Arbre pondéré
En bref : Un arbre pondéré schématise une expérience aléatoire à plusieurs étapes : ses branches portent des probabilités, qu’on multiplie le long de chaque chemin avant d’additionner les chemins convenant à l’événement voulu.
3èmeProbabilités
Définition : Arbre pondéré
Un arbre pondéré schématise les étapes successives d’une expérience aléatoire. Chaque branche reçoit la probabilité de l’issue qu’elle figure ; en partant d’un même point, les branches totalisent \(1\).
Pour obtenir la probabilité d’un chemin complet, on multiplie les probabilités de ses branches. Si un événement est atteint par plusieurs chemins, on additionne leurs probabilités. Cette présentation évite d’oublier des cas : toutes les feuilles de l’arbre ont pour total \(1\).
Comment le reconnaître
- Une expérience se répète deux fois ou plus, comme deux lancers ou deux tirages avec remise.
- L’énoncé demande la probabilité d’un événement qui dépend de l’enchaînement de plusieurs résultats.
- On hésite à ne pas oublier un cas ou à ne pas en compter deux fois.
- Les probabilités de départ sont données, par exemple 0,3 de gagner et 0,7 de perdre.
La méthode
- Pour construire l’arbre pondéré, dessiner une branche par issue de la première étape, puis de la seconde à partir de chaque nœud.
- Écrire sur chaque branche sa probabilité et contrôler que celles d’un même nœud valent \(1\) au total.
- Multiplier les probabilités le long de chaque chemin pour obtenir celle de l’issue complète.
- Additionner les chemins qui conviennent à l’événement cherché.
Arbre pondéré : exemple corrigé
Énoncé
À une kermesse de Rouen, une roue offre une probabilité de \(0{,}3\) de gagner à chaque partie. Camille joue deux parties indépendantes. Quelle est la probabilité de gagner exactement une fois ?
Corrigé
Dans l’arbre, deux chemins donnent exactement un gain : gagner puis perdre, \(0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21\) ; perdre puis gagner, \(0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}21\).
On additionne les deux chemins : \(0{,}21 + 0{,}21 = 0{,}42\). La probabilité de gagner exactement une fois est de 0,42. Contrôle : \(0{,}09 + 0{,}42 + 0{,}49 = 1\).
À toi de jouer
Question 1
Il pleut avec une probabilité de \(0{,}2\) chaque jour, indépendamment des autres. Quelle est la probabilité qu’il ne pleuve pas deux jours de suite ?
Voir la réponse
\(0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64\).
Question 2
Une branche porte la probabilité \(0{,}35\). Quelle est la probabilité de l’autre branche issue du même nœud, s’il n’y en a que deux ?
Voir la réponse
\(1 – 0{,}35 = 0{,}65\).
Ne pas confondre Arbre pondéré et Probabilité
Une probabilité est un nombre entre \(0\) et \(1\) qui mesure les chances d’un événement. L’arbre est un outil de calcul qui organise plusieurs probabilités pour une expérience en plusieurs étapes. L’un est le résultat cherché, l’autre la façon de le calculer sans rien oublier.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Probabilités
