Corrigé du bac de maths 2022 : France, septembre, jour 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2022, France, septembre, jour 1) 7 points

QCM : limite et asymptote, convexité et dérivée seconde, suite géométrique, théorème des gendarmes, primitive, calcul avec l'exponentielle

1. Asymptote en \(+\infty\) de \(g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\).

Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\) : c'est une forme indéterminée. Ensuite, on la lève en factorisant par \(\text{e}^x\), le terme qui domine, puis en simplifiant :

\[ g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^{-x}\right)} = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}. \]

Quand \(x \to +\infty\), \(-x \to -\infty\) donc \(\text{e}^{-x} \to 0\) ; le dénominateur tend vers 1 et \(g(x)\) tend vers 2. Une limite finie en \(+\infty\) correspond à une asymptote horizontale, d'équation \(y = 2\). Les réponses a et d sont des droites verticales, donc exclues d'emblée ; la réponse c correspond à la limite en \(-\infty\), pas en \(+\infty\).

Réponse b : la droite d'équation \(y = 2\).

2. Convexité de \(f\) lue sur la courbe de \(f''\).

Rappel : \(f\) est convexe sur un intervalle où \(f''\) est positive, concave là où \(f''\) est négative, et \(\mathcal{C}\) a un point d'inflexion là où \(f''\) s'annule en changeant de signe. Sur le graphique, \(\mathcal{C}''\) est au-dessus de l'axe des abscisses avant \(-1\), en dessous entre \(-1\) et 2, et de nouveau au-dessus après 2.

Donc \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\), concave sur \([-1\,;\,2]\). Cela élimine b (sur \([-1\,;\,2]\) la fonction est concave) et d. Comme \(f''\) change de signe deux fois, \(\mathcal{C}\) possède deux points d'inflexion, d'abscisses \(-1\) et 2 : la réponse a est fausse.

Réponse c : \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\).

Question 3

3. Nature de la suite \(v_n = u_n - 2\).

Par ailleurs, on exprime \(v_{n+1}\) à l'aide de \(v_n\). Pour tout entier naturel \(n\) :

\[ v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = \dfrac12 u_n + 1 - 2 = \dfrac12 u_n - 1 = \dfrac12\left(u_n - 2\right) = \dfrac12 v_n. \]

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre \(\dfrac12\) : la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) (et de premier terme \(v_0 = -2\)). Elle n'est pas arithmétique : \(v_0 = -2\), \(v_1 = -1\), \(v_2 = -0{,}5\), les écarts ne sont pas constants.

Réponse d : géométrique de raison \(\dfrac12\).

4. Limite d'une suite encadrée.

Puis on cherche la limite de chacune des deux suites qui encadrent \(u_n\).

À gauche : \(0 \lt \dfrac14 \lt 1\), donc \(\left(\dfrac14\right)^n \to 0\) et \(1 + \left(\dfrac14\right)^n \to 1\).

À droite : pour \(n \geqslant 1\), \(\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{n}}\) et \(\dfrac1n \to 0\), donc \(\dfrac{n}{n+1} \to 1\) et \(2 - \dfrac{n}{n+1} \to 2 - 1 = 1\).

Les deux suites encadrantes convergent vers la même limite 1. D'après le théorème des gendarmes, \((u_n)\) converge aussi vers 1.

Réponse b : la suite converge vers 1.

5. Primitive de \(f(x) = x^2 \ln x\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Pour reconnaître une primitive parmi des propositions, il suffit de dériver chacune et de voir laquelle redonne \(f\). Les réponses c et d ne contiennent pas le bon degré : dériver \(\dfrac13 x^2\) donne \(\dfrac23 x\), sans logarithme, et la dérivée de \(\dfrac13 x^2(\ln x - 1)\) vaut \(\dfrac23 x(\ln x - 1) + \dfrac13 x = \dfrac23 x\ln x - \dfrac13 x\), qui n'est pas \(x^2 \ln x\). Testons a en dérivant le produit \(u \times v\) avec \(u(x) = \dfrac13 x^3\) et \(v(x) = \ln x - \dfrac13\) :

\[ F'(x) = x^2\left(\ln x - \dfrac13\right) + \dfrac13 x^3 \times \dfrac1x = x^2 \ln x - \dfrac13 x^2 + \dfrac13 x^2 = x^2 \ln x = f(x). \]

Pour comparaison, la dérivée de la proposition b vaut \(x^2(\ln x - 1) + \dfrac13 x^2 = x^2 \ln x - \dfrac23 x^2\), qui n'est pas \(f(x)\).

Réponse a : \(F(x) = \dfrac13 x^3\left(\ln x - \dfrac13\right)\).

Question 6

6. Simplifier \(2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}\).

Par ailleurs, on réduit au même dénominateur :

\[ 2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{2\text{e}^{-x} + 2 + 3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{5\text{e}^{-x} - 3}{\text{e}^{-x} + 1}. \]

Les propositions sont écrites avec \(\text{e}^x\) : on multiplie numérateur et dénominateur par \(\text{e}^x\), qui n'est jamais nul, en utilisant \(\text{e}^{-x} \times \text{e}^x = 1\) :

\[ \dfrac{5\text{e}^{-x} - 3}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}. \]

Contrôle rapide en \(x = 0\) : l'expression de départ vaut \(2 + \dfrac{3 - 5}{2} = 1\), et \(\dfrac{5 - 3}{1 + 1} = 1\). Les réponses b et d ne sont même pas définies en 0, et c vaut 4.

Réponse a : \(\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2022, France, septembre, jour 1) 7 points

Probabilités conditionnelles, arbre pondéré, formule des probabilités totales, variable aléatoire et espérance, loi binomiale

1. a) Vérifier que \(p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0{,}2\).

L'énoncé donne \(p(M) = 0{,}7\), donc par passage au contraire \(p\left(\overline{M}\right) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). Un client qui ne fait aucune visite est dans \(\overline{M} \cap \overline{G}\), de probabilité 0,06. Par définition d'une probabilité conditionnelle :

\[ p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = \dfrac{p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right)}{p\left(\overline{M}\right)} = \dfrac{0{,}06}{0{,}3} = 0{,}2. \]

En conclusion : \(p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0{,}2\).

1. b) Compléter l'arbre pondéré.

Au premier niveau on place \(p(M) = 0{,}7\) et \(p\left(\overline{M}\right) = 0{,}3\). Derrière \(M\), l'énoncé donne \(p_M(G) = 0{,}6\), donc \(p_M\left(\overline{G}\right) = 0{,}4\). Derrière \(\overline{M}\), la question a) donne \(p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0{,}2\), donc \(p_{\overline{M}}(G) = 0{,}8\). Sur chaque nœud, les probabilités des branches qui en partent ont bien pour somme 1.

• \(M\) : 0,7
  • \(G\) : 0,6
  • \(\overline{G}\) : 0,4
• \(\overline{M}\) : 0,3
  • \(G\) : 0,8
  • \(\overline{G}\) : 0,2

Branches : \(0{,}7\) et \(0{,}3\) au premier niveau ; \(0{,}6\) et \(0{,}4\) après \(M\) ; \(0{,}8\) et \(0{,}2\) après \(\overline{M}\).

1. c) Probabilité de « visite la grotte et pas le musée ».

C'est l'évènement \(\overline{M} \cap G\). Ensuite, on multiplie les probabilités le long du chemin correspondant de l'arbre :

\[ p\left(\overline{M} \cap G\right) = p\left(\overline{M}\right) \times p_{\overline{M}}(G) = 0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24. \]

En conclusion : \(p\left(\overline{M} \cap G\right) = 0{,}24\).

1. d) Montrer que \(p(G) = 0{,}66\).

Les évènements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, \(p(G)\) est la somme des probabilités des deux chemins qui aboutissent à \(G\). Le premier vaut \(p(M \cap G) = 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}42\), le second a été calculé en c). Ainsi :

\[ p(G) = p(M \cap G) + p\left(\overline{M} \cap G\right) = 0{,}42 + 0{,}24 = 0{,}66. \]

En conclusion : \(p(G) = 0{,}66\).

Question 2

2. Plus de la moitié des visiteurs de la grotte vont-ils au musée ?

Attention au sens du conditionnement : on se place parmi les clients qui visitent la grotte, on cherche donc \(p_G(M)\), et non \(p_M(G)\).

\[ p_G(M) = \dfrac{p(M \cap G)}{p(G)} = \dfrac{0{,}42}{0{,}66} = \dfrac{7}{11} \approx 0{,}636. \]

Comme \(\dfrac{7}{11} \gt \dfrac12\), environ 64 % des visiteurs de la grotte vont aussi au musée.

En conclusion : l'affirmation est exacte, car \(p_G(M) = \dfrac{7}{11} \approx 0{,}64 \gt 0{,}5\).

3. a) Loi de probabilité de \(T\).

Un client peut faire les deux visites (12 + 5 = 17 euros), le musée seul (12 euros), la grotte seule (5 euros) ou aucune (0 euro). La probabilité du musée seul est \(p\left(M \cap \overline{G}\right) = 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}28\) ; les trois autres ont déjà été obtenues.

Contrôle : \(0{,}06 + 0{,}24 + 0{,}28 + 0{,}42 = 1\).

Loi de \(T\) : \(p(T = 0) = 0{,}06\), \(p(T = 5) = 0{,}24\), \(p(T = 12) = 0{,}28\), \(p(T = 17) = 0{,}42\).

3. b) Espérance de \(T\).

L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités :

\[ E(T) = 0 \times 0{,}06 + 5 \times 0{,}24 + 12 \times 0{,}28 + 17 \times 0{,}42 = 0 + 1{,}2 + 3{,}36 + 7{,}14 = 11{,}7. \]

Interprétation : sur un grand nombre de clients, chacun dépense en moyenne 11,70 euros pour les visites.

En conclusion : \(E(T) = 11{,}7\) euros.

Question 3 c

3. c) Nombre moyen de clients pour dépasser 700 euros de recettes par jour.

Avec \(n\) clients dans la journée, la recette moyenne vaut \(11{,}7\,n\) euros. Puis on résout :

\[ 11{,}7\,n \gt 700 \iff n \gt \dfrac{700}{11{,}7} \approx 59{,}83. \]

Le nombre de clients étant entier, il faut \(n \geqslant 60\).

En conclusion : il faut en moyenne au moins 60 clients par jour.

4. Prix de la grotte pour une espérance de 15 euros.

Notons \(x\) le nouveau prix de la grotte. La fréquentation ne change pas, donc les probabilités du tableau restent les mêmes ; seules les valeurs changent : 0, \(x\), 12 et \(12 + x\). La nouvelle espérance vaut :

\[ 0 \times 0{,}06 + x \times 0{,}24 + 12 \times 0{,}28 + (12 + x) \times 0{,}42 = 0{,}24x + 3{,}36 + 5{,}04 + 0{,}42x = 0{,}66x + 8{,}4. \]

Ensuite, on remarque que le coefficient de \(x\) est exactement \(p(G) = 0{,}66\), ce qui est logique : le prix de la grotte n'est payé que par ceux qui la visitent. Alors, on résout :

\[ 0{,}66x + 8{,}4 = 15 \iff 0{,}66x = 6{,}6 \iff x = 10. \]

En conclusion : il faut fixer le prix de la visite de la grotte à 10 euros.

Question 5

5. Probabilité qu'au moins les trois quarts de 100 clients aient visité la grotte.

Soit \(X\) le nombre de clients, parmi les 100 choisis, qui ont visité la grotte. Ensuite, on répète 100 fois, de manière indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), la même épreuve à deux issues dont le succès « le client a visité la grotte » a pour probabilité 0,66. \(X\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = 0{,}66\).

Les trois quarts de 100 font 75 : on cherche \(P(X \geqslant 75)\). Par ailleurs, on passe par l'évènement contraire, que la calculatrice sait traiter avec la fonction de répartition :

\[ P(X \geqslant 75) = 1 - P(X \leqslant 74) \approx 1 - 0{,}96599 \approx 0{,}034. \]

En conclusion : \(P(X \geqslant 75) \approx 0{,}034\) à \(10^{-3}\) près.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2022, France, septembre, jour 1) 7 points

Fonction \(\ln x / x\), croissances comparées, dérivée d'un quotient, théorème des valeurs intermédiaires, suite récurrente, récurrence, convergence monotone

Partie A

1. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

C'est un résultat de cours, dit de croissances comparées : \(x\) l'emporte sur \(\ln x\) en \(+\infty\), et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\). Graphiquement, l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

2. a) Calculer \(f'(x)\).

Alors, on dérive le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \ln x\), \(u'(x) = \dfrac1x\), \(v(x) = x\), \(v'(x) = 1\), grâce à la formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) :

\[ f'(x) = \dfrac{\dfrac1x \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}. \]

En conclusion : pour tout \(x \geqslant 1\), \(f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).

2. b) Justifier le tableau de signes de \(f'(x)\).

Le dénominateur \(x^2\) est strictement positif sur \([1\,;\,+\infty[\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(1 - \ln x\). La fonction \(\ln\) est strictement croissante et \(\ln \text{e} = 1\), d'où :

• si \(1 \leqslant x \lt \text{e}\), alors \(\ln x \lt 1\) et \(f'(x) \gt 0\) ;
• si \(x = \text{e}\), alors \(\ln x = 1\) et \(f'(x) = 0\) ;
• si \(x \gt \text{e}\), alors \(\ln x \gt 1\) et \(f'(x) \lt 0\).

En conclusion : \(f'(x) \gt 0\) sur \([1\,;\,\text{e}[\), \(f'(\text{e}) = 0\) et \(f'(x) \lt 0\) sur \(]\text{e}\,;\,+\infty[\), ce qui est le tableau proposé.

2. c) Tableau de variations complet de \(f\).

Par ailleurs, on complète avec les valeurs aux bornes : \(f(1) = \dfrac{\ln 1}{1} = 0\), \(f(\text{e}) = \dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} = \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0{,}37\), et la limite 0 en \(+\infty\) trouvée à la question 1.

En conclusion : \(f\) croît de 0 à \(\dfrac{1}{\text{e}}\) sur \([1\,;\,\text{e}]\), puis décroît de \(\dfrac{1}{\text{e}}\) vers 0 sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\) ; son maximum est \(\dfrac{1}{\text{e}}\).

Question 3 a

3. a) Si \(0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}\), unique solution de \(f(x) = k\) sur \([1\,;\,\text{e}]\).

Ensuite, on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) sur \([1\,;\,\text{e}]\) :

• \(f\) est continue sur \([1\,;\,\text{e}]\), car dérivable ;
• \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;\,\text{e}]\) d'après le tableau ;
• \(f(1) = 0\) et \(f(\text{e}) = \dfrac{1}{\text{e}}\), et \(k\) est compris entre ces deux valeurs.

Donc l'équation \(f(x) = k\) possède exactement une solution dans \([1\,;\,\text{e}]\).

En conclusion : pour \(0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}\), l'équation \(f(x) = k\) a une unique solution dans \([1\,;\,\text{e}]\).

3. b) Cas \(k \gt \dfrac{1}{\text{e}}\).

Le tableau de variations montre que \(\dfrac{1}{\text{e}}\) est le maximum de \(f\) sur \([1\,;\,+\infty[\) : pour tout \(x \geqslant 1\), \(f(x) \leqslant \dfrac{1}{\text{e}} \lt k\). L'égalité \(f(x) = k\) est donc impossible.

En conclusion : si \(k \gt \dfrac{1}{\text{e}}\), l'équation \(f(x) = k\) n'a aucune solution sur \([1\,;\,+\infty[\).

Partie B

1. Justifier que \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

La fonction \(g\) est de la forme \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x) = \dfrac{x}{4}\), donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g'(x) = u'(x)\,\text{e}^{u(x)} = \dfrac14\,\text{e}^{\frac{x}{4}}\). Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(g'(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\).

En conclusion : \(g'(x) \gt 0\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(g\) est (strictement) croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Montrer par récurrence que \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}\).

Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}\) ».

Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(u_1 = g(1) = \text{e}^{\frac14} \approx 1{,}28\). Alors, on a bien \(1 \leqslant 1{,}28 \leqslant \text{e}\) (avec \(\text{e} \approx 2{,}72\)), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}\). La fonction \(g\) étant croissante, elle conserve l'ordre, donc \(g(u_n) \leqslant g(u_{n+1}) \leqslant g(\text{e})\), c'est-à-dire \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \text{e}^{\frac{\text{e}}{4}}\). Or \(\text{e} \lt 4\), donc \(\dfrac{\text{e}}{4} \lt 1\) et, par croissance de l'exponentielle, \(\text{e}^{\frac{\text{e}}{4}} \lt \text{e}^1 = \text{e}\) (numériquement \(\text{e}^{\frac{\text{e}}{4}} \approx 1{,}97\)). Ainsi \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \text{e}\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}\).

Question 3

3. En déduire que \((u_n)\) converge.

L'inégalité \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\) signifie que la suite est croissante ; l'inégalité \(u_{n+1} \leqslant \text{e}\) (avec \(u_0 = 1 \leqslant \text{e}\)) signifie qu'elle est majorée par e. Or toute suite croissante et majorée converge (théorème de la convergence monotone).

En conclusion : \((u_n)\) est croissante et majorée par e, donc convergente, vers une limite \(\ell\) telle que \(1 \leqslant \ell \leqslant \text{e}\).

4. Montrer que \(\ell\) est solution de \(f(x) = \dfrac14\).

La suite est croissante et part de \(u_0 = 1\), donc tous ses termes sont supérieurs ou égaux à 1 et sa limite vérifie \(\ell \geqslant 1\) : \(\ell\) est dans l'intervalle de définition de \(f\) et \(\ln \ell\) a un sens. Ensuite, on part de l'égalité admise \(\text{e}^{\frac{\ell}{4}} = \ell\) et on applique la fonction \(\ln\), réciproque de l'exponentielle :

\[ \text{e}^{\frac{\ell}{4}} = \ell \iff \dfrac{\ell}{4} = \ln \ell \iff \dfrac{\ln \ell}{\ell} = \dfrac14, \]

la dernière équivalence s'obtenant en divisant par \(\ell\), non nul.

En conclusion : \(f(\ell) = \dfrac14\), donc \(\ell\) est solution de l'équation \(f(x) = \dfrac14\).

5. Valeur approchée de \(\ell\) à \(10^{-2}\) près.

Comme \(\text{e} \lt 4\), on a \(\dfrac14 \lt \dfrac{1}{\text{e}}\) : d'après la partie A, question 3.a, l'équation \(f(x) = \dfrac14\) a une unique solution dans \([1\,;\,\text{e}]\). Elle en a aussi une autre, plus grande que e (vers 8,6), puisque \(f\) redescend de \(\dfrac{1}{\text{e}}\) vers 0 ensuite. Mais on sait que \(1 \leqslant \ell \leqslant \text{e}\) : \(\ell\) est donc la solution située dans \([1\,;\,\text{e}]\).

Par ailleurs, on la localise par balayage à la calculatrice, en se rappelant que \(f\) est croissante sur cet intervalle :

• \(f(1{,}4) \approx 0{,}2403\) et \(f(1{,}5) \approx 0{,}2703\), donc \(1{,}4 \lt \ell \lt 1{,}5\) ;
• \(f(1{,}42) \approx 0{,}2469\) et \(f(1{,}43) \approx 0{,}2501\), donc \(1{,}42 \lt \ell \lt 1{,}43\) ;
• \(f(1{,}425) \approx 0{,}2485 \lt 0{,}25\), donc \(1{,}425 \lt \ell \lt 1{,}43\).

Ensuite, on peut aussi calculer directement les termes de la suite : \(u_{20}\) vaut déjà environ 1,4296.

En conclusion : \(\ell \approx 1{,}43\) à \(10^{-2}\) près.

Corrigé de l’exercice 4 7 points

Représentation paramétrique de droite, vecteur normal, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance point-plan, volume du tétraèdre

1. a) Vérifier la représentation paramétrique de \(\Delta\).

Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur. Ici \(\overrightarrow{\text{DE}}\) a pour coordonnées \((11 - (-1)\,;\,-9 - 6\,;\,2 - 8) = (12\,;\,-15\,;\,-6)\), soit \(3\,\vec{u}\) avec \(\vec{u}(4\,;\,-5\,;\,-2)\). Le vecteur \(\vec{u}\), colinéaire à \(\overrightarrow{\text{DE}}\), dirige donc \(\Delta\).

La représentation proposée est celle de la droite passant par le point de paramètre \(t = 0\), soit \((-1\,;\,6\,;\,8) = \text{D}\), et dirigée par \((4\,;\,-5\,;\,-2) = \vec{u}\). C'est bien \(\Delta\). Par ailleurs, on peut aussi contrôler que E correspond à \(t = 3\) : \(-1 + 12 = 11\), \(6 - 15 = -9\), \(8 - 6 = 2\).

En conclusion : \(\Delta\) a pour représentation \(x = -1 + 4t\), \(y = 6 - 5t\), \(z = 8 - 2t\), \(t \in \mathbb{R}\).

1. b) Représentation paramétrique de \(\Delta'\).

Deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs : \(\Delta'\) est dirigée par \(\vec{u}(4\,;\,-5\,;\,-2)\) et passe par \(\text{O}(0\,;\,0\,;\,0)\).

En conclusion : \(\Delta' : \left\{\begin{array}{l} x = 4s \\ y = -5s \\ z = -2s \end{array}\right.\) avec \(s \in \mathbb{R}\).

1. c) F appartient-il à \(\Delta'\) ?

F est sur \(\Delta'\) si et seulement si un même paramètre \(s\) vérifie les trois équations \(4s = 1{,}36\), \(-5s = -1{,}7\) et \(-2s = -0{,}7\). Les deux premières donnent \(s = 0{,}34\), mais la troisième donne \(s = 0{,}35\). Aucun paramètre ne convient à la fois aux trois.

En conclusion : le point F n'appartient pas à la droite \(\Delta'\).

Question 2 a

2. a) A, B et C définissent un plan.

Trois points définissent un plan dès qu'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire dès que \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires. Ainsi, on a \(\overrightarrow{\text{AB}}(2\,;\,2\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}(2\,;\,0\,;\,4)\). La deuxième coordonnée de \(\overrightarrow{\text{AC}}\) est nulle alors que celle de \(\overrightarrow{\text{AB}}\) ne l'est pas : si l'on avait \(\overrightarrow{\text{AC}} = \lambda\,\overrightarrow{\text{AB}}\), on aurait \(\lambda = 0\) par la deuxième coordonnée, puis \(2 = 0\) par la première, ce qui est absurde.

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires, donc A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan.

2. b) \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC).

Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Alors, on calcule les produits scalaires dans le repère orthonormé :

\[ \vec{u} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 4 \times 2 + (-5) \times 2 + (-2) \times (-1) = 8 - 10 + 2 = 0, \]

\[ \vec{u} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 4 \times 2 + (-5) \times 0 + (-2) \times 4 = 8 + 0 - 8 = 0. \]

En conclusion : \(\vec{u}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et à \(\overrightarrow{\text{AC}}\), donc normal au plan (ABC) : la droite \(\Delta\) est perpendiculaire à (ABC).

Question 2 c

2. c) Équation cartésienne de (ABC).

Le vecteur \(\vec{u}(4\,;\,-5\,;\,-2)\) étant normal au plan, celui-ci admet une équation de la forme \(4x - 5y - 2z + d = 0\). Le point A est dans le plan, donc \(4 \times (-1) - 5 \times (-1) - 2 \times 3 + d = 0\), soit \(-4 + 5 - 6 + d = 0\) et \(d = 5\).

Vérification avec les deux autres points : pour B, \(4 - 5 - 4 + 5 = 0\) ; pour C, \(4 + 5 - 14 + 5 = 0\).

En conclusion : (ABC) a pour équation \(4x - 5y - 2z + 5 = 0\).

3. a) G appartient à \(\Delta\).

Puis on cherche un paramètre \(t\) tel que \(-1 + 4t = 7\), \(6 - 5t = -4\) et \(8 - 2t = 4\). La première équation donne \(t = 2\), la deuxième \(t = 2\), la troisième \(t = 2\) : les trois concordent.

En conclusion : G est le point de \(\Delta\) de paramètre \(t = 2\), donc \(\text{G} \in \Delta\).

3. b) Coordonnées du projeté orthogonal H de G sur (ABC).

H est le point d'intersection du plan (ABC) avec la droite passant par G et perpendiculaire au plan. Cette droite, c'est justement \(\Delta\) : elle contient G et elle est orthogonale à (ABC). Ensuite, on injecte donc la représentation de \(\Delta\) dans l'équation du plan :

\[ 4(-1 + 4t) - 5(6 - 5t) - 2(8 - 2t) + 5 = 0 \iff -4 + 16t - 30 + 25t - 16 + 4t + 5 = 0 \iff 45t - 45 = 0 \iff t = 1. \]

Le point de paramètre 1 est \((-1 + 4\,;\,6 - 5\,;\,8 - 2) = (3\,;\,1\,;\,6)\). Contrôle : \(4 \times 3 - 5 \times 1 - 2 \times 6 + 5 = 12 - 5 - 12 + 5 = 0\).

En conclusion : \(\text{H}(3\,;\,1\,;\,6)\).

Question 3 c

3. c) Distance de G au plan (ABC).

La distance d'un point à un plan est la distance entre ce point et son projeté orthogonal sur le plan, ici GH. Alors, on a \(\overrightarrow{\text{GH}}(3 - 7\,;\,1 - (-4)\,;\,6 - 4) = (-4\,;\,5\,;\,2)\), donc :

\[ \text{GH} = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}. \]

En conclusion : la distance de G au plan (ABC) vaut \(\text{GH} = 3\sqrt{5}\).

4. a) ABC est rectangle en A.

Il suffit de montrer que \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont orthogonaux :

\[ \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 2 \times 2 + 2 \times 0 + (-1) \times 4 = 4 + 0 - 4 = 0. \]

En conclusion : le produit scalaire est nul, les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires et le triangle ABC est rectangle en A.

4. b) Volume du tétraèdre ABCG.

Par ailleurs, on prend pour base le triangle ABC. Comme H est le projeté orthogonal de G sur le plan de cette base, la hauteur associée est \(h = \text{GH} = 3\sqrt{5}\).

Longueurs des côtés de l'angle droit : \(\text{AB} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\) et \(\text{AC} = \sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Le triangle étant rectangle en A, son aire est :

\[ \mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{3 \times 2\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}. \]

D'où le volume :

\[ V = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{\text{ABC}} \times \text{GH} = \dfrac13 \times 3\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} = \dfrac13 \times 45 = 15. \]

En conclusion : le volume du tétraèdre ABCG vaut \(V = 15\) unités de volume.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Devant une forme indéterminée avec des exponentielles, factoriser par le terme dominant \(\text{e}^x\) ; une limite finie en l'infini donne une asymptote horizontale, jamais verticale.
• La convexité se lit sur le signe de \(f''\) ; un point d'inflexion exige un changement de signe de \(f''\), pas seulement une annulation.
• Pour choisir une primitive parmi plusieurs propositions, dériver chacune : c'est plus rapide et plus sûr que de chercher la primitive.
• Bien lire le sens d'une probabilité conditionnelle : « parmi les visiteurs de la grotte » se traduit par \(p_G(M)\) ; et penser au complémentaire \(1 - P(X \leqslant 74)\) pour \(P(X \geqslant 75)\).
• Dans une récurrence avec \(u_{n+1} = g(u_n)\), la croissance de \(g\) fait tout le travail d'hérédité ; il reste à comparer \(g(\text{e})\) à e.
• Le projeté orthogonal d'un point sur un plan s'obtient en coupant le plan par la droite passant par ce point et dirigée par un vecteur normal.

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Ce que contient le corrigé du bac 2022, France, septembre, jour 1

Ce corrigé du bac 2022, France, septembre, jour 1 du 8 septembre 2022 explique les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (7 points) traite : qCM : limite et asymptote, convexité et dérivée seconde, suite géométrique, théorème des gendarmes, primitive, calcul avec l'exponentielle. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (7 points) aborde : probabilités conditionnelles, arbre pondéré, formule des probabilités totales, variable aléatoire et espérance, loi binomiale. Puis, la correction de l'exercice 3 (7 points) aborde : fonction, croissances comparées, dérivée d'un quotient, théorème des valeurs intermédiaires, suite récurrente, récurrence, convergence monotone. Enfin, la correction de l'exercice 4 (7 points) porte sur : représentation paramétrique de droite, vecteur normal, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance point-plan, volume du tétraèdre.

Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2022, France, septembre, jour 1

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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