Nombres premiers entre eux
En bref : Deux entiers sont des nombres premiers entre eux quand 1 est leur seul diviseur commun, c’est-à-dire quand leur PGCD vaut 1, même si ni l’un ni l’autre n’est premier.
3èmeNombres et calculs
Définition : Nombres premiers entre eux
Ce sont des nombres premiers entre eux lorsque aucun entier supérieur à 1 ne les divise tous les deux. Leur seul diviseur commun est 1, ce qui revient à dire que leur PGCD est égal à 1.
Cette qualité concerne un couple, pas un nombre isolé. Ainsi 18 et 35 sont premiers entre eux, alors que ni l’un ni l’autre n’est un nombre premier. À l’inverse, 18 et 24 ne le sont pas : ils sont tous deux divisibles par 6. Cette notion explique pourquoi une fraction est irréductible : son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de « montrer que deux nombres sont premiers entre eux » ou de calculer leur PGCD.
- Une fraction doit être déclarée irréductible, et l’on cherche à le justifier proprement.
- On prépare un partage où chaque groupe doit être le plus petit possible.
- Les décompositions en facteurs premiers de deux nombres ne présentent aucun facteur commun.
La méthode
- Décomposer chacun des deux nombres en produit de facteurs premiers.
- Comparer les deux listes de facteurs : y a-t-il un nombre premier présent dans les deux ?
- Si aucun facteur n’est commun, conclure qu’il s’agit de nombres premiers entre eux ; sinon, calculer le PGCD pour le prouver.
- Vérifier avec l’algorithme d’Euclide si les nombres sont grands : le dernier reste non nul doit valoir 1.
Nombres premiers entre eux : exemple corrigé
Énoncé
Les nombres 84 et 55 sont-ils premiers entre eux ? Et les nombres 84 et 90 ?
Corrigé
On a \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(55 = 5 \times 11\). Aucun facteur premier n’est commun : 84 et 55 sont premiers entre eux.
Pour 90 : \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\). Les facteurs 2 et 3 sont communs, donc le PGCD vaut \(2 \times 3 = 6\), différent de 1.
Conclusion : 84 et 55 le sont, 84 et 90 ne le sont pas.
À toi de jouer
Question 1
Les nombres 21 et 22 font-ils partie des nombres premiers entre eux ?
Voir la réponse
Oui : \(21 = 3 \times 7\) et \(22 = 2 \times 11\) n’ont aucun facteur premier commun. Deux entiers consécutifs le sont toujours.
Question 2
Deux nombres pairs peuvent-ils être premiers entre eux ?
Voir la réponse
Non : tous deux sont divisibles par 2, qui est donc un diviseur commun autre que 1.
Ne pas confondre Nombres premiers entre eux et Nombre premier
Un nombre premier est un nombre pris seul : ses diviseurs sont 1 et lui-même. Deux nombres sont premiers entre eux quand ils n’ont aucun diviseur en commun hormis 1, qu’ils soient premiers ou non. Le couple 9 et 25 en est la preuve : ni 9 ni 25 ne sont premiers, pourtant ils sont premiers entre eux.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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