Épreuve de Bernoulli
En bref : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à exactement deux issues, appelées succès et échec, de probabilités p et 1 – p ; elle sert de brique de base à la loi binomiale.
TerminaleProbabilités
Définition : Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli se résume à une question dont la réponse est oui ou non : la pièce est-elle bonne, le tir est-il réussi, le client a-t-il acheté ?
On appelle succès l’issue qui nous intéresse, de probabilité \(p\), et échec l’autre, de probabilité \(1-p\). La variable aléatoire \(X\) qui vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(E(X)=p\) et \(V(X)=p(1-p)\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé ne retient que deux cas : « réussi ou raté », « défectueux ou conforme », « face ou pas face ».
- Une probabilité de succès \(p\) est donnée ou se déduit d’un comptage de cas favorables.
- On répète ensuite plusieurs fois la même expérience, ce qui conduit au schéma de Bernoulli.
- Les résultats sont codés par \(1\) et \(0\) dans une variable aléatoire.
La méthode
- Définir clairement le succès, y compris dans une expérience qui possède plus de deux issues.
- Calculer \(p\) comme probabilité du succès, puis en déduire \(1-p\) pour l’échec.
- Écrire la loi : \(P(X=1)=p\) et \(P(X=0)=1-p\).
- Calculer au besoin \(E(X)=p\) et \(V(X)=p(1-p)\).
Épreuve de Bernoulli : exemple corrigé
Énoncé
On lance un dé à douze faces bien équilibré. Le succès est « obtenir un multiple de \(3\) ». Justifier qu’il s’agit d’une épreuve de Bernoulli et donner l’espérance et la variance de la variable \(X\) associée.
Corrigé
L’expérience a deux cas : multiple de \(3\) (faces \(3\), \(6\), \(9\), \(12\)) ou non. Donc \(p=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) et l’échec a pour probabilité \(\frac{2}{3}\).
Alors \(E(X)=\frac{1}{3}\) et \(V(X)=\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\).
À toi de jouer
Question 1
Un lot de pièces est conforme avec la probabilité \(0{,}85\). Quelle est la probabilité de l’échec « non conforme » ?
Voir la réponse
\(1-0{,}85=0{,}15\).
Question 2
Le lancer d’un dé classique, avec les six résultats distincts, est-il une épreuve de Bernoulli ?
Voir la réponse
Pas telle quelle : il a six issues. Elle le devient si l’on regroupe : succès « obtenir un nombre pair », \(p=\frac{1}{2}\).
Ne pas confondre Épreuve de Bernoulli et Schéma de Bernoulli
L’épreuve est un seul essai à deux issues. Le schéma de Bernoulli en est la répétition : \(n\) épreuves identiques et indépendantes. Compter les succès sur ces \(n\) essais conduit à la loi binomiale.
Pour aller plus loin
Cours
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