Corrigé du brevet de maths 2012 : France

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Sommaire

Ce corrigé du brevet 2012 de France, La Réunion et Antilles-Guyane (28 juin 2012) détaille chaque question des trois parties. Côté numérique, tu y vois pourquoi la probabilité baisse quand on ajoute une porte, pourquoi une calculatrice peut afficher 1 pour un nombre qui ne vaut pas 1, comment convertir une allure en temps de course et comment factoriser avec l’identité \(a^2 – b^2\). En géométrie, une équation du premier degré donne le côté du carré, le rapport \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\) règle la question du petit cône, et Pythagore puis Thalès donnent la longueur du parcours. Le problème de l’avion fait travailler les formules de tableur, les pourcentages, la relation distance-vitesse-temps, le sinus et la lecture d’une courbe de freinage.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2012 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé des activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : probabilités et portes

1. Alice choisit une porte au hasard parmi 3 : chaque porte a la même chance d’être choisie. Une seule porte cache la voiture, donc il y a 1 cas favorable sur 3 cas possibles. La probabilité est \(\dfrac{1}{3}\) : réponse b.

2. Avec 4 portes et toujours une seule voiture, la probabilité devient \(\dfrac{1}{4}\). Comme \(\dfrac{1}{4} \lt \dfrac{1}{3}\) (on partage l’unité en plus de parts), la probabilité diminue : réponse b.

À retenir : en situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

Corrigé de l’exercice 2 : puissances de 10 et calculatrice

1. \(10^{5} = 100\,000\), donc :

\[\dfrac{10^{5} + 1}{10^{5}} = \dfrac{100\,001}{100\,000} = 1 + \dfrac{1}{100\,000} = 1{,}000\,01\]

L’écriture décimale est 1,000 01.

2. De la même façon, \(\dfrac{10^{15} + 1}{10^{15}} = 1 + \dfrac{1}{10^{15}} = 1 + 10^{-15}\). En écriture décimale, cela donne 1,000 000 000 000 001 : un 1 suivi de 14 zéros après la virgule, puis un 1.

Ce nombre est strictement plus grand que 1, il n’est donc pas égal à 1. La calculatrice n’affiche qu’un nombre limité de chiffres (une dizaine environ) et a arrondi le résultat. Antoine a raison : le résultat affiché est une valeur approchée, pas la valeur exacte.

À retenir : \(\dfrac{a + b}{a} = 1 + \dfrac{b}{a}\) ; une calculatrice travaille avec un nombre limité de chiffres, et son affichage peut être un arrondi.

Corrigé de l’exercice 3 : l’allure du marathonien

Le coureur met 4 min 30 s par kilomètre, soit \(4 \times 60 + 30 = 270\) secondes par kilomètre. S’il garde cette allure, la durée est proportionnelle à la distance :

\[270 \times 42{,}195 = 11\,392{,}65\ \text{s}\]

On compare à 3 h 30 min, qui vaut \(3 \times 3\,600 + 30 \times 60 = 12\,600\) s. Comme \(11\,392{,}65 \lt 12\,600\), le temps est inférieur à 3 h 30.

Pour exprimer la durée : \(11\,392{,}65 – 3 \times 3\,600 = 592{,}65\) s, et \(592{,}65 = 9 \times 60 + 52{,}65\). Le coureur mettrait environ 3 h 9 min 53 s. Oui, il mettra moins de 3 h 30.

À retenir : pour comparer des durées, convertis-les toutes dans la même unité (ici la seconde) ; à allure constante, la durée est proportionnelle à la distance.

Corrigé de l’exercice 4 : une équation à factoriser

1. On remplace \(x\) par chaque nombre dans le membre de gauche.

Pour \(x = \dfrac{3}{4}\) : \(\left(4 \times \dfrac{3}{4} – 3\right)^2 – 9 = (3 – 3)^2 – 9 = 0 – 9 = -9\). On n’obtient pas 0, donc \(\dfrac{3}{4}\) n’est pas solution.

Pour \(x = 0\) : \((4 \times 0 – 3)^2 – 9 = (-3)^2 – 9 = 9 – 9 = 0\). On obtient 0, donc 0 est solution.

2. On reconnaît une différence de deux carrés, car \(9 = 3^2\). Avec l’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), où \(a = 4x – 3\) et \(b = 3\) :

\[(4x – 3)^2 – 3^2 = (4x – 3 – 3)(4x – 3 + 3) = (4x – 6) \times 4x\]

Donc, pour tout nombre \(x\), \((4x – 3)^2 – 9 = 4x(4x – 6)\). (On peut aussi développer les deux membres : chacun vaut \(16x^2 – 24x\).)

3. D’après la question 2, l’équation s’écrit \(4x(4x – 6) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\(4x = 0\), soit \(x = 0\) ; ou \(4x – 6 = 0\), soit \(x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\).

L’équation a deux solutions : 0 et \(\dfrac{3}{2}\). On retrouve bien la solution 0 de la question 1 ; vérification pour 1,5 : \((6 – 3)^2 – 9 = 0\).

À retenir : une expression de la forme « carré moins carré » se factorise avec \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), et la règle du produit nul termine la résolution.

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : carré et rectangle de même aire

1. a. ABCD est un carré de côté 40 cm : son aire est \(40 \times 40 = \) 1 600 cm².

b. E est sur le segment [AD], donc \(DE = AD – AE = 40 – 15 = 25\) cm. C est sur le segment [DG], donc \(DG = DC + CG = 40 + 25 = 65\) cm. L’aire du rectangle DEFG est \(25 \times 65 = \) 1 625 cm².

2. Notons \(x\) la longueur AB en cm (avec \(x \gt 15\) pour que E soit sur [AD]). Comme à la question 1 : \(DE = x – 15\) et \(DG = x + 25\).

Aire du carré : \(x^2\). Aire du rectangle : \((x – 15)(x + 25) = x^2 + 25x – 15x – 375 = x^2 + 10x – 375\).

Les aires sont égales lorsque \(x^2 = x^2 + 10x – 375\). En retirant \(x^2\) des deux côtés : \(0 = 10x – 375\), donc \(x = \dfrac{375}{10} = 37{,}5\).

Vérification : le carré a pour aire \(37{,}5^2 = 1\,406{,}25\ \text{cm}^2\) et le rectangle \((37{,}5 – 15) \times (37{,}5 + 25) = 22{,}5 \times 62{,}5 = 1\,406{,}25\ \text{cm}^2\). Oui, c’est possible avec AB = 37,5 cm.

À retenir : quand une longueur varie, on la nomme \(x\), on exprime les grandeurs en fonction de \(x\) et on traduit la condition par une équation ; ici les \(x^2\) se simplifient et il reste une équation du premier degré.

Corrigé de l’exercice 2 : section d’un cône

1. Avec \(R = 2\) cm et \(h = 5\) cm :

\[V = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 5}{3} = \dfrac{20\pi}{3} \approx 20{,}94\ \text{cm}^3\]

Arrondi à l’unité, le volume du cône est d’environ 21 cm³.

2. La section par un plan parallèle à la base donne un petit cône qui est une réduction du grand cône. Le petit cône a pour hauteur AB, et comme B est le milieu de [AO], \(AB = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) cm. Le coefficient de réduction est \(k = \dfrac{AB}{AO} = \dfrac{1}{2}\).

Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\). Ici \(k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\), donc :

\[V_{\text{petit}} = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{20\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} \approx 2{,}6\ \text{cm}^3\]

Contrôle direct : le petit cône a un rayon de \(2 \times \dfrac{1}{2} = 1\) cm, donc \(V_{\text{petit}} = \dfrac{\pi \times 1^2 \times 2{,}5}{3} = \dfrac{2{,}5\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6}\).

Le petit cône a un volume égal au huitième du grand, et non à la moitié : l’affirmation est fausse.

À retenir : diviser les longueurs par 2 divise les aires par 4 et les volumes par 8 ; ne confonds pas le rapport des longueurs avec celui des volumes.

Corrigé de l’exercice 3 : longueur du parcours

D’après la figure : AB = 300 m, AC = 400 m et CE = 1 000 m. Il faut trouver BC, CD et DE.

Longueur BC. Le triangle ABC est rectangle en A, d’hypoténuse [BC]. Par le théorème de Pythagore :

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 = 300^2 + 400^2 = 90\,000 + 160\,000 = 250\,000\]

donc \(BC = \sqrt{250\,000} = 500\) m.

Longueurs CD et DE. Les droites (AE) et (BD) se coupent en C, et (AB) est parallèle à (DE). D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :

\[\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CB}{CD} = \dfrac{AB}{ED} \quad \text{soit} \quad \dfrac{400}{1\,000} = \dfrac{500}{CD} = \dfrac{300}{ED}\]

Le rapport vaut 0,4, donc \(CD = \dfrac{500}{0{,}4} = 1\,250\) m et \(ED = \dfrac{300}{0{,}4} = 750\) m.

Longueur totale. Le parcours A → B → C → D → E mesure :

\[AB + BC + CD + DE = 300 + 500 + 1\,250 + 750 = 2\,800\ \text{m}\]

Le parcours ABCDE mesure 2 800 m, soit 2,8 km. Remarque : le triangle CDE est un agrandissement de rapport 2,5 du triangle CBA, on vérifie que \(750^2 + 1\,000^2 = 1\,250^2\).

À retenir : Pythagore donne un côté d’un triangle rectangle ; Thalès, dans une configuration en papillon, donne des longueurs proportionnelles une fois qu’on connaît le rapport.

Corrigé du problème

Corrigé de la partie 1 : fréquentation du vol Nantes-Toulouse

1. De 9 h 35 à 10 h, il s’écoule 25 min, puis de 10 h à 10 h 30, encore 30 min. La durée du vol est \(25 + 30 = \) 55 minutes.

2. a. Le total de la semaine est 1 113. On retire les passagers connus :

\[1\,113 – (152 + 143 + 164 + 189 + 157 + 163) = 1\,113 – 968 = 145\]

145 passagers ont pris le vol mercredi.

b. La moyenne par jour est le total divisé par le nombre de jours : \(\dfrac{1\,113}{7} = 159\). Il y avait en moyenne 159 passagers par jour.

3. a. La cellule qui contient le total de la semaine 1 est la cellule I2 (le « 12 » de l’énoncé est une coquille pour I2). On y a saisi =SOMME(B2:H2), ou encore =B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2.

b. En J2, on a saisi =MOYENNE(B2:H2) (ou =I2/7). Le tableur affiche 159 car \(1\,110 \div 7 \approx 158{,}6\) a été arrondi à l’unité.

4. 80 % de la capacité maximale représentent \(\dfrac{80}{100} \times 190 = 152\) passagers. La moyenne observée est 166, et \(166 \gt 152\). L’objectif est atteint. (166 passagers correspondent à environ 87 % de remplissage.)

À retenir : dans un tableur, une somme s’écrit =SOMME(début:fin) et une moyenne =MOYENNE(début:fin) ; prendre 80 % d’une quantité revient à la multiplier par 0,8.

Corrigé de la partie 2 : le radar

1. En 0,000 3 s, le signal fait l’aller jusqu’à l’avion puis le retour jusqu’au radar. L’aller seul dure donc \(\dfrac{0{,}000\,3}{2} = 0{,}000\,15\) s. Avec la relation distance = vitesse × durée :

\[d = 300\,000 \times 0{,}000\,15 = 45\ \text{km}\]

L’avion se trouve bien à 45 km du radar. (Sans diviser par 2, on trouverait 90 km : c’est la distance aller-retour.)

2. Le triangle RIA est rectangle en I, avec l’hypoténuse RA = 45 km et l’angle \(\widehat{ARI} = 5^\circ\). L’altitude est la longueur AI, côté opposé à l’angle de 5°. On utilise le sinus :

\[\sin \widehat{ARI} = \dfrac{AI}{RA} \quad \text{donc} \quad AI = 45 \times \sin 5^\circ \approx 3{,}922\ \text{km}\]

Soit environ 3 922 m ; arrondie à la centaine de mètres, l’altitude de l’avion est 3 900 m.

À retenir : pour un signal aller-retour, la distance cherchée correspond à la moitié du trajet ; dans un triangle rectangle, côté opposé = hypoténuse × sinus de l’angle.

Corrigé de la partie 3 : la courbe de freinage

1. On part de 10 sur l’axe du temps, on monte jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée : 10 s après avoir touché le sol, l’avion a parcouru environ 450 m.

2. À partir d’environ 20 s, la courbe devient horizontale : la distance parcourue reste égale à 600 m. Entre 22 s et 26 s, la distance n’augmente plus parce que l’avion est déjà arrêté : il ne parcourt plus aucun mètre.

3. L’avion s’arrête au moment où la courbe atteint son palier de 600 m, soit environ 20 secondes après que les roues ont touché le sol (le palier commence entre 20 et 21 s sur le graphique). Il a alors parcouru 600 m sur la piste.

À retenir : sur une courbe « distance en fonction du temps », une portion horizontale signifie que la distance ne change plus, donc que l’objet est immobile.

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