Corrigé du bac de maths 2022 : France, septembre, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2022, France, septembre, jour 2) 7 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, variable aléatoire et espérance, loi binomiale

1. Compléter l'arbre pondéré.

Les deux premières données de l'énoncé sont des probabilités conditionnelles : sachant que le vélo est un vélo de route, il est électrique avec la probabilité 0,4, donc \(p_R(E) = 0{,}4\) ; sachant que c'est un vélo tout terrain, \(p_{\overline{R}}(E) = 0{,}7\). Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1, ce qui donne les branches vers \(\overline{E}\).

• \(R\) avec la probabilité \(\alpha\)
  • \(E\) : \(p_R(E) = 0{,}4\)
  • \(\overline{E}\) : \(p_R(\overline{E}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\)
• \(\overline{R}\) avec la probabilité \(1 - \alpha\)
  • \(E\) : \(p_{\overline{R}}(E) = 0{,}7\)
  • \(\overline{E}\) : \(p_{\overline{R}}(\overline{E}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\)

En conclusion : les pointillés se remplacent, de haut en bas, par 0,4 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,3.

2. a) Montrer que \(p(E) = 0{,}7 - 0{,}3\alpha\).

Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales permet donc de découper \(E\) selon le type de vélo : \(p(E) = p(R \cap E) + p(\overline{R} \cap E)\). Chaque intersection se lit sur l'arbre en multipliant les probabilités le long du chemin :

\[p(E) = \alpha \times 0{,}4 + (1 - \alpha) \times 0{,}7 = 0{,}4\alpha + 0{,}7 - 0{,}7\alpha = 0{,}7 - 0{,}3\alpha.\]

En conclusion : \(p(E) = 0{,}7 - 0{,}3\alpha\).

2. b) En déduire que \(\alpha = 0{,}4\).

L'énoncé donne aussi \(p(E) = 0{,}58\). Ensuite, on égale les deux expressions et on résout une équation du premier degré : \(0{,}7 - 0{,}3\alpha = 0{,}58\), soit \(0{,}3\alpha = 0{,}12\), d'où \(\alpha = \dfrac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4\). Cette valeur est bien comprise entre 0 et 1.

En conclusion : \(\alpha = 0{,}4\) ; 40 % des clients louent un vélo de route.

Question 3

3. Probabilité d'un vélo tout terrain sachant que le vélo est électrique.

Alors, on cherche \(p_E(\overline{R})\) : le conditionnement est « à l'envers » de celui de l'arbre, on revient donc à la définition d'une probabilité conditionnelle. Avec \(\alpha = 0{,}4\), on a \(p(\overline{R} \cap E) = (1 - 0{,}4) \times 0{,}7 = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42\), d'où :

\[p_E(\overline{R}) = \dfrac{p(\overline{R} \cap E)}{p(E)} = \dfrac{0{,}42}{0{,}58} = \dfrac{21}{29} \approx 0{,}724.\]

En conclusion : \(p_E(\overline{R}) \approx 0{,}72\) (au centième).

4. Probabilité de louer un vélo tout terrain électrique.

« Vélo tout terrain électrique » correspond à l'intersection \(\overline{R} \cap E\), déjà calculée à la question précédente : c'est le produit des probabilités sur le chemin \(\overline{R}\) puis \(E\).

En conclusion : \(p(\overline{R} \cap E) = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42\).

5. a) Loi de probabilité du prix \(X\).

Il y a quatre sortes de location, donc quatre valeurs possibles pour \(X\). Ensuite, on ajoute 15 euros au tarif de base lorsque le vélo est électrique, et chaque probabilité est celle d'un chemin de l'arbre (avec \(\alpha = 0{,}4\)) :

• vélo de route non électrique : 25 euros, \(p(R \cap \overline{E}) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24\) ;
• vélo tout terrain non électrique : 35 euros, \(p(\overline{R} \cap \overline{E}) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18\) ;
• vélo de route électrique : \(25 + 15 = 40\) euros, \(p(R \cap E) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\) ;
• vélo tout terrain électrique : \(35 + 15 = 50\) euros, \(p(\overline{R} \cap E) = 0{,}42\).

Contrôle : \(0{,}24 + 0{,}18 + 0{,}16 + 0{,}42 = 1\).

En conclusion : la loi de \(X\) est donnée par le tableau ci-dessus.

5. b) Espérance de \(X\) et interprétation.

L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités :

\[E(X) = 25 \times 0{,}24 + 35 \times 0{,}18 + 40 \times 0{,}16 + 50 \times 0{,}42 = 6 + 6{,}3 + 6{,}4 + 21 = 39{,}7.\]

Sur un grand nombre de locations, le magasin encaisse donc en moyenne 39,70 euros par vélo loué à la journée.

En conclusion : \(E(X) = 39{,}7\) ; une location rapporte en moyenne 39,70 euros.

Question 6 a

6. a) Loi suivie par \(Y\).

Pour chaque client de l'échantillon, on observe une épreuve à deux issues : il loue un vélo électrique (succès, probabilité 0,58) ou non. Le choix des 30 clients étant assimilé à un tirage avec remise, ces 30 épreuves sont identiques et indépendantes : c'est un schéma de Bernoulli. \(Y\) compte le nombre de succès.

En conclusion : \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(30\,;\,0{,}58)\).

6. b) Probabilité d'exactement 20 clients en vélo électrique.

Ensuite, on applique la formule de la loi binomiale avec \(k = 20\) :

\[p(Y = 20) = \binom{30}{20} \times 0{,}58^{20} \times 0{,}42^{10} \approx 0{,}0952.\]

À la calculatrice : commande « binomFdp » ou « Binomiale » avec \(n = 30\), \(p = 0{,}58\) et \(k = 20\).

En conclusion : \(p(Y = 20) \approx 0{,}095\).

6. c) Probabilité d'au moins 15 clients en vélo électrique.

La calculatrice fournit des probabilités cumulées \(p(Y \leqslant k)\) ; on passe donc par l'évènement contraire : « au moins 15 » est le contraire de « au plus 14 ».

\[p(Y \geqslant 15) = 1 - p(Y \leqslant 14) \approx 1 - 0{,}14190 \approx 0{,}858.\]

En conclusion : \(p(Y \geqslant 15) \approx 0{,}858\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2022, France, septembre, jour 2) 7 points

QCM : suite arithmético-géométrique, suites couplées, boucle Python, convexité lue sur f', nombre dérivé, primitive

1. Nature des suites \((a_n)\) et \((b_n)\).

Ensuite, on exprime \(b_{n+1}\) en fonction de \(b_n\), en remplaçant \(a_n\) par \(b_n + 2\) : \(b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 0{,}5a_n + 1 - 2 = 0{,}5(b_n + 2) - 1 = 0{,}5b_n\). La suite \((b_n)\) est donc géométrique de raison 0,5 et de premier terme \(b_0 = -1\). Les autres propositions sont fausses : \(a_0 = 1\), \(a_1 = 1{,}5\), \(a_2 = 1{,}75\) ; les écarts 0,5 puis 0,25 ne sont pas constants et les quotients 1,5 puis \(1{,}75/1{,}5\) non plus ; enfin \(b_1 - b_0 = 0{,}5\) mais \(b_2 - b_1 = 0{,}25\).

Réponse b : \((b_n)\) est géométrique.

2. Calcul de \(u_2\) et \(v_2\).

Puis on applique deux fois les relations de récurrence. Au rang 1 : \(u_1 = 2 + 3 \times 1 = 5\) et \(v_1 = 2 + 1 = 3\). Au rang 2 : \(u_2 = 5 + 3 \times 3 = 14\) et \(v_2 = 5 + 3 = 8\). Ainsi \(\dfrac{u_2}{v_2} = \dfrac{14}{8} = 1{,}75\). Ensuite, on élimine les autres réponses : a est faux (ce sont \(u_1\) et \(v_1\)), b est faux car \(14^2 - 3 \times 8^2 = 196 - 192 = 4\) et non \(-4\), d est faux car \(5u_1 = 25\) et \(3v_1 = 9\).

Réponse c : \(\dfrac{u_2}{v_2} = 1{,}75\).

Question 3

3. Que renvoie la fonction valeurs ?

Les variables démarrent avec \(u_0 = 2\) et \(v_0 = 1\). La variable c garde l'ancienne valeur de u pour que v soit calculée avec \(u_n\) et non avec \(u_{n+1}\) : un passage dans la boucle fait donc passer du rang \(n\) au rang \(n+1\) pour les deux suites. range(1,11) donne les entiers de 1 à 10, soit 10 passages : on arrive au rang 10. La fonction ne renvoie que le dernier couple, pas la liste des valeurs (en l'exécutant, on obtient \(u_{10} = 43232\) et \(v_{10} = 24960\)).

Réponse d : \(u_{10}\) et \(v_{10}\).

4. Convexité de \(f\).

La fonction \(f\) est convexe sur un intervalle exactement quand sa dérivée \(f'\) y est croissante (\(f''\) positive). Sur le graphique, la courbe \(\mathcal{C}'\) monte de \(x = -4\) jusqu'à son sommet en \(x = 0\), puis descend jusqu'à \(x = 2\). Donc \(f\) est convexe sur \([-4\,;\,0]\) et concave sur \([0\,;\,2]\). Les intervalles \([-2\,;\,1]\) contiennent une portion croissante et une portion décroissante de \(f'\), d'où l'élimination de a et c ; d est faux.

Réponse b : \(f\) est convexe sur \([-4\,;\,0]\).

5. Valeurs en 1 de \(f'\) et \(f''\).

B est sur \(\mathcal{C}'\) et sur l'axe des abscisses, donc \(f'(1) = 0\) : a et b sont faux. Comme \(f''\) est la dérivée de \(f'\), le nombre \(f''(1)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}'\) au point B, c'est-à-dire de la droite (BC) : \(\dfrac{y_{\text{C}} - y_{\text{B}}}{x_{\text{C}} - x_{\text{B}}} = \dfrac{5 - 0}{0 - 1} = -5\).

Réponse d : \(f''(1) = -5\).

Question 6

6. Primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(0) = 1\).

Par ailleurs, on commence par la condition initiale, rapide à tester : pour a, \(F(0) = 3\) ; pour d, \(F(0) = 0\) ; ces deux réponses tombent. Pour c, la dérivée d'un produit \(u \times \text{e}^x\) donne \(\left(x^2 + 1 + \dfrac13 x^3 + x\right)\text{e}^x\), qui n'est pas \(f(x)\). Pour b, on dérive avec \((uv)' = u'v + uv'\) : \(F'(x) = (2x - 2)\text{e}^x + (x^2 - 2x + 3)\text{e}^x = (x^2 + 1)\text{e}^x = f(x)\), et \(F(0) = 3\text{e}^0 - 2 = 1\).

Réponse b : \(F(x) = \left(x^2 - 2x + 3\right)\text{e}^x - 2\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2022, France, septembre, jour 2) 7 points

Limites avec ln, dérivée d'un produit, tableau de variations, récurrence, convergence monotone, point fixe, maximum d'une famille de fonctions

Partie A

1. Limite de \(f\) en 0.

Puis on utilise la limite de croissance comparée \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x = 0\), la différence tend vers \(0 - 0\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\).

2. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Sous la forme \(x - x\ln x\), on a une forme indéterminée « \(+\infty - \infty\) ». Ensuite, on factorise par \(x\) : \(f(x) = x(1 - \ln x)\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\), donc \(1 - \ln x\) tend vers \(-\infty\) ; le produit par \(x\), qui tend vers \(+\infty\), tend vers \(-\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

3. a) Montrer que \(f'(x) = -\ln x\).

Le terme \(x\ln x\) est un produit : sa dérivée vaut \(1 \times \ln x + x \times \dfrac1x = \ln x + 1\). Par conséquent, pour tout \(x \gt 0\) :

\[f'(x) = 1 - (\ln x + 1) = -\ln x.\]

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = -\ln x\).

3. b) Variations de \(f\).

Le signe de \(f'(x)\) est l'opposé de celui de \(\ln x\). Or \(\ln x \lt 0\) sur \(]0\,;\,1[\), \(\ln 1 = 0\) et \(\ln x \gt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). Donc \(f'(x) \gt 0\) sur \(]0\,;\,1[\) et \(f'(x) \lt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,1]\) puis strictement décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\). Son maximum vaut \(f(1) = 1 - 1 \times 0 = 1\). Les limites viennent des questions 1 et 2.

En conclusion : \(f\) croît sur \(]0\,;\,1]\), décroît sur \([1\,;\,+\infty[\), avec un maximum \(f(1) = 1\).

Question 4

4. Résoudre \(f(x) = x\).

Pour \(x \gt 0\) : \(f(x) = x \iff x - x\ln x = x \iff x\ln x = 0\). Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est ; comme \(x \ne 0\) sur l'intervalle d'étude, il reste \(\ln x = 0\), c'est-à-dire \(x = 1\).

En conclusion : l'unique solution est \(x = 1\).

Partie B

1. Démontrer par récurrence que \(0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\).

Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\) ».

Initialisation. \(u_0 = 0{,}5\) et \(u_1 = f(0{,}5) = 0{,}5 - 0{,}5\ln 0{,}5 = 0{,}5 + 0{,}5\ln 2 \approx 0{,}847\). Alors, on a bien \(0{,}5 \leqslant 0{,}5 \leqslant 0{,}847 \leqslant 1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \(0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\). Les quatre nombres de cette chaîne sont dans \([0{,}5\,;\,1]\), où \(f\) est croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l'ordre : \(f(0{,}5) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1)\). Or \(f(u_n) = u_{n+1}\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\), \(f(1) = 1\) et \(f(0{,}5) \approx 0{,}847\), qui est supérieur à 0,5. Donc on obtient \(0{,}5 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire ; par le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\).

2. a) Convergence de \((u_n)\).

L'encadrement précédent contient deux informations : \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\), donc la suite est croissante ; \(u_n \leqslant 1\) pour tout \(n\), donc elle est majorée par 1. D'après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge.

En conclusion : la suite \((u_n)\) converge, vers une limite \(\ell\) comprise entre 0,5 et 1.

Question 2 b

2. b) Valeur de \(\ell\).

La suite vérifie \(u_{n+1} = f(u_n)\). En passant à la limite, \(u_{n+1}\) tend vers \(\ell\), et comme \(f\) est continue en \(\ell\) (elle est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(\ell \geqslant 0{,}5 \gt 0\)), \(f(u_n)\) tend vers \(f(\ell)\). Par unicité de la limite, \(f(\ell) = \ell\). D'après la question A.4, la seule solution de cette équation est 1.

En conclusion : \(\ell = 1\).

Partie C

1. Maximum de \(f_k\) atteint en \(x_k = \text{e}^{k-1}\).

Ensuite, on dérive comme en partie A : pour \(x \gt 0\), \(f_k'(x) = k - (\ln x + 1) = k - 1 - \ln x\). Alors, on étudie son signe grâce à la stricte croissance de la fonction exponentielle : \(f_k'(x) \gt 0 \iff \ln x \lt k - 1 \iff x \lt \text{e}^{k-1}\). De même, \(f_k'(x) = 0 \iff x = \text{e}^{k-1}\) et \(f_k'(x) \lt 0 \iff x \gt \text{e}^{k-1}\). La fonction \(f_k\) est donc croissante sur \(\left]0\,;\,\text{e}^{k-1}\right]\) et décroissante sur \(\left[\text{e}^{k-1}\,;\,+\infty\right[\) : elle atteint son maximum en \(x_k = \text{e}^{k-1}\).

En conclusion : \(f_k\) admet un maximum \(y_k = f_k\left(\text{e}^{k-1}\right)\), atteint en \(x_k = \text{e}^{k-1}\).

2. Vérifier que \(x_k = y_k\).

Puis on calcule \(y_k\) en utilisant \(\ln\left(\text{e}^{k-1}\right) = k - 1\) :

\[y_k = k\,\text{e}^{k-1} - \text{e}^{k-1}\ln\left(\text{e}^{k-1}\right) = k\,\text{e}^{k-1} - (k - 1)\,\text{e}^{k-1} = \text{e}^{k-1}.\]

Géométriquement, les sommets des courbes des fonctions \(f_k\) sont tous sur la droite d'équation \(y = x\).

En conclusion : \(y_k = \text{e}^{k-1} = x_k\) pour tout réel \(k\).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2022, France, septembre, jour 2) 7 points

Représentations paramétriques, produit scalaire, vecteur normal et équation cartésienne de plan, intersection droite-plan, distance, volume d'un tétraèdre

1. a) Vecteur directeur de \(\mathcal{D}'\).

Dans une représentation paramétrique, les coefficients du paramètre \(t\) donnent les coordonnées d'un vecteur directeur : ici 0 pour \(x\), 1 pour \(y\) et 1 pour \(z\).

En conclusion : \(\overrightarrow{u'}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) dirige \(\mathcal{D}'\).

1. b) \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) ne sont pas parallèles.

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Si l'on avait \(\overrightarrow{u'} = \lambda\overrightarrow{u}\), la première coordonnée donnerait \(0 = \lambda\), puis la deuxième \(1 = 2\lambda = 0\), ce qui est impossible.

En conclusion : \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.

1. c) Représentation paramétrique de \(\mathcal{D}\).

Un point \(P(x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à \(\mathcal{D}\) si et seulement s'il existe un réel \(s\) tel que \(\overrightarrow{\text{A}P} = s\,\overrightarrow{u}\), c'est-à-dire \(x - 2 = s\), \(y - 4 = 2s\) et \(z - 0 = 0\).

En conclusion : \(\mathcal{D} : \left\{\begin{array}{l} x = 2 + s \\ y = 4 + 2s \\ z = 0 \end{array}\right.,\ s \in \mathbb{R}\).

2. \(\overrightarrow{v}\) dirige \(\Delta\).

La droite \(\Delta\) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\) et à \(\mathcal{D}'\) : ses vecteurs directeurs sont orthogonaux à \(\overrightarrow{u}\) et à \(\overrightarrow{u'}\). Réciproquement, les vecteurs orthogonaux à la fois à deux vecteurs non colinéaires forment une seule direction. Ensuite, on vérifie donc les deux produits scalaires :

\[\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 1 \times 0 = 0 \quad\text{et}\quad \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u'} = 2 \times 0 + (-1) \times 1 + 1 \times 1 = 0.\]

Le vecteur non nul \(\overrightarrow{v}\) est orthogonal aux directions des deux droites ; il a donc la direction de leur perpendiculaire commune.

En conclusion : \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(\Delta\).

Question 3 a

3. a) \(\overrightarrow{n}\) est normal à \(\mathcal{P}\).

Un vecteur est normal à un plan dès qu'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. Ici \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de \(\overrightarrow{u}\) est nulle, pas celle de \(\overrightarrow{v}\)), et :

\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = 2 - 2 + 0 = 0 \quad\text{et}\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 4 + 1 - 5 = 0.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}\) est normal au plan \(\mathcal{P}\).

3. b) Équation de \(\mathcal{P}\).

Puisque \(\overrightarrow{n}\) est normal à \(\mathcal{P}\), ce plan a une équation de la forme \(2x - y - 5z + d = 0\). Le point A(2 ; 4 ; 0) appartient à \(\mathcal{P}\), donc \(4 - 4 - 0 + d = 0\), soit \(d = 0\).

En conclusion : \(\mathcal{P} : 2x - y - 5z = 0\).

3. c) M' est le point d'intersection de \(\mathcal{D}'\) et \(\mathcal{P}\) ; coordonnées de M'.

M' est sur \(\Delta\), et \(\Delta\) est contenue dans \(\mathcal{P}\) par définition de ce plan : M' appartient donc à \(\mathcal{P}\). Comme M' est aussi sur \(\mathcal{D}'\), c'est un point commun à \(\mathcal{D}'\) et \(\mathcal{P}\). Il n'y en a qu'un : \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u'} = 0 - 1 - 5 = -6 \ne 0\), donc \(\mathcal{D}'\) n'est pas parallèle à \(\mathcal{P}\) et le coupe en un seul point.

Alors, on remplace les coordonnées du point de paramètre \(t\) de \(\mathcal{D}'\) dans l'équation de \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 3 - (3 + t) - 5(3 + t) = 0\), soit \(-12 - 6t = 0\), d'où \(t = -2\). Donc on obtient \(x = 3\), \(y = 3 - 2 = 1\), \(z = 3 - 2 = 1\).

En conclusion : \(\text{M}'(3\,;\,1\,;\,1)\).

Question 4 a

4. a) Représentation paramétrique de \(\Delta\).

La droite \(\Delta\) passe par M'(3 ; 1 ; 1) et est dirigée par \(\overrightarrow{v}\).

En conclusion : \(\Delta : \left\{\begin{array}{l} x = 3 + 2r \\ y = 1 - r \\ z = 1 + r \end{array}\right.,\ r \in \mathbb{R}\).

4. b) M a pour coordonnées (1 ; 2 ; 0).

M est le point commun à \(\mathcal{D}\) et \(\Delta\). Ensuite, on cherche \(s\) et \(r\) tels que \(2 + s = 3 + 2r\), \(4 + 2s = 1 - r\) et \(0 = 1 + r\). La troisième équation donne \(r = -1\), puis la première \(s = 1 + 2r = -1\). La deuxième est alors vérifiée : \(4 - 2 = 2\) et \(1 + 1 = 2\). Avec \(r = -1\) dans \(\Delta\) : \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 0\).

En conclusion : \(\text{M}(1\,;\,2\,;\,0)\).

4. c) Distance MM'.

Dans un repère orthonormé : \(\overrightarrow{\text{MM}'}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) (on retrouve \(\overrightarrow{v}\)), donc \(\text{MM}' = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}\).

En conclusion : la distance entre \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) vaut \(\text{MM}' = \sqrt{6} \approx 2{,}45\).

5. a) \(d\) est parallèle à \(\mathcal{P}\).

Un vecteur directeur de \(d\) est \(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}5\\5\\1\end{pmatrix}\). Une droite est parallèle à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à un vecteur normal du plan : \(\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{n} = 10 - 5 - 5 = 0\). De plus, le point de \(d\) de paramètre 0, de coordonnées (0 ; 2 ; 1), ne vérifie pas l'équation de \(\mathcal{P}\) puisque \(0 - 2 - 5 = -7 \ne 0\) : la droite n'est pas contenue dans le plan.

En conclusion : \(d\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\).

Question 5 b

5. b) Volume du tétraèdre ANMM' en fonction de \(\ell\).

Par ailleurs, on prend pour base le triangle AMM', contenu dans \(\mathcal{P}\) (A et M sont sur \(\mathcal{D}\), M' est sur \(\Delta\)). La hauteur associée est la distance de N à ce plan, c'est-à-dire \(\ell\).

Le triangle AMM' est rectangle en M : A et M sont sur \(\mathcal{D}\), M et M' sont sur \(\Delta\), et ces deux droites sont perpendiculaires en M. Son aire vaut donc \(\dfrac{\text{AM} \times \text{MM}'}{2}\), avec \(\text{AM} = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 4)^2 + 0^2} = \sqrt{5}\). D'où :

\[\mathcal{A}_{\text{AMM}'} = \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{2} = \dfrac{\sqrt{30}}{2} \quad\text{et}\quad V = \dfrac13 \times \dfrac{\sqrt{30}}{2} \times \ell = \dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell.\]

Pour aller plus loin : la distance du point (0 ; 2 ; 1) de \(d\) au plan \(\mathcal{P}\) vaut \(\dfrac{|0 - 2 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \dfrac{7}{\sqrt{30}}\), ce qui donne \(V = \dfrac76\).

En conclusion : \(V = \dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell\).

5. c) Les tétraèdres \(\text{AN}_1\text{MM}'\) et \(\text{AN}_2\text{MM}'\) ont le même volume.

La droite \(d\) étant strictement parallèle à \(\mathcal{P}\), tous ses points sont à la même distance \(\ell\) de ce plan. Les deux tétraèdres ont la même base AMM' et la même hauteur \(\ell\) relative à cette base ; la formule de la question précédente leur donne donc le même volume.

En conclusion : les deux volumes valent \(\dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Sur un arbre pondéré, les probabilités du second niveau sont conditionnelles ; pour inverser le conditionnement, on repasse par \(p_E(A) = \dfrac{p(A \cap E)}{p(E)}\).
• Pour « au moins \(k\) » avec une loi binomiale, on calcule \(1 - p(Y \leqslant k - 1)\) : l'erreur classique est d'écrire \(1 - p(Y \leqslant k)\).
• La convexité de \(f\) se lit sur la courbe de \(f'\) (croissante : convexe) et \(f''(a)\) est la pente de la tangente à la courbe de \(f'\) en \(a\).
• Suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) : récurrence en appliquant \(f\) croissante à l'encadrement, convergence monotone, puis limite solution de \(f(\ell) = \ell\) grâce à la continuité.
• Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan, on injecte la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne ; une équation du type \(0t = 7\) signifie droite strictement parallèle au plan.
• Volume d'un tétraèdre : choisir une base contenue dans un plan connu, la hauteur est alors une distance à ce plan.

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Présentation du corrigé du bac 2022, France, septembre, jour 2

Le corrigé du bac 2022, France, septembre, jour 2 du 9 septembre 2022 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (7 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, variable aléatoire et espérance, loi binomiale. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (7 points) traite : qCM : suite arithmético-géométrique, suites couplées, boucle Python, convexité lue sur f', nombre dérivé, primitive. Puis, la correction de l'exercice 3 (7 points) traite : limites avec ln, dérivée d'un produit, tableau de variations, récurrence, convergence monotone, point fixe, maximum d'une famille de fonctions. Enfin, la correction de l'exercice 4 (7 points) porte sur : représentations paramétriques, produit scalaire, vecteur normal et équation cartésienne de plan, intersection droite-plan, distance, volume d'un tétraèdre.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2022, France, septembre, jour 2

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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