Espérance
En bref : L’espérance d’une variable aléatoire est la valeur moyenne que l’on obtient en répétant l’expérience un très grand nombre de fois ; on la calcule en additionnant chaque valeur multipliée par sa probabilité.
PremièreProbabilités
Définition : Espérance
L’espérance d’une variable aléatoire \(X\) qui prend les valeurs \(x_1\), \(x_2\) et ainsi de suite jusqu’à \(x_n\), avec les probabilités \(p_1\), \(p_2\), jusqu’à \(p_n\), est le nombre \(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\text{etc.}+x_np_n\). C’est une moyenne pondérée : chaque valeur compte autant que sa probabilité.
Elle ne désigne pas forcément une valeur que \(X\) peut prendre. Elle représente plutôt le résultat moyen sur un grand nombre de répétitions, par la loi des grands nombres. Pour un jeu d’argent, une espérance de gain négative signifie qu’à long terme le joueur perd, une positive qu’il gagne, et nulle que le jeu est équitable.
Comment le reconnaître
- L’énoncé décrit un jeu avec des gains possibles et leurs probabilités, et demande le gain moyen.
- Une loi de probabilité est donnée dans un tableau et l’on veut résumer la variable par un seul nombre.
- La question est de savoir si un jeu est favorable, défavorable ou équitable pour le joueur.
- On cherche la valeur moyenne attendue d’un nombre de succès, d’un coût ou d’un gain.
La méthode
- Dresser la loi de probabilité de la variable : valeurs possibles et probabilités, de somme égale à \(1\).
- Multiplier chaque valeur par sa probabilité, en conservant les signes si certaines valeurs sont des pertes.
- Additionner tous les produits : le total est l’espérance.
- Interpréter le résultat avec l’unité du problème, sans confondre moyenne attendue et résultat d’une partie.
Espérance : exemple corrigé
Énoncé
Pour jouer à une loterie de kermesse, on paie \(3\) euros. Une roue donne \(0\) euro avec la probabilité \(0{,}5\), \(4\) euros avec \(0{,}3\) et \(10\) euros avec \(0{,}2\). Soit \(X\) le gain net, mise déduite. Calculer \(E(X)\) et conclure.
Corrigé
Le gain net vaut \(0-3=-3\), \(4-3=1\) ou \(10-3=7\) euros. Donc \(E(X)=-3\times 0{,}5+1\times 0{,}3+7\times 0{,}2=-1{,}5+0{,}3+1{,}4=\) \(0{,}2\) euro.
Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne \(0{,}2\) euro par partie : sur \(500\) parties, environ \(100\) euros. L’espérance est positive, le jeu est favorable au joueur.
À toi de jouer
Question 1
Une variable \(X\) vaut \(1\), \(2\) ou \(3\) avec les probabilités \(0{,}2\), \(0{,}5\) et \(0{,}3\). Calculer \(E(X)\).
Voir la réponse
\(E(X)=1\times 0{,}2+2\times 0{,}5+3\times 0{,}3=0{,}2+1+0{,}9=2{,}1\).
Question 2
Un jeu a une espérance de gain de \(-0{,}5\) euro par partie. Quelle perte moyenne sur \(100\) parties ?
Voir la réponse
\(100\times 0{,}5=50\) euros en moyenne : le jeu est défavorable au joueur.
Ne pas confondre Espérance et Moyenne
La moyenne se calcule sur des données observées, par exemple les notes d’une classe. L’espérance se calcule sur une loi de probabilité, avant toute expérience : c’est la moyenne théorique vers laquelle tendent les moyennes observées quand on répète l’expérience de plus en plus de fois.
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Cours
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