Schéma de Bernoulli
En bref : Un schéma de Bernoulli enchaîne n essais à deux issues menés dans des conditions identiques, sans influence mutuelle ; avoir exactement k succès a pour probabilité C(n,k) p^k (1-p)^(n-k).
TerminaleProbabilités
Définition : Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) consiste à répéter \(n\) fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \(p\). Les répétitions n’influencent pas les unes les autres.
Chaque issue est une liste de succès et d’échecs, par exemple SSESS. Sa probabilité est le produit \(p^k(1-p)^{n-k}\) où \(k\) est son nombre de succès. Il y a \(\binom{n}{k}\) listes avec exactement \(k\) succès.
Comment le reconnaître
- Un même geste est répété plusieurs fois : tirs, lancers, tirages avec remise, contrôles de pièces.
- Les essais sont indépendants : le résultat de l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
- La probabilité de succès reste constante d’un essai à l’autre.
- On cherche la probabilité d’avoir « exactement », « au moins » ou « au plus » un certain nombre de succès.
La méthode
- Vérifier les trois conditions : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
- Fixer \(n\), \(p\) et définir le nombre de succès \(k\) demandé.
- Calculer la probabilité d’une liste type, \(p^k(1-p)^{n-k}\).
- Multiplier par le nombre de listes, \(\binom{n}{k}\), et additionner les cas pour un « au moins ».
Schéma de Bernoulli : exemple corrigé
Énoncé
Une biathlète touche sa cible avec la probabilité \(0{,}8\), indépendamment d’un tir à l’autre. Elle tire \(5\) fois. Quelle est la probabilité qu’elle touche exactement \(4\) cibles ?
Corrigé
C’est un schéma de Bernoulli avec \(n=5\) et \(p=0{,}8\). Une liste à \(4\) succès et \(1\) échec a pour probabilité \(0{,}8^4\times 0{,}2=0{,}4096\times 0{,}2=0{,}08192\).
Il y a \(\binom{5}{4}=5\) listes de ce type : la probabilité est \(5\times 0{,}08192=0{,}4096\).
À toi de jouer
Question 1
On lance \(3\) fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir exactement \(2\) fois « pile » ?
Voir la réponse
\(\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}=0{,}375\).
Question 2
On tire \(2\) cartes d’un paquet sans remise. Est-ce un schéma de Bernoulli ?
Voir la réponse
Non : sans remise, la probabilité de succès change au second tirage, les épreuves ne sont pas indépendantes.
Ne pas confondre Schéma de Bernoulli et Loi binomiale
Le schéma décrit l’expérience : la suite de \(n\) épreuves, avec ses listes de succès et d’échecs. La loi binomiale décrit la variable qui compte les succès dans ce schéma, c’est-à-dire la distribution des valeurs de \(0\) à \(n\).
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