P(C) = 0{,}191 \), donc savoir que la personne est une femme modifie la probabilité qu'elle soit cadre.

En conclusion : \( F \) et \( C \) ne sont pas indépendants.

4. Calculer \( P_C(F) \) et l'interpréter.

Par définition d'une probabilité conditionnelle (on « remonte » l'arbre) :

\[ P_C(F) = \dfrac{P(F \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0{,}0792}{0{,}191} \approx 0{,}4147. \]

Interprétation : parmi les cadres de l'entreprise, environ 41,47 % sont des femmes. C'est moins que la part des femmes dans l'ensemble des salariés (48 %).

En conclusion : \( P_C(F) \approx 0{,}4147 \) ; un cadre pris au hasard est une femme avec une probabilité d'environ 0,4147.

5. a) Loi de \( X \).

Pour chaque salarié tiré, on regarde une seule chose : est-il cadre (succès, probabilité \( p = 0{,}191 \)) ou non (échec) ? C'est une épreuve de Bernoulli. Par ailleurs, on la répète 15 fois, et comme le tirage est assimilé à un tirage avec remise, les 15 épreuves sont identiques et indépendantes. \( X \) compte le nombre de succès de ce schéma de Bernoulli.

En conclusion : \( X \) suit la loi binomiale \( \mathcal{B}(15\,;\,0{,}191) \).

Question 5 b

5. b) Probabilité d'au plus un cadre.

« Au plus 1 cadre » signifie \( X = 0 \) ou \( X = 1 \). Avec \( P(X = k) = \dbinom{15}{k}\,0{,}191^k\,0{,}809^{15-k} \) :

\[ P(X \leqslant 1) = 0{,}809^{15} + 15 \times 0{,}191 \times 0{,}809^{14} \approx 0{,}0416 + 0{,}1474 \approx 0{,}1890. \]

En conclusion : \( P(X \leqslant 1) \approx 0{,}1890 \).

5. c) Espérance de \( X \).

Pour une loi binomiale \( \mathcal{B}(n\,;\,p) \), l'espérance vaut \( n \times p \). Ici \( E(X) = 15 \times 0{,}191 = 2{,}865 \). Sur un grand nombre d'échantillons de 15 salariés, on trouve en moyenne un peu moins de 3 cadres par échantillon.

En conclusion : \( E(X) = 2{,}865 \).

6. Taille minimale de l'échantillon pour avoir au moins un cadre avec probabilité au moins 0,99.

Avec \( n \) salariés, le nombre de cadres \( Y \) suit la loi \( \mathcal{B}(n\,;\,0{,}191) \). Ensuite, on passe par l'évènement contraire : « au moins un cadre » est le contraire de « aucun cadre », donc \( P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0{,}809^n \).

\[ 1 - 0{,}809^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}809^n \leqslant 0{,}01 \iff n \ln(0{,}809) \leqslant \ln(0{,}01). \]

Donc on a appliqué la fonction \( \ln \), strictement croissante sur \( ]0\,;\,+\infty[ \), qui conserve l'ordre. Comme \( \ln(0{,}809) \lt 0 \), la division change le sens de l'inégalité :

\[ n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}809)} \approx 21{,}73. \]

Vérification : \( 0{,}809^{21} \approx 0{,}0117 \gt 0{,}01 \) mais \( 0{,}809^{22} \approx 0{,}0094 \leqslant 0{,}01 \).

En conclusion : il faut au minimum \( n = 22 \) salariés.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2022, Liban, jour 2) 6 points

Orthogonalité droite-plan, vecteur normal, équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume d'un tétraèdre

Dans le repère \( \left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right) \), on lit les coordonnées utiles : A(0 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1).

1. a) (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

La face ADHE du cube est un carré. Les segments [AH] et [ED] sont ses deux diagonales. Or les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires (un carré est un losange).

En conclusion : les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

1. b) (GH) est orthogonale au plan (EDH).

Une droite est orthogonale à un plan dès qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Dans le carré EFGH, (GH) est perpendiculaire à (HE). Dans le carré DCGH, (GH) est perpendiculaire à (HD). Les droites (HE) et (HD) sont sécantes en H et contenues dans le plan (EDH).

En conclusion : la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

1. c) (ED) est orthogonale au plan (AGH).

La droite (ED) est contenue dans le plan (EDH). D'après 1. b), (GH) est orthogonale à toutes les droites de ce plan, donc (ED) est orthogonale à (GH). D'après 1. a), (ED) est aussi orthogonale à (AH). Or (AH) et (GH) sont deux droites sécantes (en H) du plan (AGH) : on applique à nouveau le critère d'orthogonalité droite-plan.

En conclusion : la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).

Question 2

2. Coordonnées de \( \overrightarrow{\text{ED}} \) et équation de (AGH).

\( \overrightarrow{\text{ED}} \) a pour coordonnées \( (0 - 0\,;\,1 - 0\,;\,0 - 1) = (0\,;\,1\,;\,-1) \). D'après 1. c), ce vecteur est normal au plan (AGH). Le plan admet donc une équation de la forme \( 0x + 1y - 1z + d = 0 \), soit \( y - z + d = 0 \). Le point A(0 ; 0 ; 0) est dans le plan, d'où \( d = 0 \).

Contrôle : G(1 ; 1 ; 1) donne \( 1 - 1 = 0 \) et H(0 ; 1 ; 1) donne \( 1 - 1 = 0 \).

En conclusion : \( \overrightarrow{\text{ED}}(0\,;\,1\,;\,-1) \) et (AGH) a pour équation \( y - z = 0 \).

3. a) Représentation paramétrique de (EL).

La droite passe par E(0 ; 0 ; 1) et a pour vecteur directeur \( \overrightarrow{\text{EL}}\left(\dfrac{2}{3}\,;\,1\,;\,-1\right) \). Un point M(x ; y ; z) est sur (EL) si et seulement s'il existe un réel \( t \) tel que \( \overrightarrow{\text{EM}} = t\,\overrightarrow{\text{EL}} \) :

\[ \left\{\begin{array}{l} x = \dfrac{2}{3}t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}. \]

En conclusion : (EL) : \( x = \dfrac{2}{3}t \), \( y = t \), \( z = 1 - t \), avec \( t \in \mathbb{R} \).

Question 3 b

3. b) Intersection de (EL) et de (AGH).

Ensuite, on remplace \( y \) et \( z \) par leurs expressions en \( t \) dans l'équation du plan : \( t - (1 - t) = 0 \iff 2t - 1 = 0 \iff t = \dfrac{1}{2} \). L'équation a une seule solution, donc la droite coupe le plan en un point unique, obtenu pour \( t = \dfrac{1}{2} \) : \( x = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \), \( y = \dfrac{1}{2} \), \( z = \dfrac{1}{2} \).

En conclusion : (EL) coupe (AGH) au point de coordonnées \( \left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \).

3. c) K est le projeté orthogonal de L sur (AGH).

Il faut vérifier deux choses : K est dans le plan, et \( \overrightarrow{\text{LK}} \) est normal au plan.

D'abord, \( y_K - z_K = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0 \), donc K appartient à (AGH). Ensuite, \( \overrightarrow{\text{LK}} \) a pour coordonnées \( \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2} - 1\,;\,\dfrac{1}{2} - 0\right) = \left(0\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \), c'est-à-dire \( \overrightarrow{\text{LK}} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{\text{ED}} \). Il est colinéaire au vecteur normal \( \overrightarrow{\text{ED}} \), donc la droite (LK) est orthogonale au plan.

En conclusion : K\( \left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \) est bien le projeté orthogonal de L sur (AGH).

3. d) Distance de L au plan (AGH).

La distance d'un point à un plan est la distance entre ce point et son projeté orthogonal sur le plan. Donc :

\[ \text{LK} = \sqrt{0^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \]

En conclusion : la distance de L au plan (AGH) est \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

Question 3 e

3. e) Volume du tétraèdre LAGH.

Par ailleurs, on prend pour base le triangle AGH, situé dans le plan (AGH) ; la hauteur associée est alors la distance de L à ce plan, soit LK. Le triangle AGH est rectangle en H, car (GH) est orthogonale au plan (EDH) qui contient (AH). Ses côtés de l'angle droit mesurent HG = 1 (arête du cube) et AH = \( \sqrt{2} \) (diagonale d'une face carrée de côté 1). Son aire vaut donc \( \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

\[ V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{6}. \]

En conclusion : le volume du tétraèdre LAGH est \( \dfrac{1}{6} \) unité de volume.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2022, Liban, jour 2) 6 points

QCM : convexité, lecture graphique d'une dérivée, suites bornées, signe des termes, suite arithmético-géométrique, monotonie, croissance exponentielle

1. Convexité de \( g(x) = x^{1000} + x \).

Puis on étudie le signe de la dérivée seconde. \( g'(x) = 1000x^{999} + 1 \) et \( g''(x) = 999\,000\,x^{998} \). L'exposant 998 est pair, donc \( x^{998} \geqslant 0 \) pour tout réel \( x \) : \( g'' \) est positive sur \( \mathbb{R} \). Elle s'annule en 0 mais sans changer de signe, donc il n'y a aucun point d'inflexion.

Réponse b : la fonction \( g \) est convexe sur \( \mathbb{R} \).

2. Direction de la tangente \( T \) en 0.

Le coefficient directeur de \( T \) est \( f'(0) \), c'est-à-dire l'ordonnée du point de \( \Gamma \) d'abscisse 0. Sur le graphique, \( \Gamma \) passe par (0 ; 1), donc \( f'(0) = 1 \). Deux droites non verticales sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur : parmi les propositions, seule \( y = x \) a une pente égale à 1 (\( y = 0 \) et \( y = 1 \) ont une pente nulle, \( x = 0 \) est verticale).

Réponse a : \( T \) est parallèle à la droite d'équation \( y = x \).

Question 3

3. La suite \( u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1} \).

Pour tout entier naturel \( n \), \( |u_n| = \dfrac{1}{n+1} \) et \( n + 1 \geqslant 1 \), donc \( |u_n| \leqslant 1 \), soit \( -1 \leqslant u_n \leqslant 1 \). La suite est à la fois majorée et minorée.

Réponse c : la suite \( (u_n) \) est bornée.

4. Signe de \( v_{10} \).

Un produit de deux réels est strictement négatif exactement quand ils sont non nuls et de signes contraires. Donc chaque terme a le signe opposé du précédent : le signe change à chaque rang. Après un nombre pair de changements, on retrouve le signe de départ. De \( v_0 \) à \( v_{10} \), il y a 10 changements : \( v_{10} \) a le signe de \( v_0 = k \). Les réponses a et b sont fausses car \( k \) peut être positif ou négatif.

Réponse c : \( v_{10} \) est du signe de \( k \).

5. Calcul de \( w_0 \).

La relation se retourne : \( w_{n+1} = 2w_n - 4 \iff w_n = \dfrac{w_{n+1} + 4}{2} \). Par ailleurs, on remonte : \( w_1 = \dfrac{8 + 4}{2} = 6 \), puis \( w_0 = \dfrac{6 + 4}{2} = 5 \). Contrôle : \( 2 \times 5 - 4 = 6 \) et \( 2 \times 6 - 4 = 8 \).

Réponse b : \( w_0 = 5 \).

Question 6

6. Monotonie de \( (a_n) \).

Le coefficient \( q_n = \dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n + 1} \) est strictement compris entre 0 et 1, puisque \( 0 \lt \text{e}^n \lt \text{e}^n + 1 \). Comme \( a_0 = 1 \gt 0 \) et qu'on multiplie à chaque étape par un nombre positif, une récurrence immédiate montre que \( a_n \gt 0 \) pour tout \( n \). Alors \( a_{n+1} - a_n = (q_n - 1)\,a_n \lt 0 \), produit d'un nombre négatif et d'un nombre positif.

Réponse b : la suite \( (a_n) \) est strictement décroissante.

7. Temps de génération.

Après \( n \) générations, une cellule a donné \( 2^n \) cellules. Alors, on cherche \( n \) tel que \( 2^n \approx 4\,000 \) : \( n \approx \dfrac{\ln(4\,000)}{\ln(2)} \approx 11{,}97 \), soit environ 12 générations (d'ailleurs \( 2^{12} = 4\,096 \)). Ces 12 générations durent 4 heures, soit 240 minutes, donc chacune dure environ \( \dfrac{240}{12} = 20 \) minutes.

Réponse c : le temps de génération est d'environ 20 minutes.

Corrigé de l’exercice 4 6 points

Limite avec logarithme, dérivée, tableau de variation, théorème des valeurs intermédiaires, suites définies par récurrence croisée, raisonnement par récurrence, convergence monotone

Partie A

1. Limite de \( f \) en 0.

Par ailleurs, on traite chaque terme séparément. La fonction exponentielle est continue, donc \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \text{e}^{-x} = \text{e}^0 = 1 \). Par ailleurs, \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \). Par somme d'une limite finie et de \( -\infty \) :

En conclusion : \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \).

2. Expression de \( f'(x) \).

La dérivée de \( x \mapsto \text{e}^{-x} \) est \( x \mapsto -\text{e}^{-x} \) (forme \( \text{e}^u \) avec \( u(x) = -x \), \( u'(x) = -1 \)) et celle de \( \ln \) est \( x \mapsto \dfrac{1}{x} \). Pour tout \( x \) de \( ]0\,;\,1] \), en réduisant au même dénominateur :

\[ f'(x) = -\text{e}^{-x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{-x\text{e}^{-x}}{x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1 - x\text{e}^{-x}}{x}. \]

En conclusion : \( f'(x) = \dfrac{1 - x\text{e}^{-x}}{x} \) sur \( ]0\,;\,1] \).

3. Justifier \( x\text{e}^{-x} \lt 1 \) puis dresser le tableau de variation.

Soit \( x \in ]0\,;\,1] \). Comme \( -x \lt 0 \) et que l'exponentielle est strictement croissante, \( \text{e}^{-x} \lt \text{e}^0 = 1 \). De plus \( 0 \lt x \leqslant 1 \). En multipliant ces deux inégalités entre nombres positifs, on obtient \( x\text{e}^{-x} \lt 1 \times 1 = 1 \).

Par conséquent \( 1 - x\text{e}^{-x} \gt 0 \), et comme \( x \gt 0 \), le quotient \( f'(x) \) est strictement positif : \( f \) est strictement croissante sur \( ]0\,;\,1] \). Ensuite, on calcule \( f(1) = \text{e}^{-1} + \ln(1) = \text{e}^{-1} \approx 0{,}37 \).

En conclusion : \( f \) est strictement croissante de \( -\infty \) (limite en 0) jusqu'à \( f(1) = \text{e}^{-1} \).

Question 4

4. Existence et unicité de \( \ell \).

Alors, on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection). Sur \( ]0\,;\,1] \), \( f \) est continue (car dérivable) et strictement croissante ; elle prend toutes les valeurs de \( ]-\infty\,;\,\text{e}^{-1}] \), d'après sa limite en 0 et sa valeur en 1. Comme \( 0 \) appartient à cet intervalle (\( \text{e}^{-1} \gt 0 \)), l'équation \( f(x) = 0 \) possède exactement une solution \( \ell \) dans \( ]0\,;\,1] \). Par balayage à la calculatrice, \( f(0{,}567) \lt 0 \lt f(0{,}568) \).

En conclusion : il existe un unique \( \ell \in ]0\,;\,1] \) tel que \( f(\ell) = 0 \), et \( \ell \approx 0{,}567 \).

Partie B

1. a) Calcul de \( a_1 \) et \( b_1 \).

Puis on applique les formules au rang \( n = 0 \) : \( a_1 = \text{e}^{-b_0} = \text{e}^{-1} \approx 0{,}3679 \) et \( b_1 = \text{e}^{-a_0} = \text{e}^{-0{,}1} \approx 0{,}9048 \).

En conclusion : \( a_1 \approx 0{,}37 \) et \( b_1 \approx 0{,}90 \).

1. b) Compléter la fonction Python.

Les deux nouvelles valeurs doivent être calculées avec les anciennes valeurs de \( a \) et \( b \). Si on écrivait directement a = exp(-b), l'ancienne valeur de a serait perdue avant le calcul de b. La variable c sert donc à mettre de côté le nouveau \( a \) le temps de calculer le nouveau \( b \). Il faut aussi importer la fonction exp.

from math import exp

def termes (n) :
  a=1/10
  b=1
  for k in range(0,n) :
    c= exp(-b)
    b = exp(-a)
    a = c
  return(a,b)

Par exemple, termes(1) renvoie environ (0.3679, 0.9048), ce qui concorde avec la question précédente.

En conclusion : les pointillés se complètent par c = exp(-b) et b = exp(-a).

2. a) Démontrer par récurrence l'encadrement.

Pour tout entier naturel \( n \), notons \( P(n) \) la propriété : « \( 0 \lt a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1 \) ».

Initialisation. Ainsi, on a \( a_0 = 0{,}1 \), \( a_1 = \text{e}^{-1} \approx 0{,}368 \), \( b_1 = \text{e}^{-0{,}1} \approx 0{,}905 \) et \( b_0 = 1 \). Plus précisément, \( \text{e}^{-1} \gt 0{,}1 \) (car \( \text{e} \lt 10 \)) et, l'exponentielle étant croissante, \( -1 \lt -0{,}1 \lt 0 \) donne \( \text{e}^{-1} \lt \text{e}^{-0{,}1} \lt 1 \). Ainsi \( 0 \lt a_0 \leqslant a_1 \leqslant b_1 \leqslant b_0 \leqslant 1 \) : \( P(0) \) est vraie.

Hérédité. Soit \( n \) un entier naturel tel que \( P(n) \) soit vraie : \( 0 \lt a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1 \). La fonction \( x \mapsto \text{e}^{-x} \) est décroissante : l'appliquer à ces nombres renverse toutes les inégalités.

\[ \text{e}^{-1} \leqslant \text{e}^{-b_n} \leqslant \text{e}^{-b_{n+1}} \leqslant \text{e}^{-a_{n+1}} \leqslant \text{e}^{-a_n} \leqslant \text{e}^{0}. \]

Par définition des suites, \( \text{e}^{-b_n} = a_{n+1} \), \( \text{e}^{-b_{n+1}} = a_{n+2} \), \( \text{e}^{-a_{n+1}} = b_{n+2} \) et \( \text{e}^{-a_n} = b_{n+1} \). Comme de plus \( \text{e}^{-1} \gt 0 \) et \( \text{e}^0 = 1 \), on obtient :

\[ 0 \lt a_{n+1} \leqslant a_{n+2} \leqslant b_{n+2} \leqslant b_{n+1} \leqslant 1, \]

c'est-à-dire \( P(n+1) \).

Conclusion. \( P(0) \) est vraie et \( P \) est héréditaire ; par le principe de récurrence, \( P(n) \) est vraie pour tout entier naturel \( n \).

En conclusion : pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 0 \lt a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1 \).

Question 2 b

2. b) Convergence des deux suites.

L'encadrement précédent donne, pour tout \( n \), \( a_n \leqslant a_{n+1} \) et \( a_{n+1} \leqslant 1 \) : la suite \( (a_n) \) est croissante et majorée par 1. De même \( b_{n+1} \leqslant b_n \) et \( b_n \gt 0 \) : la suite \( (b_n) \) est décroissante et minorée par 0. Le théorème de convergence monotone s'applique à chacune.

En conclusion : les suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) sont convergentes.

3. a) Montrer que \( f(A) = 0 \).

Ensuite, on part de \( B = \text{e}^{-A} \) et on le remplace dans l'autre relation : \( A = \text{e}^{-B} = \text{e}^{-\text{e}^{-A}} \). Comme \( A \gt 0 \), on peut prendre le logarithme : \( \ln(A) = -\text{e}^{-A} \), soit \( \text{e}^{-A} + \ln(A) = 0 \). Puisque \( A \in ]0\,;\,1] \), cela s'écrit \( f(A) = 0 \).

En conclusion : \( f(A) = 0 \), donc \( A = \ell \) d'après la partie A.

3. b) Valeur de \( A - B \).

Les rôles de \( A \) et \( B \) sont symétriques. En partant de \( A = \text{e}^{-B} \) : \( B = \text{e}^{-A} = \text{e}^{-\text{e}^{-B}} \), donc \( \ln(B) = -\text{e}^{-B} \) et \( f(B) = 0 \) avec \( B \in ]0\,;\,1] \). Or la question A. 4 affirme que \( f \) ne s'annule qu'une seule fois sur \( ]0\,;\,1] \), en \( \ell \). Donc \( A = B = \ell \approx 0{,}567 \). Le calcul de termes(60) donne d'ailleurs deux valeurs égales à 0,5671 près.

En conclusion : \( A - B = 0 \).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour « au moins un succès » dans une loi binomiale, passer par l'évènement contraire \( 1 - (1-p)^n \), puis par le logarithme, sans oublier de changer le sens de l'inégalité quand on divise par \( \ln(q) \lt 0 \).
• L'indépendance se teste avec \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \) ; ne pas la confondre avec l'incompatibilité.
• Une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est orthogonale à ce plan : c'est la clé pour obtenir un vecteur normal et une équation cartésienne.
• Projeté orthogonal : vérifier que le point est dans le plan ET que le vecteur qui le relie au point de départ est colinéaire à un vecteur normal.
• Une fonction décroissante renverse l'ordre : c'est ce qui fait fonctionner la récurrence sur les suites croisées \( a_{n+1} = \text{e}^{-b_n} \) et \( b_{n+1} = \text{e}^{-a_n} \).
• Suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée : elle converge (théorème de convergence monotone) ; l'unicité de la solution de \( f(x) = 0 \) identifie ensuite la limite.

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Ce que contient le corrigé du bac 2022, Liban, jour 2

Ce corrigé du bac 2022, Liban, jour 2 du 19 mai 2022 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (6 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, indépendance, formule de Bayes, loi binomiale, inéquation avec logarithme. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (6 points) porte sur : orthogonalité droite-plan, vecteur normal, équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume d'un tétraèdre. Puis, la correction de l'exercice 3 (6 points) traite : qCM : convexité, lecture graphique d'une dérivée, suites bornées, signe des termes, suite arithmético-géométrique, monotonie, croissance exponentielle. Enfin, la correction de l'exercice 4 (6 points) aborde : limite avec logarithme, dérivée, tableau de variation, théorème des valeurs intermédiaires, suites définies par récurrence croisée, raisonnement par récurrence, convergence monotone.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2022, Liban, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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