Loi de probabilité
En bref : Une loi de probabilité associe à chaque valeur possible d’une variable aléatoire sa probabilité ; elle se présente en tableau, et la somme de toutes les probabilités vaut 1.
PremièreProbabilités
Définition : Loi de probabilité
La loi de probabilité d’une variable aléatoire \(X\) décrit complètement son comportement : elle liste chaque valeur \(x_i\) que \(X\) peut prendre et la probabilité \(p_i=P(X=x_i)\) correspondante. On la présente presque toujours dans un tableau à deux lignes.
Deux conditions la caractérisent : chaque \(p_i\) est compris entre \(0\) et \(1\), et leur somme vaut exactement \(1\), car l’une des valeurs se produit forcément. Une fois la loi connue, on peut calculer toute probabilité du type \(P(X\ge 2)\) en additionnant les cases concernées, ainsi que l’espérance et la variance.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne ou demande un tableau de valeurs et de probabilités pour une variable aléatoire.
- Une probabilité du tableau est inconnue et doit se déduire des autres.
- On cherche une probabilité de type « au moins », « au plus » ou « entre » pour un résultat numérique.
- On veut résumer un jeu de hasard avant de calculer un gain moyen.
La méthode
- Lister toutes les valeurs possibles de la variable, sans en oublier.
- Attribuer à chacune sa probabilité, par dénombrement ou à partir des données de l’énoncé.
- Vérifier que la somme des probabilités vaut \(1\) ; si une case est inconnue, la calculer par différence.
- Pour une probabilité d’ensemble, ajouter les probabilités des valeurs qui réalisent la condition.
Loi de probabilité : exemple corrigé
Énoncé
La variable \(X\) prend les valeurs \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\) avec les probabilités \(0{,}15\), \(0{,}4\), \(a\) et \(0{,}1\). Déterminer \(a\), puis \(P(X\ge 2)\) et \(E(X)\).
Corrigé
La somme des probabilités vaut \(1\) : \(0{,}15+0{,}4+a+0{,}1=1\), donc \(a=1-0{,}65=\) \(0{,}35\).
Ensuite \(P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}35+0{,}1=\) \(0{,}45\). Enfin \(E(X)=0\times 0{,}15+1\times 0{,}4+2\times 0{,}35+3\times 0{,}1=0+0{,}4+0{,}7+0{,}3=\) \(1{,}4\).
À toi de jouer
Question 1
Une variable prend les valeurs \(-1\), \(0\) et \(1\) avec les probabilités \(0{,}2\), \(a\) et \(3a\). Trouver \(a\).
Voir la réponse
\(0{,}2+a+3a=1\) donne \(4a=0{,}8\), donc \(a=0{,}2\) ; les probabilités sont \(0{,}2\), \(0{,}2\) et \(0{,}6\).
Question 2
Le tableau \(1\ ;2\ ;3\) avec les probabilités \(0{,}5\ ;0{,}4\ ;0{,}3\) est-il une loi de probabilité ?
Voir la réponse
Non : la somme vaut \(1{,}2\), supérieure à \(1\).
Ne pas confondre Loi de probabilité et Fréquence
Une fréquence provient d’observations réelles : elle dit ce qui s’est passé dans une série de lancers. Une loi de probabilité est un modèle théorique, posé avant toute expérience, qui dit ce qui devrait se passer. Plus on répète l’expérience, plus les fréquences observées se rapprochent des probabilités de la loi.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Première · Probabilités
