Fraction irréductible
En bref : Une fraction irréductible est écrite au plus simple : en divisant le haut et le bas par un même entier, on ne peut jamais rendre l’écriture plus courte, sauf en divisant par 1.
3èmeNombres et calculs
Définition : Fraction irréductible
Une fraction irréductible est écrite sous sa forme la plus simple : aucun entier supérieur à 1 ne divise à la fois le haut et le bas. On dit alors que les deux nombres sont premiers entre eux, comme dans \(\frac{2}{3}\) ou \(\frac{21}{22}\).
Toute fraction a une unique écriture irréductible. Pour l’obtenir, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, en une fois, ou par des diviseurs communs successifs. La valeur du nombre ne change pas : \(\frac{252}{378}\) et \(\frac{2}{3}\) sont le même nombre.
Comment le reconnaître
- La consigne dit « donner le résultat sous forme irréductible » ou « simplifier au maximum ».
- Un calcul de fractions se termine par un résultat à gros numérateur et gros dénominateur, tous deux pairs ou multiples de 5.
- On compare des proportions et l’on veut les écrire de la façon la plus lisible.
- Le PGCD de deux nombres vient d’être calculé et l’on doit s’en servir.
La méthode
- Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur : 2, 3, 5, 7… selon les critères de divisibilité.
- Diviser les deux nombres par ce diviseur ; recommencer tant qu’un diviseur commun existe.
- Ou bien calculer le PGCD des deux nombres et diviser une seule fois par lui.
- S’arrêter quand le PGCD du haut et du bas est 1, puis noter la fraction obtenue.
Fraction irréductible : exemple corrigé
Énoncé
Rendre irréductible la fraction \(\frac{252}{378}\).
Corrigé
On décompose : \(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\) et \(378 = 2 \times 3^3 \times 7\). Le PGCD prend les facteurs communs avec le plus petit exposant : \(2 \times 3^2 \times 7 = 126\).
On divise le haut et le bas par \(126\) : \(252 \div 126 = 2\) et \(378 \div 126 = 3\).
La fraction irréductible est \(\frac{2}{3}\).
À toi de jouer
Question 1
Rendre irréductible \(\frac{18}{45}\).
Voir la réponse
Le PGCD de 18 et 45 est 9. Donc \(\frac{18}{45} = \frac{2}{5}\).
Question 2
La fraction \(\frac{21}{22}\) est-elle irréductible ?
Voir la réponse
Oui : \(21 = 3 \times 7\) et \(22 = 2 \times 11\) n’ont aucun facteur premier commun.
Ne pas confondre Fraction irréductible et Nombres premiers entre eux
La condition d’irréductibilité porte sur le couple : les deux nombres doivent être premiers entre eux. Il ne faut pas exiger qu’ils soient eux-mêmes des nombres premiers : \(\frac{8}{15}\) est irréductible, alors que ni 8 ni 15 ne sont premiers. La seule condition est que leur PGCD soit 1.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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