Corrigé du bac de maths 2021 : France, mars, sujet 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, France, mars, sujet 2) 5 points

Loi binomiale, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales

Partie I

1. Probabilité qu'aucune adresse ne soit illisible.

« Aucune adresse illisible » correspond à l'évènement \(X = 0\). De plus, pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(n~;~p)\), on a \(P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Ici :

\[P(X = 0) = \binom{9}{0} \times 0{,}03^0 \times 0{,}97^9 = 0{,}97^9 \approx 0{,}760.\]

Réponse d : \(P(X = 0) \approx 0{,}76\).

2. Probabilité d'avoir exactement deux adresses illisibles.

Ensuite, on cherche \(P(X = 2)\). Ensuite, il y a \(\binom{9}{2}\) façons de placer les deux adresses illisibles parmi les neuf ; chacune de ces deux adresses a la probabilité \(0{,}03\) d'être illisible et les 7 autres ont la probabilité \(0{,}97\) d'être lues. Donc \(P(X = 2) = \binom{9}{2} \times 0{,}97^7 \times 0{,}03^2\). Par ailleurs, les propositions a et b mettent l'exposant 2 sur le mauvais nombre, et \(\binom{7}{2}\) ne correspond pas au nombre total de répétitions.

Réponse c.

3. Probabilité qu'au moins une adresse soit illisible.

« Au moins une » s'écrit \(X \geqslant 1\) ; son contraire est « aucune », c'est-à-dire \(X = 0\). Ainsi \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)\) (environ \(0{,}24\)). Puis les autres propositions ne conviennent pas : \(P(X \lt 1) = P(X = 0)\), \(P(X \leqslant 1)\) inclut le cas « aucune », et \(P(X \geqslant 2)\) exclut le cas « une seule ».

Réponse d : \(1 - P(X = 0)\).

Partie II

Commençons par l'arbre pondéré. Au premier tirage, l'urne contient 8 boules dont 5 vertes. Au second tirage, il ne reste que 7 boules : 4 vertes et 3 blanches si la première était verte, 5 vertes et 2 blanches si elle était blanche.

• \(V_1\) avec probabilité \(\frac{5}{8}\), puis \(V_2\) avec probabilité \(\frac{4}{7}\) ou \(B_2\) avec probabilité \(\frac{3}{7}\) ;
• \(B_1\) avec probabilité \(\frac{3}{8}\), puis \(V_2\) avec probabilité \(\frac{5}{7}\) ou \(B_2\) avec probabilité \(\frac{2}{7}\).

4. Calculer \(P_{V_1}(V_2)\).

Sachant que la première boule est verte, il reste 4 vertes parmi 7 boules, et le tirage se fait au hasard : \(P_{V_1}(V_2) = \dfrac{4}{7}\). Attention, \(\dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7}\) est la probabilité de l'intersection \(V_1 \cap V_2\), pas la probabilité conditionnelle.

Réponse b : \(P_{V_1}(V_2) = \dfrac{4}{7}\).

5. Calculer \(P(V_2)\).

Les évènements \(V_1\) et \(B_1\) forment une partition de l'univers. Ensuite, la formule des probabilités totales donne :

\[P(V_2) = P(V_1)\,P_{V_1}(V_2) + P(B_1)\,P_{B_1}(V_2) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{20 + 15}{56} = \dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8}.\]

Par ailleurs, on remarque que la seconde boule a la même probabilité d'être verte que la première, ce qui est logique par symétrie. Puis la réponse d est d'ailleurs impossible, car \(\dfrac{9}{7} \gt 1\).

Réponse a : \(P(V_2) = \dfrac{5}{8}\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, France, mars, sujet 2) 6 points

Suites définies conjointement, récurrence, théorème des gendarmes, algorithme de seuil

1. a) Calculer \(u_1\) et \(v_1\).

Puis on applique les relations de récurrence avec \(n = 0\) : \(u_1 = u_0 + v_0 = 1 + 1 = 2\) et \(v_1 = 2u_0 + v_0 = 2 + 1 = 3\).

\(u_1 = 2\) et \(v_1 = 3\).

1. b) Montrer que \((v_n)\) est strictement croissante, puis que \(v_n \geqslant 1\).

Pour étudier le sens de variation, on calcule la différence de deux termes consécutifs : pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} - v_n = (2u_n + v_n) - v_n = 2u_n\).

Comme on a admis que la suite \((u_n)\) est strictement positive, \(2u_n \gt 0\), donc \(v_{n+1} \gt v_n\) pour tout \(n\) : la suite \((v_n)\) est strictement croissante.

Une suite croissante est minorée par son premier terme : pour tout \(n\), \(v_n \geqslant v_0 = 1\).

\((v_n)\) est strictement croissante et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(v_n \geqslant 1\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, France, mars, sujet 2) 6 (suite)

1. c) Démontrer par récurrence que \(u_n \geqslant n + 1\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \geqslant n + 1\) ».

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(u_0 = 1\) et \(0 + 1 = 1\), donc \(u_0 \geqslant 0 + 1\). De plus, la propriété \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie, c'est-à-dire \(u_n \geqslant n + 1\). D'après la question précédente, on sait aussi que \(v_n \geqslant 1\). Ensuite, en additionnant ces deux inégalités membre à membre : \(u_n + v_n \geqslant n + 1 + 1\), c'est-à-dire \(u_{n+1} \geqslant (n + 1) + 1\). Par ailleurs, la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geqslant n + 1\).

Question 1 d

1. d) Limite de \((u_n)\).

Ainsi, on a \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n + 1) = +\infty\) et, pour tout \(n\), \(u_n \geqslant n + 1\). D'après le théorème de comparaison (une suite minorée par une suite qui tend vers \(+\infty\) tend elle aussi vers \(+\infty\)) :

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

2. a) Encadrer \(\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\).

Selon la parité de \(n\), le nombre \((-1)^{n+1}\) vaut \(1\) ou \(-1\) ; dans tous les cas \(-1 \leqslant (-1)^{n+1} \leqslant 1\).

La suite \((u_n)\) étant strictement positive, \(u_n^2 \gt 0\). Diviser une inégalité par un nombre strictement positif ne change pas son sens, d'où :

\(-\dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

2. b) En déduire la limite de \(\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\).

Puisque \(u_n\) tend vers \(+\infty\), \(u_n^2\) tend aussi vers \(+\infty\), donc \(\dfrac{1}{u_n^2}\) tend vers 0, et \(-\dfrac{1}{u_n^2}\) également. Puis la suite étudiée est encadrée par deux suites qui ont la même limite 0 : le théorème des gendarmes permet de conclure.

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} = 0\).

2. c) Limite de \((r_n^2)\), puis convergence de \((r_n)\) vers \(\sqrt{2}\).

Par somme de limites, \(r_n^2 = 2 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\) tend vers \(2 + 0 = 2\).

Les termes \(u_n\) et \(v_n\) étant strictement positifs, \(r_n = \dfrac{v_n}{u_n} \gt 0\), donc \(r_n = \sqrt{r_n^2}\). Ensuite, la fonction racine carrée est continue en 2, donc \(\sqrt{r_n^2}\) tend vers \(\sqrt{2}\).

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} r_n^2 = 2\) et \((r_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\).

Question 2 d

2. d) Montrer que \(r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}\).

Ensuite, on part de la définition, puis on divise le numérateur et le dénominateur par \(u_n\), qui est non nul :

\[r_{n+1} = \dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} = \dfrac{2u_n + v_n}{u_n + v_n} = \dfrac{\dfrac{2u_n + v_n}{u_n}}{\dfrac{u_n + v_n}{u_n}} = \dfrac{2 + \dfrac{v_n}{u_n}}{1 + \dfrac{v_n}{u_n}}.\]

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}\).

2. e) Interpréter la valeur 5 renvoyée par le programme.

Au départ, la variable r vaut \(1 = \dfrac{v_0}{u_0} = r_0\) et n vaut 0. À chaque passage dans la boucle, r est remplacé par \(\dfrac{2 + r}{1 + r}\), donc d'après la question précédente r contient \(r_n\) quand le compteur vaut n. Puis la boucle continue tant que l'écart \(\left|r_n - \sqrt{2}\right|\) dépasse \(10^{-4}\), et s'arrête dès qu'il devient inférieur ou égal à \(10^{-4}\).

Par ailleurs, on peut le vérifier : \(r_1 = 1{,}5\), \(r_2 = 1{,}4\), \(r_3 = \frac{17}{12} \approx 1{,}41667\), \(r_4 = \frac{41}{29} \approx 1{,}41379\) (écart environ \(4{,}2 \times 10^{-4}\)) et \(r_5 = \frac{99}{70} \approx 1{,}414286\) (écart environ \(7{,}2 \times 10^{-5}\)).

5 est le plus petit entier \(n\) tel que \(\left|r_n - \sqrt{2}\right| \leqslant 10^{-4}\) : \(r_5 = \frac{99}{70}\) est la première valeur approchée de \(\sqrt{2}\) à \(10^{-4}\) près de la suite.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, France, mars, sujet 2) 4 points

Vecteur normal, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance, volume d'une pyramide

1. a) Montrer que \(\overrightarrow{n}(3~;~2~;~6)\) est normal au plan (ABC).

Un vecteur est normal à un plan dès qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Ensuite, on calcule \(\overrightarrow{AB}(-2~;~3~;~0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-2~;~0~;~1)\), qui ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de l'un est nulle, pas celle de l'autre).

\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 3 \times (-2) + 2 \times 3 + 6 \times 0 = 0 \quad \text{et} \quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times (-2) + 2 \times 0 + 6 \times 1 = 0.\]

\(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\) : c'est un vecteur normal au plan (ABC).

1. b) Équation cartésienne de (ABC).

Puisque \(\overrightarrow{n}(3~;~2~;~6)\) est normal au plan, celui-ci admet une équation de la forme \(3x + 2y + 6z + d = 0\). De plus, le point A\((2~;~0~;~0)\) appartient au plan : \(3 \times 2 + 0 + 0 + d = 0\), d'où \(d = -6\). Par ailleurs, on peut contrôler avec B : \(0 + 6 + 0 - 6 = 0\), et avec C : \(0 + 0 + 6 - 6 = 0\).

(ABC) : \(3x + 2y + 6z - 6 = 0\).

2. a) Représentation paramétrique de \(d\).

La droite \(d\) est orthogonale au plan (ABC), donc le vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) en est un vecteur directeur ; elle passe par l'origine O\((0~;~0~;~0)\).

\(d : \left\{\begin{array}{l} x = 3t\\ y = 2t\\ z = 6t \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\).

Question 2 b

2. b) Point d'intersection H de \(d\) et de (ABC).

Un point de \(d\), de paramètre \(t\), est dans le plan si ses coordonnées vérifient l'équation du plan : \(3(3t) + 2(2t) + 6(6t) - 6 = 0\), soit \(49t = 6\), donc \(t = \dfrac{6}{49}\). Ensuite, en remplaçant : \(x = \dfrac{18}{49}\), \(y = \dfrac{12}{49}\), \(z = \dfrac{36}{49}\).

La droite \(d\) coupe (ABC) en H\(\left(\frac{18}{49}~;~\frac{12}{49}~;~\frac{36}{49}\right)\).

2. c) Distance OH.

Ensuite, on remarque que \(\overrightarrow{OH} = \dfrac{6}{49}\overrightarrow{n}\), donc \(\text{OH} = \dfrac{6}{49}\left\|\overrightarrow{n}\right\|\). Or \(\left\|\overrightarrow{n}\right\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7\).

\[\text{OH} = \dfrac{6}{49} \times 7 = \dfrac{6}{7}.\]

Le calcul direct donne le même résultat : \(\text{OH}^2 = \dfrac{18^2 + 12^2 + 36^2}{49^2} = \dfrac{1764}{2401} = \dfrac{36}{49}\).

\(\text{OH} = \dfrac{6}{7}\) unité de longueur.

3. Aire du triangle ABC par deux calculs du volume de OABC.

Premier calcul. Les points A, B et C sont sur les trois axes du repère orthonormé, donc les droites (OA), (OB) et (OC) sont deux à deux perpendiculaires. Prenons pour base le triangle OAB, rectangle en O, d'aire \(\dfrac{\text{OA} \times \text{OB}}{2} = \dfrac{2 \times 3}{2} = 3\). Par ailleurs, la hauteur associée est OC \(= 1\), car (OC) est orthogonale au plan (OAB). Ainsi \(V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 1 = 1\).

Question 2 b (suite)

Second calcul. Prenons maintenant pour base le triangle ABC. H est le pied de la perpendiculaire à (ABC) passant par O, donc la hauteur associée est OH \(= \dfrac{6}{7}\). Puis en notant \(\mathcal{A}\) l'aire de ABC : \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A} \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{2\mathcal{A}}{7}\).

En égalant les deux expressions du volume : \(\dfrac{2\mathcal{A}}{7} = 1\), donc \(\mathcal{A} = \dfrac{7}{2}\).

L'aire du triangle ABC vaut \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) unités d'aire.

Corrigé de l’exercice A (bac 2021, France, mars, sujet 2) 5 points

Fonction exponentielle, position relative de deux courbes, dérivée d'un produit, théorème des valeurs intermédiaires

1. a) Points d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

Les abscisses cherchées sont les solutions de \(f(x) = g(x)\) :

\[x^2\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x} \iff \left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x} = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x = -1 \ \text{ou} \ x = 1,\]

car une exponentielle n'est jamais nulle. Ensuite, les ordonnées s'obtiennent avec \(g\) : \(g(-1) = \text{e}^{1} = \text{e}\) et \(g(1) = \text{e}^{-1}\).

Les courbes se coupent aux points \((-1~;~\text{e})\) et \(\left(1~;~\text{e}^{-1}\right)\).

1. b) Position relative de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

Ensuite, on étudie le signe de la différence \(f(x) - g(x) = \left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x}\). Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), ce signe est celui du trinôme \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), positif à l'extérieur de ses racines \(-1\) et \(1\), négatif entre elles.

\(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \(]-\infty~;~-1[\) et sur \(]1~;~+\infty[\), en dessous sur \(]-1~;~1[\) ; elles se coupent en \(x = -1\) et \(x = 1\).

2. a) Calculer \(d'(x)\).

Alors, on dérive \(d(x) = \text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x}\). Puis la dérivée de \(\text{e}^{-x}\) est \(-\text{e}^{-x}\) ; pour le produit \(x^2\text{e}^{-x}\), on utilise \((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \text{e}^{-x}\), ce qui donne \(2x\text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x}\). Donc :

\[d'(x) = -\text{e}^{-x} - 2x\text{e}^{-x} + x^2\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2x - 1\right).\]

\(d'(x) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2x - 1\right)\) sur \([-1~;~1]\).

Question 2 b

2. b) Variations de \(d\) sur \([-1~;~1]\).

Le signe de \(d'(x)\) est celui de \(x^2 - 2x - 1\), car \(\text{e}^{-x} \gt 0\). De plus, ce trinôme a pour discriminant \(\Delta = 4 + 4 = 8\) et pour racines \(x_1 = \dfrac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}41\) et \(x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\). Seule \(1 - \sqrt{2}\) appartient à \([-1~;~1]\). Ensuite, le coefficient de \(x^2\) étant positif, le trinôme est positif avant \(1 - \sqrt{2}\) et négatif entre les racines.

Valeurs aux bornes : \(d(-1) = \text{e} - \text{e} = 0\) et \(d(1) = \text{e}^{-1} - \text{e}^{-1} = 0\).

\(d\) est croissante sur \(\left[-1~;~1 - \sqrt{2}\right]\) et décroissante sur \(\left[1 - \sqrt{2}~;~1\right]\).

2. c) Abscisse \(x_0\) donnant la distance maximale et valeur approchée de \(M_0N_0\).

D'après le tableau, \(d\) atteint son maximum sur \([-1~;~1]\) en \(x_0 = 1 - \sqrt{2}\). Par ailleurs, calculons ce maximum en factorisant \(d(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{-x}\). Donc on a \(x_0^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}\), donc \(1 - x_0^2 = 2\sqrt{2} - 2\), et \(-x_0 = \sqrt{2} - 1\).

Question 2 b (suite)

\[M_0N_0 = d\left(x_0\right) = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\sqrt{2} - 1} \approx 1{,}25.\]

\(x_0 = 1 - \sqrt{2}\) et \(M_0N_0 \approx 1{,}3\) à \(0{,}1\) près.

3. Nombre de points d'intersection de \(\Delta\) et de \(\mathcal{C}_g\).

Un point d'abscisse \(x\) est commun à \(\Delta\) et à \(\mathcal{C}_g\) si et seulement si \(\text{e}^{-x} = x + 2\), c'est-à-dire \(h(x) = 0\). Puis il suffit donc de compter les solutions de cette équation.

Sens de variation. \(h'(x) = -\text{e}^{-x} - 1\). Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), on a \(h'(x) \lt -1 \lt 0\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Limites. En \(-\infty\) : \(\text{e}^{-x} \to +\infty\) et \(-x - 2 \to +\infty\), donc \(h(x) \to +\infty\). Ensuite, en \(+\infty\) : \(\text{e}^{-x} \to 0\) et \(-x - 2 \to -\infty\), donc \(h(x) \to -\infty\).

Conclusion. La fonction \(h\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\), de \(+\infty\) à \(-\infty\). Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution. Ensuite, on peut la situer : \(h(-1) = \text{e} - 1 \gt 0\) et \(h(0) = -1 \lt 0\), donc elle est entre \(-1\) et 0 (la calculatrice donne environ \(-0{,}44\)).

La droite \(\Delta\) et la courbe \(\mathcal{C}_g\) ont un seul point d'intersection, d'abscisse comprise entre \(-1\) et 0.

Corrigé de l’exercice B (bac 2021, France, mars, sujet 2) 5 points

Fonction logarithme, fonction auxiliaire, dérivée d'un produit, lien entre une fonction et sa dérivée

Partie I : fonction auxiliaire

1. Limites de \(g\) en \(+\infty\) et en 0.

En \(+\infty\) : \(\ln(x) \to +\infty\) et \(2x - 2 \to +\infty\), donc par somme \(g(x) \to +\infty\).

En 0 (à droite) : \(\ln(x) \to -\infty\) et \(2x - 2 \to -2\), donc par somme \(g(x) \to -\infty\).

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = -\infty\).

2. Sens de variation de \(g\).

\(g\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) et \(g'(x) = \dfrac{1}{x} + 2\). Sur cet intervalle, \(\dfrac{1}{x} \gt 0\), donc \(g'(x) \gt 0\).

\(g\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\).

3. Unicité de la solution \(\alpha\) de \(g(x) = 0\).

La fonction \(g\) est continue et strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), avec pour limites \(-\infty\) en 0 et \(+\infty\) en \(+\infty\). Puis le nombre 0 est compris entre ces deux limites, donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il possède exactement un antécédent par \(g\).

L'équation \(g(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\) dans \(]0~;~+\infty[\).

4. Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g\).

\(g(1) = \ln(1) + 2 - 2 = 0\). De plus, la solution étant unique, \(\alpha = 1\). Comme \(g\) est strictement croissante : si \(0 \lt x \lt 1\), alors \(g(x) \lt g(1) = 0\) ; si \(x \gt 1\), alors \(g(x) \gt 0\).

\(g(1) = 0\) ; \(g\) est strictement négative sur \(]0~;~1[\), nulle en 1, strictement positive sur \(]1~;~+\infty[\).

Partie II : étude de \(f\)

1. a) Montrer que \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\).

Par ailleurs, on écrit \(f = uv\) avec \(u(x) = 2 - \dfrac{1}{x}\) et \(v(x) = \ln(x) - 1\). Alors \(u'(x) = \dfrac{1}{x^2}\) et \(v'(x) = \dfrac{1}{x}\). D'où :

\[f'(x) = \dfrac{1}{x^2}\left(\ln(x) - 1\right) + \left(2 - \dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln(x) - 1}{x^2} + \dfrac{2x - 1}{x^2} = \dfrac{\ln(x) + 2x - 2}{x^2}.\]

Pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\).

1. b) Tableau de variation de \(f\).

Comme \(x^2 \gt 0\), \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\), étudié à la partie I. Puis on calcule \(f(1) = (2 - 1)(0 - 1) = -1\).

\(f\) est décroissante sur \(]0~;~1]\), croissante sur \([1~;~+\infty[\), avec un minimum égal à \(-1\) en \(x = 1\).

2. Résoudre \(f(x) = 0\) et dresser le tableau de signes de \(f\).

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

Partie II : étude de (suite)

• \(2 - \dfrac{1}{x} = 0 \iff \dfrac{1}{x} = 2 \iff x = \dfrac{1}{2}\) ;
• \(\ln(x) - 1 = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff x = \text{e}\).

Pour le signe, on étudie chaque facteur. Sur \(]0~;~+\infty[\), \(2 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x - 1}{x}\) a le signe de \(2x - 1\) : négatif avant \(\frac{1}{2}\), positif après. Ensuite, la fonction \(\ln\) étant strictement croissante, \(\ln(x) - 1\) est négatif avant \(\text{e}\), positif après.

Ce résultat est cohérent avec la question précédente : \(f\) décroît jusqu'à \(-1\) en passant par 0 en \(\frac{1}{2}\), puis croît en repassant par 0 en \(\text{e}\).

Solutions de \(f(x) = 0\) : \(\frac{1}{2}\) et \(\text{e}\) ; \(f\) est positive sur \(\left]0~;~\frac{1}{2}\right]\) et sur \([\text{e}~;~+\infty[\), négative sur \(\left[\frac{1}{2}~;~\text{e}\right]\).

Partie III : étude de \(F\)

1. Variations de \(F\).

Les variations d'une fonction dérivable se lisent sur le signe de sa dérivée. Ici \(F' = f\), dont on connaît le signe grâce à la partie II.

\(F\) est croissante sur \(\left]0~;~\frac{1}{2}\right]\), décroissante sur \(\left[\frac{1}{2}~;~\text{e}\right]\), croissante sur \([\text{e}~;~+\infty[\).

2. \(\mathcal{C}_F\) a-t-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ?

La tangente à \(\mathcal{C}_F\) au point d'abscisse \(a\) a pour coefficient directeur \(F'(a) = f(a)\). Par ailleurs, elle est parallèle à l'axe des abscisses exactement quand ce coefficient est nul, c'est-à-dire quand \(f(a) = 0\). D'après la partie II, cela se produit pour \(a = \frac{1}{2}\) et \(a = \text{e}\), et seulement pour ces valeurs. Puis ces points correspondent d'ailleurs au maximum local (en \(\frac{1}{2}\)) et au minimum local (en \(\text{e}\)) de \(F\).

Oui : \(\mathcal{C}_F\) admet exactement deux tangentes horizontales, aux points d'abscisses \(\frac{1}{2}\) et \(\text{e}\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• « Au moins un » se traite presque toujours par l'évènement contraire : \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)\).
• Ne pas confondre la probabilité conditionnelle \(P_{V_1}(V_2)\), lue sur une branche, avec la probabilité de l'intersection \(P(V_1 \cap V_2)\), produit des branches d'un chemin.
• Pour une limite d'une expression contenant \((-1)^n\), on encadre puis on applique le théorème des gendarmes.
• Pour l'aire d'un triangle de l'espace, calculer deux fois le volume d'une pyramide en changeant de base est une méthode efficace, la hauteur étant donnée par un projeté orthogonal.
• Le signe d'un produit s'étudie facteur par facteur dans un tableau de signes, en écartant d'abord les facteurs toujours positifs comme \(\text{e}^{-x}\) ou \(x^2\).
• Une tangente horizontale correspond à une dérivée nulle : quand \(F' = f\), il suffit de résoudre \(f(x) = 0\).

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Présentation du corrigé du bac 2021, France, mars, sujet 2

Cette correction complète du bac 2021, France, mars, sujet 2 du 15 mars 2021 explique les cinq exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : loi binomiale, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (6 points) aborde : suites définies conjointement, récurrence, théorème des gendarmes, algorithme de seuil. Puis, la correction de l'exercice 3 (4 points) traite : vecteur normal, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance, volume d'une pyramide. Puis, la correction de l'exercice A (5 points) porte sur : fonction exponentielle, position relative de deux courbes, dérivée d'un produit, théorème des valeurs intermédiaires. Enfin, la correction de l'exercice B (5 points) aborde : fonction logarithme, fonction auxiliaire, dérivée d'un produit, lien entre une fonction et sa dérivée.

Lisez chaque solution en vous demandant pourquoi telle méthode s'impose. Ensuite, en effet, c'est ce raisonnement qui resservira sur un autre sujet. Par ailleurs, refaites seul les calculs les plus longs sans regarder la rédaction.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, France, mars, sujet 2

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Puis en géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.

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