Brevet de maths 2027, sujet de référence n° 1 : corrigé détaillé
L’énoncé complet se trouve sur la page Brevet de maths 2027 : sujet de référence n° 1. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé référence 2027
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé référence 2027 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 4 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Automatismes » (partie 1). Ensuite, la correction reprend « Statistiques : salaires » (l’exercice 1). Puis tu lis la démarche complète pour « Fonctions : tarifs de bateau » (l’exercice 2). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Géométrie : triangle rectangle » (l’exercice 3).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé référence 2027 sont la médiane et les statistiques, le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les fractions et les puissances de 10, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de la partie 1 (référence 2027) : les neuf automatismes
Aucune justification n’est demandée ici : sur ta copie, le numéro et la réponse suffisent. Puis les explications ci-dessous servent à comprendre et à gagner du temps le jour J.
Question 1. Ensuite, on met les deux fractions sur le dénominateur commun 20 : \(A=\dfrac{12}{20}-\dfrac{5}{20}=\dfrac{7}{20}\). Comme 7 est premier et ne divise pas 20, la fraction ne se simplifie plus : \(A=\dfrac{7}{20}\).
Question 2. Chaque puissance de 10 décale la virgule : \(3{,}1\times10^{2}=310\), \(5\times10=50\) et \(2{,}1\times10^{-1}=0{,}21\). Donc \(B=310-50+0{,}21\), soit \(B=260{,}21\).
Question 3. Tu reconnais la forme \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) avec \(a=5\) et \(b=2\sqrt{3}\). Or \((2\sqrt{3})^2=4\times3=12\). Le produit vaut \(25-12\), c’est-à-dire 13. Le piège classique : écrire \((2\sqrt{3})^2=6\) en oubliant d’élever le 2 au carré.
Question 4. Écris tout en décimal : \(1+\dfrac{3}{100}=1{,}03\) et \(\dfrac{7}{4}=1{,}75\). Ordre croissant : \(1+\dfrac{3}{100}\) ; \(1{,}25\) ; \(1{,}3\) ; \(\dfrac{7}{4}\). Pour comparer 1,25 et 1,3, pense à 1,30 : 30 centièmes, c’est plus que 25 centièmes.
Question 5. On ajoute 2 aux deux membres : \(3x=27\), puis on divise par 3 : \(x=9\). Contrôle express : \(3\times9-2=25\).
Question 6. Le \(-4\) se distribue sur les deux termes de la parenthèse, signe compris : \(3a-1-8a-12\). De plus, on regroupe les \(a\) et les nombres : \(-5a-13\).
Question 7. Le point E est le milieu de [AB] : la translation qui envoie E sur B fait glisser chaque point d’une demi-diagonale de petit carré « vers le bas à gauche », dans la direction de A vers B. Ainsi A va en E, M va en F et H va en M. L’image du triangle AMH est le triangle EFM. Vérifie sur la figure : les deux triangles ont la même forme, la même orientation, et l’un se déduit de l’autre en le faisant glisser sans le tourner.
Corrigé de la partie 1 (référence 2027) : les neuf automatismes (suite)
Question 8. Les points A, B, E sont alignés, les points A, C, D aussi, et (CB) est parallèle à (DE) : le théorème de Thalès donne \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{CB}{DE}\), soit \(\dfrac{6}{AE}=\dfrac{3}{15}\). Le côté CB est multiplié par 5 pour donner DE, donc AE est aussi 5 fois AB : AE = 30 cm.
Question 9. Augmenter de 20 %, c’est multiplier par 1,2 : \(15\times1{,}2=18\). Tu peux aussi calculer 10 % de 15, soit 1,50 €, le doubler (3 €) et l’ajouter. Nouveau prix : 18 €.
Corrigé de l’exercice 1 : salaires des femmes et des hommes
1. Commence par le salaire moyen des femmes : on additionne les 10 salaires et on divise par 10.
\[1500+1530+1550+1600+1650+1700+1800+2000+3000+3500=19\,830\]
\[\dfrac{19\,830}{10}=1983\]
Le salaire moyen des femmes est de 1983 €, celui des hommes de 2076 €. En moyenne, les hommes gagnent davantage que les femmes : 93 € de plus par mois (\(2076-1983=93\)).
2. Voici une rédaction qui répond à l’exigence de la question (phrases complètes, vocabulaire exact) :
« Le salaire le plus bas des femmes est de 1500 €. Comme le plus bas salaire de l’entreprise est de 1480 €, ce salaire ne peut pas être celui d’une femme : c’est donc le salaire minimal des hommes. L’étendue d’une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur. L’étendue des salaires des hommes est de 2400 €, donc le salaire maximal des hommes est égal à \(1480+2400=3880\) €. Le salaire maximal des femmes est de 3500 €, qui est inférieur à 3880 €. Ensuite, le salaire le plus élevé de l’entreprise est donc de 3880 €. »
Conclusion : le salaire le plus élevé de l’entreprise est 3880 €. Remarque le rôle de chaque phrase : on identifie d’abord à qui appartient le minimum, on rappelle la définition de l’étendue, on calcule, puis on compare avec les femmes avant de conclure. Oublier cette dernière comparaison ferait perdre des points, même si le nombre est juste.
Corrigé de l’exercice 1 : salaires des femmes et des hommes (suite)
3. Chez les femmes, la liste est complète : seules 3000 € et 3500 € dépassent 2200 €, soit 2 femmes.
Chez les hommes, on ne connaît pas les salaires, mais la médiane suffit. Il y a 20 salaires, nombre pair : une fois rangés dans l’ordre croissant, la médiane est la moyenne de la 10e et de la 11e valeur. Ces deux salaires sont différents (tous les salaires des hommes le sont) et leur moyenne vaut 2200 € : le 10e est donc strictement inférieur à 2200 € et le 11e strictement supérieur. Les salaires de rang 11 à 20 dépassent tous 2200 €, et ceux de rang 1 à 10 sont en dessous. Cela fait exactement 10 hommes.
Au total, 12 personnes gagnent plus de 2200 € dans cette entreprise (10 hommes et 2 femmes).
L’hypothèse « tous différents » n’est pas là pour décorer : si le 10e et le 11e salaire valaient tous deux 2200 €, seuls 9 hommes au plus gagneraient strictement plus de 2200 €.
Corrigé de l’exercice 2 : fonctions et tarifs de bateau
1. Sur le graphique, A est au-dessus de l’abscisse 7 et à la hauteur 210 : A(7 ; 210).
2. Réponse rédigée :
« La fonction \(g\) est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite. Par ailleurs, la courbe \(C_2\) n’est pas une droite : elle est formée de deux segments qui changent de direction au point A. Elle ne peut donc pas représenter \(g\). De plus, \(g(0)=10\times0+60=60\), donc la représentation de \(g\) passe par le point de coordonnées (0 ; 60). La droite \(C_1\) coupe l’axe des ordonnées en 60, alors que \(C_2\) passe par l’origine du repère. La fonction \(g\) est donc représentée par la droite \(C_1\). »
Conclusion : \(g\) est représentée par \(C_1\).
3. a. Puis on part de 12 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à \(C_1\) puis on lit l’ordonnée : l’image de 12 par \(g\) est 180.
b. \(g(12)=10\times12+60=120+60=180\). Le calcul confirme la lecture : \(g(12)=180\).
4. On cherche \(x\) tel que \(g(x)=150\) :
\[10x+60=150\]
\[10x=90\]
\[x=9\]
L’antécédent de 150 par \(g\) est 9. Sur le graphique, la droite \(C_1\) passe bien par (9 ; 150).
5. Traduisons chaque tarif pour \(x\) voyages. Tarif M : \(25x\). Ensuite, tarif N : \(60+10x\), c’est exactement \(g(x)\). Tarif P : \(30x\) tant que \(x\) ne dépasse pas 7, puis toujours \(30\times7=210\) euros.
\(C_1\) correspond au tarif N (droite qui démarre à 60 €, le prix de la carte). \(C_2\) correspond au tarif P : elle monte de 30 € par voyage jusqu’au point A(7 ; 210), puis reste plate à 210 € puisque les traversées suivantes sont gratuites. Le tarif M n’est pas représenté.
Corrigé de l’exercice 2 : fonctions et tarifs de bateau (suite)
6. La fonction \(f : x \longmapsto 25x\) est linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine. Il suffit d’un second point, par exemple \(f(8)=200\), donc le point (8 ; 200), ou \(f(4)=100\), donc (4 ; 100). Puis on trace la droite passant par (0 ; 0) et (8 ; 200) : c’est la droite rouge ci-dessous.
7. Pour que P soit plus avantageux que les deux autres, sa courbe doit être strictement en dessous des deux autres.
- P contre M : la droite rouge dépasse 210 € entre 8 et 9 voyages ; pour 9 voyages, M coûte 225 €, plus que les 210 € de P. Dès 9 voyages, P bat M.
- P contre N : \(C_1\) et \(C_2\) se croisent au point (15 ; 210). Pour 15 voyages, les deux tarifs coûtent 210 € : égalité, P n’est pas encore meilleur. Pour 16 voyages, N coûte 220 € et P toujours 210 €.
Il faut que les deux conditions soient réunies : à partir de 16 voyages dans l’année, le tarif P est le plus avantageux des trois.
Corrigé de l’exercice 3 : triangle rectangle et triangle équilatéral
Lis d’abord le codage : [AB], [BM], [MC] et [AM] portent le même signe, donc ils ont la même longueur, 4. Comme M est le milieu de [BC], on a \(BC=2\times BM=8\).
1. Le triangle ABC est rectangle en A, d’hypoténuse [BC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[BC^2=AB^2+AC^2\]
\[AC^2=8^2-4^2=64-16=48\]
\[AC=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\]
AC = \(4\sqrt{3}\), soit environ 6,93.
2. a. Définition attendue, en une phrase :
« Dans le triangle ABM, la hauteur issue du point A est la droite qui passe par le sommet A et qui est perpendiculaire au côté opposé [BM], c’est-à-dire à la droite (BM). »
On appelle aussi « hauteur » le segment qui joint A au point d’intersection de cette droite avec (BM). Les deux mots qui ne doivent pas manquer : passe par A et perpendiculaire au côté opposé.
b. Ensuite, les trois côtés de ABM mesurent 4 : ABM est un triangle équilatéral. Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d’un sommet est aussi la médiane issue de ce sommet (c’est un axe de symétrie du triangle). Le pied H est donc le milieu de [BM] :
\[HB=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{4}{2}=2\]
H est situé sur le segment [BC], entre B et M. Donc \(CH=CB-HB=8-2=6\).
HB = 2 et CH = 6.
3. Il faut d’abord AH. Le triangle ABH est rectangle en H (AH est une hauteur), d’hypoténuse [AB]. Par Pythagore :
Corrigé de l’exercice 3 : triangle rectangle et triangle équilatéral (suite)
\[AH^2=AB^2-HB^2=16-4=12\]
\[AH=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]
Dans le triangle CAH, M est sur [CH], N est sur [CA], et (MN) est parallèle à (AH). Puis le théorème de Thalès s’applique :
\[\dfrac{CM}{CH}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{MN}{AH}\]
\[\dfrac{4}{6}=\dfrac{MN}{2\sqrt{3}}\]
\[MN=\dfrac{4\times2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\approx2{,}31\]
NM = \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\), soit environ 2,31. Petit contrôle de cohérence : M est aux deux tiers de C vers H, donc MN vaut les deux tiers de AH, et \(\dfrac{2}{3}\times3{,}46\approx2{,}31\).
4. Une démarche détaillée, rédigée étape par étape :
« La droite (AH) est perpendiculaire à (BC) et la droite (MN) est parallèle à (AH). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre : donc (MN) est perpendiculaire à (BC), et le triangle CMN est rectangle en M.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°). Ensuite, dans le triangle ABC rectangle en A : \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°\). Dans le triangle CMN rectangle en M : \(\widehat{CNM}+\widehat{NCM}=90°\).
Comme N est sur [CA] et M sur [CB], les angles \(\widehat{NCM}\) et \(\widehat{ACB}\) sont le même angle. Les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{CNM}\) sont donc tous les deux égaux à 90° moins ce même angle : ils sont égaux. »
Conclusion : \(\widehat{ABC}=\widehat{CNM}\), et ils mesurent tous deux 60°, puisque \(\widehat{ABC}\) est un angle du triangle équilatéral ABM.
Autre piste possible : calculer chaque angle. \(\widehat{ABC}=60°\) (triangle équilatéral), donc \(\widehat{ACB}=30°\), puis dans CMN rectangle en M, \(\widehat{CNM}=180°-90°-30°=60°\). De plus, les deux méthodes sont acceptées, pourvu que chaque étape soit annoncée.
Corrigé de l’exercice 3 : triangle rectangle et triangle équilatéral (suite)
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Bien réviser avec le corrigé corrigé référence 2027
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne la médiane et les statistiques, range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant, puis repère la position du milieu de la série. Quant au théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Dans les questions sur le théorème de Thalès, écris les points alignés dans le même ordre, puis vérifie que les droites sont bien parallèles avant de poser les rapports. Au besoin, la définition de la notion de médiane sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé référence 2027 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé référence 2027
Faut-il lire le corrigé corrigé référence 2027 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2027. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur la médiane et les statistiques, le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et les fractions. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé référence 2027
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
Les autres corrigés du brevet 2027
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