Corrigé du bac de maths 2024 : Centres étrangers, jour 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2024, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Dérivée d'un quotient, arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, valeur prédictive positive

Partie A

1. Calculer \(f'(x)\).

La fonction \(f\) est un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = 0{,}96x\) et \(v(x) = 0{,}93x + 0{,}03\). Sur \([0\,;\,1]\), \(v(x) \geqslant 0{,}03 \gt 0\), donc \(f\) est dérivable. Ainsi, on a \(u'(x) = 0{,}96\) et \(v'(x) = 0{,}93\). La formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) donne :

\[f'(x) = \dfrac{0{,}96(0{,}93x + 0{,}03) - 0{,}96x \times 0{,}93}{(0{,}93x + 0{,}03)^2} = \dfrac{0{,}8928x + 0{,}0288 - 0{,}8928x}{(0{,}93x + 0{,}03)^2}.\]

Les termes en \(x\) s'annulent, il ne reste que \(0{,}96 \times 0{,}03 = 0{,}0288\) au numérateur.

En conclusion : pour tout \(x \in [0\,;\,1]\), \(f'(x) = \dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x + 0{,}03)^2}\).

2. Sens de variation de \(f\).

Le numérateur \(0{,}0288\) est strictement positif et le dénominateur est un carré non nul, donc strictement positif. Ainsi \(f'(x) \gt 0\) sur tout l'intervalle.

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\).

Partie B

1. Compléter l'arbre.

L'énoncé donne \(P_D(T) = 0{,}96\) et \(P_{\overline{D}}(T) = 0{,}03\). Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches vaut 1, d'où \(P_D(\overline{T}) = 1 - 0{,}96 = 0{,}04\) et \(P_{\overline{D}}(\overline{T}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\). L'arbre complété se lit ainsi :

• \(D\) avec la probabilité \(x\), puis \(T\) avec \(0{,}96\) et \(\overline{T}\) avec \(0{,}04\) ;
• \(\overline{D}\) avec la probabilité \(1 - x\), puis \(T\) avec \(0{,}03\) et \(\overline{T}\) avec \(0{,}97\).

En conclusion : les pointillés valent, de haut en bas, \(0{,}96\) ; \(0{,}04\) ; \(0{,}03\) ; \(0{,}97\).

2. Probabilité d'être dopé et positif.

Alors, on cherche \(P(D \cap T)\) : c'est le produit des probabilités le long du chemin \(D\) puis \(T\), soit \(P(D) \times P_D(T) = x \times 0{,}96\).

En conclusion : \(P(D \cap T) = 0{,}96x\).

3. Montrer que \(P(T) = 0{,}93x + 0{,}03\).

Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne :

\[P(T) = P(D \cap T) + P(\overline{D} \cap T) = 0{,}96x + (1 - x) \times 0{,}03 = 0{,}96x + 0{,}03 - 0{,}03x.\]

En conclusion : \(P(T) = 0{,}93x + 0{,}03\).

4. Cas de 50 sportifs dopés sur 1 000 : calculer \(P_T(D)\).

La proportion de sportifs dopés vaut ici \(x = \dfrac{50}{1000} = 0{,}05\). Par définition d'une probabilité conditionnelle :

\[P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}96x}{0{,}93x + 0{,}03} = f(x) = f(0{,}05).\]

Numériquement, \(f(0{,}05) = \dfrac{0{,}048}{0{,}0765} \approx 0{,}6275\). Autrement dit, un peu plus d'un test positif sur trois concerne un sportif qui n'est pas dopé.

En conclusion : \(P_T(D) = f(0{,}05) \approx 0{,}63\).

Question 5 a

5. a. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on une valeur prédictive positive au moins égale à \(0{,}9\) ?

Le calcul de la question 4 reste valable pour tout \(x\) : la valeur prédictive positive est \(P_T(D) = f(x)\). Puis on résout donc \(f(x) \geqslant 0{,}9\) sur \([0\,;\,1]\). Le dénominateur \(0{,}93x + 0{,}03\) étant strictement positif, on peut multiplier sans changer le sens de l'inégalité :

\[0{,}96x \geqslant 0{,}9(0{,}93x + 0{,}03) \iff 0{,}96x \geqslant 0{,}837x + 0{,}027 \iff 0{,}123x \geqslant 0{,}027 \iff x \geqslant \dfrac{0{,}027}{0{,}123} = \dfrac{9}{41}.\]

Or \(\dfrac{9}{41} \approx 0{,}2195\).

En conclusion : la valeur prédictive positive atteint \(0{,}9\) dès que \(x \geqslant \dfrac{9}{41}\), soit à partir de \(x \approx 0{,}22\) (environ 22 % de sportifs dopés).

5. b. Effet d'un ciblage des sportifs les plus performants.

Si l'on ne teste que des sportifs supposés plus souvent dopés, la proportion \(x\) de dopés dans le groupe testé augmente. La valeur prédictive positive vaut \(f(x)\), et la partie A a établi que \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\) : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi.

En conclusion : le ciblage fait croître la valeur prédictive positive ; un test positif devient plus fiable pour désigner un sportif réellement dopé.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2024, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Fonction exponentielle, dérivée d'un produit, raisonnement par récurrence, suite monotone bornée, point fixe, algorithme de seuil en Python

1. a. Résoudre \(f(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\).

Par ailleurs, on regroupe tout d'un côté et on factorise par \(x\) :

\[2x\text{e}^{-x} = x \iff 2x\text{e}^{-x} - x = 0 \iff x\left(2\text{e}^{-x} - 1\right) = 0.\]

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Soit \(x = 0\), soit \(2\text{e}^{-x} = 1\), c'est-à-dire \(\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{2}\), donc \(-x = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2)\) et \(x = \ln(2)\). Comme \(\ln(2) \approx 0{,}693\), cette valeur appartient bien à \([0\,;\,1]\).

En conclusion : l'ensemble des solutions est \(\{0\,;\,\ln(2)\}\).

1. b. Calculer \(f'(x)\).

Ensuite, on écrit \(f(x) = u(x) \times v(x)\) avec \(u(x) = 2x\) et \(v(x) = \text{e}^{-x}\), donc \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -\text{e}^{-x}\). La formule \((uv)' = u'v + uv'\) donne :

\[f'(x) = 2\text{e}^{-x} + 2x \times \left(-\text{e}^{-x}\right) = 2\text{e}^{-x} - 2x\text{e}^{-x}.\]

En mettant \(2\text{e}^{-x}\) en facteur, on obtient la forme demandée.

En conclusion : pour tout \(x \in [0\,;\,1]\), \(f'(x) = 2(1 - x)\text{e}^{-x}\).

1. c. Tableau de variations de \(f\).

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f'(x)\) a le signe de \(1 - x\). Sur \([0\,;\,1[\), \(1 - x \gt 0\) et \(f'(x) \gt 0\) ; en \(x = 1\), \(f'(1) = 0\). La fonction est donc strictement croissante sur \([0\,;\,1]\). Les valeurs aux bornes sont \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 2\text{e}^{-1} = \dfrac{2}{\text{e}} \approx 0{,}74\).

En conclusion : \(f\) croît strictement de \(0\) à \(\dfrac{2}{\text{e}} \approx 0{,}74\) sur \([0\,;\,1]\).

Question 2 a

2. a. Montrer par récurrence que \(0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1\) ».

Initialisation. \(u_0 = 0{,}1\) et \(u_1 = f(0{,}1) = 0{,}2\,\text{e}^{-0{,}1} \approx 0{,}181\). Donc on a bien \(0 \leqslant 0{,}1 \lt 0{,}181 \leqslant 1\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) fixé : \(0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1\). Tous ces nombres sont dans \([0\,;\,1]\), où \(f\) est strictement croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l'ordre, y compris l'inégalité stricte :

\[f(0) \leqslant f(u_n) \lt f(u_{n+1}) \leqslant f(1), \quad \text{soit} \quad 0 \leqslant u_{n+1} \lt u_{n+2} \leqslant \dfrac{2}{\text{e}}.\]

Comme \(\dfrac{2}{\text{e}} \approx 0{,}74 \leqslant 1\), on obtient \(0 \leqslant u_{n+1} \lt u_{n+2} \leqslant 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1\).

2. b. Convergence de \((u_n)\).

D'après 2. a., \(u_n \lt u_{n+1}\) pour tout \(n\) : la suite est strictement croissante. Elle est aussi majorée par 1. Le théorème de convergence monotone permet de conclure.

En conclusion : la suite \((u_n)\), croissante et majorée par 1, converge vers une limite \(\ell\) avec \(\ell \leqslant 1\).

Question 3

3. Montrer que la limite vaut \(\ln(2)\).

La fonction \(f\) est continue sur \([0\,;\,1]\) (elle y est dérivable) et tous les termes \(u_n\) sont dans cet intervalle, donc \(\ell \in [0\,;\,1]\). En passant à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), la continuité de \(f\) donne \(\ell = f(\ell)\). D'après 1. a., \(\ell = 0\) ou \(\ell = \ln(2)\).

Or la suite est croissante, donc tous ses termes, et sa limite, sont supérieurs ou égaux à \(u_0 = 0{,}1\). Ainsi, on a donc \(\ell \geqslant 0{,}1\), ce qui exclut \(\ell = 0\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ln(2)\).

4. a. Signe de \(\ln(2) - u_n\).

Une suite croissante qui converge est majorée par sa limite : si un terme \(u_p\) dépassait \(\ln(2)\), tous les termes suivants resteraient au-dessus de \(u_p\) et la limite serait au moins égale à \(u_p \gt \ln(2)\), ce qui est absurde. Donc \(u_n \leqslant \ln(2)\) pour tout \(n\).

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(\ln(2) - u_n \geqslant 0\).

4. b. Compléter le script.

Puisque \(u_n \leqslant \ln(2)\), l'écart \(\ln(2) - u\) mesure exactement l'erreur commise en prenant \(u\) comme valeur approchée par défaut. Par ailleurs, on doit poursuivre le calcul tant que cet écart vaut au moins \(10^{-4}\), et à chaque passage calculer le terme suivant \(u = f(u) = 2u\,\text{e}^{-u}\). En Python, le logarithme népérien et l'exponentielle s'importent du module math (le logarithme népérien s'y appelle log).

from math import log, exp

def seuil() :
    n = 0
    u = 0.1
    while log(2) - u >= 0.0001 :
        n = n+1
        u = 2*u*exp(-u)
    return (u, n)

En conclusion : la condition est « ln(2) - u >= 0.0001 » et l'affectation est « u = 2*u*exp(-u) ».

Question 4 c

4. c. Valeur de \(n\) renvoyée.

En exécutant la fonction (ou en calculant les termes successifs à la calculatrice), on trouve \(u_{10} \approx 0{,}69300\), encore à environ \(1{,}5 \times 10^{-4}\) de \(\ln(2) \approx 0{,}69315\), puis \(u_{11} \approx 0{,}69310\), dont l'écart avec \(\ln(2)\) n'est plus que d'environ \(4{,}6 \times 10^{-5}\). La boucle s'arrête donc après 11 passages.

En conclusion : la fonction renvoie \(n = 11\) (avec \(u \approx 0{,}6931\)).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2024, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Équation différentielle \(y' = y\), solution particulière, équation avec second membre, condition initiale, calcul d'intégrale par primitive

1. Seule solution constante de \((E_0)\).

Soit \(y\) la fonction constante égale à un réel \(c\). Sa dérivée est nulle, donc \(y\) est solution de \((E_0)\) si et seulement si \(0 = c\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(c = 0\). Réciproquement, la fonction nulle vérifie bien \(0 = 0\).

En conclusion : la seule fonction constante solution de \((E_0)\) est la fonction nulle.

2. Solutions de \((E_0)\).

D'après le cours, les solutions de l'équation \(y' = ay\) sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{ax}\) avec \(C\) réel. Ici \(a = 1\).

En conclusion : les solutions de \((E_0)\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{x}\), \(C \in \mathbb{R}\).

3. Vérifier que \(h\) est solution de \((E)\).

Puis on calcule séparément les deux membres. D'une part, \(h'(x) = -2\sin(x) + \cos(x)\). D'autre part :

\[h(x) - \cos(x) - 3\sin(x) = 2\cos(x) + \sin(x) - \cos(x) - 3\sin(x) = \cos(x) - 2\sin(x).\]

Les deux expressions coïncident pour tout réel \(x\).

En conclusion : \(h' = h - \cos - 3\sin\), donc \(h\) est solution de \((E)\).

4. \(f\) solution de \((E)\) équivaut à \(f - h\) solution de \((E_0)\).

D'après la question 3, pour tout réel \(x\), \(\cos(x) + 3\sin(x) = h(x) - h'(x)\). Par ailleurs, on raisonne par équivalences, pour tout réel \(x\) :

\[f'(x) = f(x) - \cos(x) - 3\sin(x) \iff f'(x) = f(x) - h(x) + h'(x) \iff f'(x) - h'(x) = f(x) - h(x).\]

La dernière égalité s'écrit \((f - h)'(x) = (f - h)(x)\), ce qui signifie exactement que \(f - h\) est solution de \((E_0)\).

En conclusion : \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f - h\) est solution de \((E_0)\).

Question 5

5. Solutions de \((E)\).

D'après 4 puis 2, \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement s'il existe un réel \(C\) tel que \(f(x) - h(x) = C\text{e}^{x}\) pour tout \(x\).

En conclusion : les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{x} + 2\cos(x) + \sin(x)\), \(C \in \mathbb{R}\).

6. Solution \(g\) telle que \(g(0) = 0\).

Alors, on cherche \(C\) tel que \(g(x) = C\text{e}^{x} + 2\cos(x) + \sin(x)\) s'annule en 0. Comme \(\text{e}^0 = 1\), \(\cos(0) = 1\) et \(\sin(0) = 0\), on obtient \(g(0) = C + 2\). La condition \(g(0) = 0\) impose \(C = -2\).

En conclusion : \(g(x) = -2\text{e}^{x} + 2\cos(x) + \sin(x)\) pour tout réel \(x\).

7. Calcul de l'intégrale.

L'intégrande est exactement \(g(x)\). Une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) s'obtient terme à terme : \(G(x) = -2\text{e}^{x} + 2\sin(x) - \cos(x)\) (on vérifie que \(G'(x) = -2\text{e}^{x} + 2\cos(x) + \sin(x)\)). Alors :

\[\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,\text{d}x = G\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - G(0) = \left(-2\text{e}^{\frac{\pi}{2}} + 2 - 0\right) - (-2 + 0 - 1) = -2\text{e}^{\frac{\pi}{2}} + 5.\]

Le résultat est négatif (environ \(-4{,}62\)), ce qui est cohérent : \(g'(x) = -2\text{e}^{x} + \cos(x) - 2\sin(x) \leqslant -2 + 1 \lt 0\) sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), donc \(g\) y décroît à partir de \(g(0) = 0\) et reste négative.

En conclusion : \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[-2\text{e}^x + \sin(x) + 2\cos(x)\right]\text{d}x = 5 - 2\text{e}^{\frac{\pi}{2}} \approx -4{,}62\).

Corrigé de l’exercice 4 5 points

Vecteurs de l'espace, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, intersection de droites, projeté orthogonal, distance à un plan

1. A, B et C ne sont pas alignés.

Puis on calcule deux vecteurs issus de A : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}\). S'ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) avec \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\). La troisième coordonnée donne \(0 = -2k\), donc \(k = 0\), mais alors la première donnerait \(3 = 0\) : impossible.

En conclusion : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.

2. a. \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal au plan (ABC).

Il suffit que \(\overrightarrow{n}\) soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Dans un repère orthonormé :

\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 1 + 3 \times 3 + 5 \times (-2) = 0 \quad \text{et} \quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times 3 + 3 \times (-1) + 5 \times 0 = 0.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de (ABC), c'est un vecteur normal au plan (ABC).

2. b. Équation cartésienne de (ABC).

Un plan de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}\) admet une équation de la forme \(x + 3y + 5z + d = 0\). Le point A\((-2\,;\,0\,;\,2)\) appartient au plan, donc \(-2 + 0 + 10 + d = 0\), d'où \(d = -8\). Ensuite, on peut contrôler avec B : \(-1 + 9 + 0 - 8 = 0\), et avec C : \(1 - 3 + 10 - 8 = 0\).

En conclusion : le plan (ABC) a pour équation \(x + 3y + 5z - 8 = 0\).

Question 2 c

2. c. A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Alors, on remplace les coordonnées de D\((0\,;\,0\,;\,3)\) dans l'équation : \(0 + 0 + 15 - 8 = 7 \neq 0\). Le point D n'est donc pas dans le plan (ABC).

En conclusion : D n'appartient pas au plan (ABC), les quatre points ne sont pas coplanaires (ABCD est bien un tétraèdre).

3. a. \(\mathcal{D}_1\) est la hauteur issue de D.

La hauteur issue de D est la droite passant par D et perpendiculaire à la face opposée (ABC). Pour \(t = 0\), la représentation de \(\mathcal{D}_1\) donne le point \((0\,;\,0\,;\,3)\), c'est-à-dire D. Un vecteur directeur de \(\mathcal{D}_1\) est \(\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}\), qui n'est autre que \(\overrightarrow{n}\), normal au plan (ABC).

En conclusion : \(\mathcal{D}_1\) passe par D et est orthogonale au plan (ABC) : c'est la hauteur du tétraèdre issue de D.

3. b. Intersection de \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\).

Les droites sont sécantes si l'on trouve des réels \(t\) et \(s\) donnant le même point, c'est-à-dire solutions du système :

\[\left\{\begin{array}{l} t = 1 + 3s \\ 3t = -1 - 5s \\ 3 + 5t = 2 - 6s \end{array}\right.\]

Puis on remplace \(t\) par \(1 + 3s\) dans la deuxième équation : \(3 + 9s = -1 - 5s\), donc \(14s = -4\) et \(s = -\dfrac{2}{7}\). Alors \(t = 1 - \dfrac{6}{7} = \dfrac{1}{7}\). Ensuite, on vérifie la troisième équation : \(3 + \dfrac{5}{7} = \dfrac{26}{7}\) et \(2 + \dfrac{12}{7} = \dfrac{26}{7}\), elle est satisfaite. Le système a une solution, les droites se coupent au point de paramètre \(t = \dfrac{1}{7}\) sur \(\mathcal{D}_1\).

En conclusion : \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) sont sécantes au point de coordonnées \(\left(\dfrac{1}{7}\,;\,\dfrac{3}{7}\,;\,\dfrac{26}{7}\right)\).

Question 4 a

4. a. Projeté orthogonal H de D sur (ABC).

H est le point d'intersection de la hauteur \(\mathcal{D}_1\) (perpendiculaire au plan passant par D) avec le plan (ABC). Alors, on injecte la représentation paramétrique de \(\mathcal{D}_1\) dans l'équation du plan :

\[t + 3(3t) + 5(3 + 5t) - 8 = 0 \iff 35t + 7 = 0 \iff t = -\dfrac{1}{5}.\]

Donc on obtient \(x = -\dfrac{1}{5}\), \(y = -\dfrac{3}{5}\) et \(z = 3 - 1 = 2\). Contrôle : \(-0{,}2 - 1{,}8 + 10 - 8 = 0\).

En conclusion : \(\text{H}\left(-\dfrac{1}{5}\,;\,-\dfrac{3}{5}\,;\,2\right)\), soit \(\text{H}(-0{,}2\,;\,-0{,}6\,;\,2)\).

4. b. Distance de D au plan (ABC).

Cette distance est la longueur DH. Ainsi, on a \(\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}-0{,}2\\-0{,}6\\-1\end{pmatrix} = -\dfrac{1}{5}\overrightarrow{n}\), donc :

\[\text{DH} = \sqrt{0{,}04 + 0{,}36 + 1} = \sqrt{1{,}4} = \dfrac{\sqrt{35}}{5} \approx 1{,}183.\]

En conclusion : la distance de D au plan (ABC) vaut \(\dfrac{\sqrt{35}}{5} \approx 1{,}18\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Valeur prédictive positive : c'est \(P_T(D)\), que l'on obtient avec la formule des probabilités totales au dénominateur ; elle dépend fortement de la proportion de malades ou de tricheurs dans la population testée.
• Pour une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\), la croissance de \(f\) sur un intervalle stable est l'outil clé de la récurrence, et la limite se cherche parmi les solutions de \(f(x) = x\) en éliminant celles incompatibles avec la monotonie.
• Dans un script de seuil, la boucle while tourne tant que la précision voulue n'est pas atteinte : attention au sens de la condition et à l'import de log et exp.
• Équation \(y' = y + \varphi\) : solution particulière plus solutions de \(y' = y\), puis la condition initiale fixe la constante.
• Projeté orthogonal sur un plan : on paramètre la droite passant par le point et dirigée par le vecteur normal, puis on l'injecte dans l'équation du plan ; ne pas oublier de vérifier la troisième équation quand on teste l'intersection de deux droites.

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Présentation du corrigé du bac 2024, Centres étrangers, jour 1

Cette correction complète du bac 2024, Centres étrangers, jour 1 du 5 juin 2024 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) aborde : dérivée d'un quotient, arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, valeur prédictive positive. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) traite : fonction exponentielle, dérivée d'un produit, raisonnement par récurrence, suite monotone bornée, point fixe, algorithme de seuil en Python. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) traite : équation différentielle, solution particulière, équation avec second membre, condition initiale, calcul d'intégrale par primitive. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) porte sur : vecteurs de l'espace, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, intersection de droites, projeté orthogonal, distance à un plan.

Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2024, Centres étrangers, jour 1

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

Les autres corrigés de 2024

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