Corrigé du bac de maths 2021 : Centres étrangers, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, Centres étrangers, jour 2) 5 points

QCM : tangente, limite de suite, loi binomiale, limite avec l'exponentielle, dénombrement

Question 1. Tangente à la courbe de \(g\) au point d'abscisse 1.

La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation \(y = g'(1)(x-1) + g(1)\). Ensuite, on calcule \(g(1) = 1 + 2 - 3 = 0\). La dérivée de \(-\dfrac{3}{x}\) est \(\dfrac{3}{x^2}\), donc \(g'(x) = 2x + 2 + \dfrac{3}{x^2}\) et \(g'(1) = 2 + 2 + 3 = 7\). L'équation est donc \(y = 7(x-1) + 0\).

Réponse a. : \(y = 7(x-1)\).

Question 2. Limite de \(v_n = \dfrac{3n}{n+2}\).

Il s'agit d'une forme indéterminée du type \(\dfrac{\infty}{\infty}\) : on factorise par \(n\) au numérateur et au dénominateur. Pour \(n \geqslant 1\), \(v_n = \dfrac{3}{1 + \frac{2}{n}}\). Comme \(\dfrac{2}{n}\) tend vers 0, le dénominateur tend vers 1 et \(v_n\) tend vers 3.

Réponse b. : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 3\).

Question 3. Probabilité d'obtenir 4 noires et 6 rouges en 10 tirages avec remise.

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès « boule noire » a pour probabilité \(\dfrac{6}{10} = 0{,}6\). Les tirages étant avec remise, ils sont indépendants et identiques : le nombre \(X\) de boules noires suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}6)\). Obtenir 4 noires revient à obtenir 6 rouges, donc on cherche \(P(X = 4) = \dbinom{10}{4} \times 0{,}6^4 \times 0{,}4^6 = 210 \times 0{,}1296 \times 0{,}004096 \approx 0{,}11148\).

Réponse c. : \(P(X = 4) \approx 0{,}1115\).

Question 4. Limite de \(f(x) = 3\text{e}^x - x\) en \(+\infty\).

Alors, on a une forme « \(+\infty - \infty\) ». Ensuite, on met \(\text{e}^x\) en facteur : \(f(x) = \text{e}^x\left(3 - \dfrac{x}{\text{e}^x}\right)\). Par croissance comparée, \(\dfrac{x}{\text{e}^x}\) tend vers 0 en \(+\infty\), donc la parenthèse tend vers 3, et comme \(\text{e}^x\) tend vers \(+\infty\), le produit tend vers \(+\infty\).

Réponse b. : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

Question 5. Durée maximale pour casser un code de 8 signes.

Un code est une liste ordonnée de 8 signes choisis parmi 36, avec répétition possible : il y a \(36^8 = 2\,821\,109\,907\,456\) codes possibles. Dans le pire des cas, le logiciel les teste tous. À \(10^8\) codes par seconde, il lui faut \(\dfrac{36^8}{10^8} \approx 28\,211\) secondes, soit \(\dfrac{28\,211}{3\,600} \approx 7{,}8\) heures.

Réponse b. : environ 8 heures.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, Centres étrangers, jour 2) 5 points

Suite arithmético-géométrique, récurrence, algorithme de seuil en Python, suite géométrique auxiliaire, fonction exponentielle

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

1. a) Justifier la relation \(u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250\).

Chaque année, 2 % des panneaux présents sont retirés : il en reste 98 %, c'est-à-dire \(\left(1 - \dfrac{2}{100}\right)u_n = 0{,}98u_n\). Par ailleurs, on ajoute ensuite les 250 panneaux neufs installés dans l'année. Le nombre de panneaux au 1^er janvier suivant est donc bien \(0{,}98u_n + 250\), et le point de départ est le parc du 1^er janvier 2020, soit \(u_0 = 10\,560\).

En conclusion : retirer 2 % revient à multiplier par \(0{,}98\), puis on ajoute 250.

1. b) Au bout de combien d'années dépasse-t-on 12 000 panneaux ?

Ensuite, on fait afficher les termes de la suite à la calculatrice (mode suite ou tableau de valeurs). Par ailleurs, on lit \(u_{67} \approx 11\,998{,}9\), encore inférieur à 12 000, puis \(u_{68} \approx 12\,008{,}9\), qui le dépasse. La suite étant croissante (question 3), tous les termes suivants dépasseront aussi 12 000.

En conclusion : le nombre de panneaux dépasse 12 000 au bout de 68 ans, c'est-à-dire au 1^er janvier 2088.

1. c) Compléter le programme Python.

La boucle doit tourner tant que le seuil n'est pas franchi, donc tant que \(u \leqslant 12\,000\). À chaque passage, on calcule le terme suivant avec la relation de récurrence et on augmente le compteur d'années de 1. Quand la boucle s'arrête, n contient le premier rang pour lequel \(u \gt 12\,000\).

u = 10560
n = 0
while u <= 12000 :
    u = 0.98 * u + 250
    n = n + 1

En conclusion : à la fin de l'exécution, la variable n vaut 68.

Question 2

2. Montrer par récurrence que \(u_n \leqslant 12\,500\).

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \leqslant 12\,500\) ».

Initialisation. \(u_0 = 10\,560 \leqslant 12\,500\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Ainsi, on suppose \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) quelconque, soit \(u_n \leqslant 12\,500\). En multipliant par \(0{,}98\), qui est positif, l'inégalité est conservée : \(0{,}98u_n \leqslant 12\,250\). En ajoutant 250 : \(0{,}98u_n + 250 \leqslant 12\,500\), c'est-à-dire \(u_{n+1} \leqslant 12\,500\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leqslant 12\,500\).

3. Montrer que \((u_n)\) est croissante.

Alors, on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs : \(u_{n+1} - u_n = 0{,}98u_n + 250 - u_n = 250 - 0{,}02u_n = 0{,}02\,(12\,500 - u_n)\). D'après la question 2, \(12\,500 - u_n \geqslant 0\), donc \(u_{n+1} - u_n \geqslant 0\) pour tout \(n\).

En conclusion : la suite \((u_n)\) est croissante.

4. En déduire que \((u_n)\) converge.

La suite \((u_n)\) est croissante (question 3) et majorée par 12 500 (question 2). D'après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge.

En conclusion : la suite \((u_n)\) est convergente, et sa limite est inférieure ou égale à 12 500.

Question 5 a

5. a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}98\).

Pour tout \(n\), on exprime \(v_{n+1}\) à l'aide de \(u_n\), puis de \(v_n\) : \(v_{n+1} = u_{n+1} - 12\,500 = 0{,}98u_n + 250 - 12\,500 = 0{,}98u_n - 12\,250 = 0{,}98\,(u_n - 12\,500) = 0{,}98\,v_n\). Le premier terme vaut \(v_0 = 10\,560 - 12\,500 = -1\,940\).

En conclusion : \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}98\) et de premier terme \(v_0 = -1\,940\).

5. b) Expression de \(v_n\).

Le terme général d'une suite géométrique est \(v_n = v_0 \times q^n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(v_n = -1\,940 \times 0{,}98^n\).

5. c) Expression de \(u_n\).

Comme \(v_n = u_n - 12\,500\), on a \(u_n = v_n + 12\,500\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = 12\,500 - 1\,940 \times 0{,}98^n\).

5. d) Limite de \((u_n)\) et interprétation.

Comme \(0 \lt 0{,}98 \lt 1\), la suite \(\left(0{,}98^n\right)\) tend vers 0, donc \(1\,940 \times 0{,}98^n\) tend vers 0 et \(u_n\) tend vers 12 500. Dans le contexte, le parc de la centrale augmente d'année en année mais se stabilise : à long terme, il se rapproche de 12 500 panneaux sans jamais les dépasser.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 12\,500\) ; le nombre de panneaux tend vers 12 500.

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

1. Sens de variation de \(f\).

La fonction \(x \mapsto \text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\) est de la forme \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x) = -0{,}02x + 1{,}4\) et \(u'(x) = -0{,}02\). Sa dérivée est donc \(-0{,}02\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\). Donc on en déduit \(f'(x) = -500 \times \left(-0{,}02\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\right) = 10\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\). Une exponentielle étant toujours strictement positive, \(f'(x) \gt 0\) sur \([0\,;\,+\infty[\).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

2. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(-0{,}02x + 1{,}4\) tend vers \(-\infty\). Or \(\displaystyle\lim_{X \to -\infty} \text{e}^X = 0\), donc par composition \(\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\) tend vers 0, puis \(500\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\) aussi.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 12\,500\), comme avec la suite.

3. Quand le nombre de panneaux dépasse-t-il 12 000 ?

Ensuite, on résout l'inéquation \(f(x) \gt 12\,000\). Elle équivaut successivement à \(-500\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4} \gt -500\), puis, en divisant par \(-500\) (ce qui change le sens), à \(\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4} \lt 1\). La fonction ln étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(\ln 1 = 0\), cela revient à \(-0{,}02x + 1{,}4 \lt 0\), soit \(x \gt \dfrac{1{,}4}{0{,}02} = 70\). Ensuite, on remarque qu'au bout de 70 ans exactement, \(f(70) = 12\,500 - 500 = 12\,000\) : le seuil est atteint mais pas dépassé.

En conclusion : selon ce modèle, 12 000 panneaux sont dépassés au-delà de 70 ans, donc en nombre entier d'années au bout de 71 ans (2091).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, Centres étrangers, jour 2) 5 points

Géométrie dans l'espace : coordonnées dans un cube, représentation paramétrique, égalité de vecteurs, distances et produit scalaire

Dans le repère \(\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)\), les sommets du cube ont pour coordonnées A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), C(1 ; 1 ; 0), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1). Ce repère est orthonormé car les arêtes du cube sont de même longueur et deux à deux perpendiculaires, ce qui permet de calculer longueurs et produits scalaires avec les coordonnées.

Partie A : cas \(a = \dfrac{2}{3}\)

1. Coordonnées de F, I et J.

F est l'image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AE}}\), d'où F(1 ; 0 ; 1). I est le centre du carré ADHE, donc le milieu de sa diagonale [AH] : \(\text{I}\left(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\right)\). Pour J, on part de C(1 ; 1 ; 0) et on ajoute \(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{CG}}\), avec \(\overrightarrow{\text{CG}}(0\,;\,0\,;\,1)\).

En conclusion : \(\text{F}(1\,;\,0\,;\,1)\), \(\text{I}\left(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) et \(\text{J}\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{2}{3}\right)\).

2. Représentation paramétrique de \((d)\).

La droite \((d)\) est parallèle à (FJ), donc \(\overrightarrow{\text{FJ}}\) en est un vecteur directeur : \(\overrightarrow{\text{FJ}}\left(0\,;\,1\,;\,-\dfrac{1}{3}\right)\). Elle passe par I. Un point M(x ; y ; z) appartient à \((d)\) si et seulement s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{\text{IM}} = t\,\overrightarrow{\text{FJ}}\).

En conclusion : \((d) : \begin{cases} x = 0 \\ y = \dfrac{1}{2} + t \\ z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}t \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).

3. a) Montrer que K a pour coordonnées \(\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3}\right)\).

Le point de coordonnées \(\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3}\right)\) est sur la droite (AE), qui est l'axe des cotes (points de la forme (0 ; 0 ; z)). Vérifions qu'il est aussi sur \((d)\) : la condition \(y = 0\) impose \(t = -\dfrac{1}{2}\), et alors \(z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\) ; de plus \(x = 0\). Ce point appartient donc aux deux droites. Comme \((d)\) n'est pas parallèle à (AE) (son vecteur directeur n'est pas colinéaire à \((0\,;\,0\,;\,1)\)), leur intersection est réduite à ce point.

En conclusion : \(\text{K}\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3}\right)\).

Question 3 b

3. b) Coordonnées de L.

La droite (DH) est formée des points de coordonnées (0 ; 1 ; z). Sur \((d)\), \(y = 1\) donne \(\dfrac{1}{2} + t = 1\), soit \(t = \dfrac{1}{2}\), puis \(z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}\), et \(x = 0\) convient.

En conclusion : \(\text{L}\left(0\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{3}\right)\).

4. a) FJLK est un parallélogramme.

Un quadrilatère FJLK est un parallélogramme lorsque \(\overrightarrow{\text{FJ}} = \overrightarrow{\text{KL}}\). Donc on a \(\overrightarrow{\text{FJ}}\left(0\,;\,1\,;\,-\dfrac{1}{3}\right)\) et \(\overrightarrow{\text{KL}}\left(0 - 0\,;\,1 - 0\,;\,\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}\right) = \left(0\,;\,1\,;\,-\dfrac{1}{3}\right)\). Les deux vecteurs sont égaux (ce qui était prévisible puisque K et L sont sur \((d)\), parallèle à (FJ)).

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{FJ}} = \overrightarrow{\text{KL}}\), donc FJLK est un parallélogramme.

4. b) FJLK est un losange.

Un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur est un losange. Ensuite, on compare FJ et FK. D'une part \(\text{FJ}^2 = 0^2 + 1^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{10}{9}\). D'autre part \(\overrightarrow{\text{FK}}\left(-1\,;\,0\,;\,-\dfrac{1}{3}\right)\), donc \(\text{FK}^2 = 1 + 0 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}\).

En conclusion : \(\text{FJ} = \text{FK} = \dfrac{\sqrt{10}}{3}\), donc le parallélogramme FJLK est un losange.

4. c) FJLK est-il un carré ?

Un losange est un carré si et seulement si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires. Alors, on calcule \(\overrightarrow{\text{FJ}} \cdot \overrightarrow{\text{FK}} = 0 \times (-1) + 1 \times 0 + \left(-\dfrac{1}{3}\right) \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{9}\). Ce produit scalaire n'est pas nul, donc l'angle en F n'est pas droit.

En conclusion : FJLK n'est pas un carré.

Partie B : cas général

1. Coordonnées de J en fonction de \(a\).

Donc on a \(\overrightarrow{\text{CJ}} = a\,\overrightarrow{\text{CG}}\) avec \(\overrightarrow{\text{CG}}(0\,;\,0\,;\,1)\), donc \(x_{\text{J}} - 1 = 0\), \(y_{\text{J}} - 1 = 0\) et \(z_{\text{J}} - 0 = a\).

En conclusion : \(\text{J}(1\,;\,1\,;\,a)\).

2. FJLK est un parallélogramme.

Ensuite, on compare à nouveau les vecteurs \(\overrightarrow{\text{FJ}}\) et \(\overrightarrow{\text{KL}}\) : \(\overrightarrow{\text{FJ}}(0\,;\,1\,;\,a - 1)\) et \(\overrightarrow{\text{KL}}\left(0\,;\,1\,;\,\dfrac{a}{2} - 1 + \dfrac{a}{2}\right) = (0\,;\,1\,;\,a - 1)\).

En conclusion : pour tout \(a \in [0\,;\,1]\), \(\overrightarrow{\text{FJ}} = \overrightarrow{\text{KL}}\), donc FJLK est un parallélogramme.

3. Valeurs de \(a\) donnant un losange.

Le parallélogramme est un losange si et seulement si \(\text{FJ} = \text{FK}\), ce qui équivaut à \(\text{FJ}^2 = \text{FK}^2\) (longueurs positives). Alors, on a \(\text{FJ}^2 = 1 + (a-1)^2\) et, avec \(\overrightarrow{\text{FK}}\left(-1\,;\,0\,;\,-\dfrac{a}{2}\right)\), \(\text{FK}^2 = 1 + \dfrac{a^2}{4}\). L'égalité devient \((a-1)^2 = \dfrac{a^2}{4}\), soit \((a-1)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = 0\), qui se factorise en \(\left(a - 1 - \dfrac{a}{2}\right)\left(a - 1 + \dfrac{a}{2}\right) = 0\), c'est-à-dire \(\left(\dfrac{a}{2} - 1\right)\left(\dfrac{3a}{2} - 1\right) = 0\). Les solutions sont \(a = 2\), à rejeter car \(a \in [0\,;\,1]\), et \(a = \dfrac{2}{3}\).

En conclusion : il existe une seule valeur, \(a = \dfrac{2}{3}\), pour laquelle FJLK est un losange (c'est le cas de la partie A).

4. Valeurs de \(a\) donnant un carré.

Un carré est en particulier un losange : d'après la question 3, il faudrait \(a = \dfrac{2}{3}\). Or la partie A (question 4. c) a montré que, pour cette valeur, l'angle en F n'est pas droit. Par ailleurs, on peut aussi le voir directement : \(\overrightarrow{\text{FJ}} \cdot \overrightarrow{\text{FK}} = -\dfrac{a(a-1)}{2}\) ne s'annule que pour \(a = 0\) ou \(a = 1\), valeurs pour lesquelles FJLK n'est pas un losange.

En conclusion : aucune valeur de \(a\) ne fait de FJLK un carré.

Corrigé de l’exercice A (bac 2021, Centres étrangers, jour 2) (fonction ln) 5 points

Variable aléatoire à deux valeurs, espérance, étude d'une fonction avec ln, théorème des valeurs intermédiaires, application à un dépistage

Partie A

1. Valeurs prises par \(X_n\).

Ensuite, on commence toujours par analyser le mélange, soit une analyse. Deux cas se présentent. Si le mélange est négatif, on s'arrête : il y a eu 1 analyse. S'il est positif, on analyse séparément chacune des \(n\) personnes, ce qui ajoute \(n\) analyses, soit \(n + 1\) au total.

En conclusion : \(X_n\) prend les valeurs 1 et \(n + 1\).

2. \(P(X_n = 1)\) et loi de \(X_n\).

L'événement \(\{X_n = 1\}\) signifie que le mélange est négatif, donc qu'aucune des \(n\) personnes n'est malade. Chaque personne est saine avec probabilité \(1 - 0{,}05 = 0{,}95\), et les choix sont assimilés à des tirages avec remise, donc indépendants. Par le produit des probabilités d'événements indépendants, \(P(X_n = 1) = 0{,}95 \times 0{,}95 \times \dots \times 0{,}95 = 0{,}95^n\). L'autre valeur a la probabilité complémentaire.

En conclusion : \(P(X_n = 1) = 0{,}95^n\) et \(P(X_n = n + 1) = 1 - 0{,}95^n\).

3. Sens et calcul de l'espérance.

L'espérance de \(X_n\) est le nombre moyen d'analyses qu'il faudra faire pour un groupe de \(n\) personnes si l'on répète l'opération sur un grand nombre de groupes. Par définition, \(E(X_n) = 1 \times 0{,}95^n + (n+1)\left(1 - 0{,}95^n\right) = 0{,}95^n + n + 1 - n \times 0{,}95^n - 0{,}95^n\), et les termes \(0{,}95^n\) s'éliminent.

En conclusion : \(E(X_n) = n + 1 - n \times 0{,}95^n\), nombre moyen d'analyses par groupe de \(n\) personnes.

Partie B

1. \(f\) est décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\).

La fonction \(f\) est dérivable sur \([20\,;\,+\infty[\) et \(f'(x) = \dfrac{1}{x} + \ln(0{,}95)\). Pour \(x \geqslant 20\), on a \(\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{20} = 0{,}05\), donc \(f'(x) \leqslant 0{,}05 + \ln(0{,}95)\). La calculatrice donne \(0{,}05 + \ln(0{,}95) \approx -0{,}0013\), qui est strictement négatif. Ainsi \(f'(x) \lt 0\) sur tout l'intervalle.

En conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\).

2. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

La somme \(\ln x + x\ln(0{,}95)\) est une forme « \(+\infty - \infty\) » puisque \(\ln(0{,}95) \lt 0\). Alors, on factorise par \(x\) : \(f(x) = x\left(\dfrac{\ln x}{x} + \ln(0{,}95)\right)\). La parenthèse tend vers \(0 + \ln(0{,}95)\), nombre strictement négatif, et \(x\) tend vers \(+\infty\) ; le produit tend donc vers \(-\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

3. Unique solution de \(f(x) = 0\) et encadrement.

Donc on a \(f(20) = \ln 20 + 20\ln(0{,}95) \approx 1{,}97 \gt 0\) et \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(+\infty\). La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\) ; 0 est compris entre \(f(20)\) et la limite en \(+\infty\). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(a\) sur cet intervalle. Par balayage à la calculatrice : \(f(87{,}0) \approx 0{,}0034 \gt 0\) et \(f(87{,}1) \approx -0{,}0006 \lt 0\).

En conclusion : l'équation a une unique solution \(a\), avec \(87{,}0 \lt a \lt 87{,}1\) (\(a \approx 87{,}09\)).

Question 4

4. Signe de \(f\).

Comme \(f\) est strictement décroissante et s'annule en \(a\), elle est au-dessus de \(f(a) = 0\) avant \(a\) et en dessous après.

En conclusion : \(f(x) \gt 0\) sur \([20\,;\,a[\), \(f(a) = 0\) et \(f(x) \lt 0\) sur \(]a\,;\,+\infty[\).

Partie C

Montrer que la méthode groupée est avantageuse jusqu'à 87 personnes.

Par ailleurs, on traduit la condition \(E(X_n) \lt n\) : \(n + 1 - n \times 0{,}95^n \lt n\) équivaut à \(1 \lt n \times 0{,}95^n\). Les deux membres étant strictement positifs, on peut appliquer la fonction ln, strictement croissante : \(0 \lt \ln n + n\ln(0{,}95)\), c'est-à-dire \(f(n) \gt 0\). D'après la partie B, pour \(n \geqslant 20\), cela équivaut à \(n \lt a\), avec \(87 \lt a \lt 87{,}1\). Les entiers qui conviennent sont donc ceux de 20 à 87. Vérification : \(E(X_{87}) \approx 86{,}997 \lt 87\) alors que \(E(X_{88}) \approx 88{,}04 \gt 88\).

En conclusion : le dépistage par mélange réduit en moyenne le nombre d'analyses pour les échantillons de 87 personnes au maximum ; au-delà, tester chacun est préférable.

Corrigé de l’exercice B (bac 2021, Centres étrangers, jour 2) (équation différentielle) 5 points

Lecture graphique, dérivée et tangente, fonction exponentielle, équation différentielle \(y' + y = h(x)\), variations

Partie A : détermination de \(f\) et équation différentielle

1. Lire \(f(0)\) et \(f'(0)\).

La courbe \(\mathcal{C}\) coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 3), donc \(f(0) = 3\). Le nombre dérivé \(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente \((T)\) : elle passe par (0 ; 3) et (1 ; 1), donc son coefficient directeur vaut \(\dfrac{1 - 3}{1 - 0} = -2\).

En conclusion : \(f(0) = 3\) et \(f'(0) = -2\).

2. Valeur de \(b\).

En remplaçant \(x\) par 0 : \(f(0) = \text{e}^0 + a \times 0 + b\,\text{e}^0 = 1 + b\). Avec \(f(0) = 3\), on obtient \(1 + b = 3\).

En conclusion : \(b = 2\).

3. a) Expression de \(f'(x)\).

La dérivée de \(\text{e}^{-x}\) est \(-\text{e}^{-x}\) (forme \(\text{e}^u\) avec \(u' = -1\)). Avec \(b = 2\), on dérive terme à terme.

En conclusion : \(f'(x) = \text{e}^x + a - 2\text{e}^{-x}\) (ou \(\text{e}^x + a - b\,\text{e}^{-x}\) avant de remplacer \(b\)).

3. b) \(f'(0)\) en fonction de \(a\).

Alors, on remplace \(x\) par 0 dans l'expression précédente : \(f'(0) = 1 + a - 2\).

En conclusion : \(f'(0) = a - 1\).

3. c) Valeur de \(a\) et expression de \(f\).

La lecture graphique donne \(f'(0) = -2\), donc \(a - 1 = -2\), soit \(a = -1\). En remplaçant \(a\) et \(b\) dans la définition de \(f\) :

En conclusion : \(a = -1\), \(b = 2\) et \(f(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x}\).

Question 4 a

4. a) \(g\) est solution de \((E)\).

La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g'(x) = \text{e}^x - 1 - 2\text{e}^{-x}\). Puis on calcule le membre de gauche de \((E)\) : \(g'(x) + g(x) = \text{e}^x - 1 - 2\text{e}^{-x} + \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x} = 2\text{e}^x - x - 1\), ce qui est bien le second membre.

En conclusion : \(g\) est une solution particulière de \((E)\) (et \(g\) n'est autre que \(f\)).

4. b) Résoudre \(y' + y = 0\).

L'équation s'écrit \(y' = -y\), de la forme \(y' = ky\) avec \(k = -1\). D'après le cours, ses solutions sont les fonctions \(x \mapsto C\,\text{e}^{kx}\) avec \(C\) réel.

En conclusion : les solutions de \(y' + y = 0\) sont les fonctions \(x \mapsto C\,\text{e}^{-x}\), \(C \in \mathbb{R}\).

4. c) Toutes les solutions de \((E)\).

Les solutions d'une équation \(y' + y = h\) s'obtiennent en ajoutant à une solution particulière les solutions de l'équation homogène associée. En effet, \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \((y - g)' + (y - g) = 0\), c'est-à-dire si \(y - g\) est de la forme \(C\,\text{e}^{-x}\).

En conclusion : les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x} + C\,\text{e}^{-x} = \text{e}^x - x + (C + 2)\,\text{e}^{-x}\), \(C \in \mathbb{R}\), autrement dit \(x \mapsto \text{e}^x - x + K\,\text{e}^{-x}\) avec \(K\) réel quelconque.

Partie B : étude de \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\)

1. Vérifier la factorisation.

Ensuite, on développe le membre de droite en se souvenant que \(\text{e}^x \times \text{e}^x = \text{e}^{2x}\) : \(\left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right) = \text{e}^{2x} + \text{e}^x - 2\text{e}^x - 2 = \text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2\).

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)\).

2. Forme factorisée de \(g'(x)\).

Alors, on a \(g'(x) = \text{e}^x - 1 - 2\text{e}^{-x}\). Ensuite, on met \(\text{e}^{-x}\) en facteur, en utilisant \(\text{e}^x = \text{e}^{-x} \times \text{e}^{2x}\) et \(1 = \text{e}^{-x} \times \text{e}^x\) : \(g'(x) = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2\right)\), puis on applique la question 1.

En conclusion : \(g'(x) = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)\) pour tout réel \(x\).

3. Sens de variation de \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\).

Sur \([1\,;\,+\infty[\), les trois facteurs sont strictement positifs : \(\text{e}^{-x} \gt 0\) et \(\text{e}^x + 1 \gt 0\) comme toute exponentielle augmentée d'un nombre positif, et \(\text{e}^x - 2 \gt 0\) d'après l'énoncé (car \(\text{e}^x \geqslant \text{e} \approx 2{,}718\)). Donc \(g'(x) \gt 0\). Attention : ce n'est pas vrai sur tout \(\mathbb{R}\), puisque \(\text{e}^x - 2 \lt 0\) pour \(x \lt \ln 2\) ; c'est d'ailleurs pourquoi la courbe \(\mathcal{C}\) descend avant de remonter.

En conclusion : \(g\) est strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Suite \(u_{n+1} = qu_n + r\) : poser \(v_n = u_n - \ell\) où \(\ell\) est le point fixe (\(\ell = q\ell + r\)) pour obtenir une suite géométrique, puis revenir à \(u_n\).
• Algorithme de seuil : la condition du while est la négation de ce qu'on cherche (on boucle tant que \(u \leqslant 12\,000\) pour trouver le premier \(u \gt 12\,000\)).
• Dans un repère orthonormé de l'espace : \(\overrightarrow{\text{FJ}} = \overrightarrow{\text{KL}}\) prouve le parallélogramme, deux côtés consécutifs égaux le losange, un produit scalaire nul l'angle droit.
• Formes indéterminées : factoriser par le terme dominant (\(n\), \(x\), \(\text{e}^x\)) et utiliser les croissances comparées.
• Équation \(y' + y = h\) : solutions générales = solution particulière + \(C\,\text{e}^{-x}\) ; pour l'étude de signe, factoriser \(g'(x)\) par \(\text{e}^{-x}\).
• Erreur fréquente : diviser une inégalité par un nombre négatif sans changer son sens, ou oublier qu'un seuil atteint n'est pas dépassé (\(f(70) = 12\,000\)).

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Présentation du corrigé du bac 2021, Centres étrangers, jour 2

Le corrigé du bac 2021, Centres étrangers, jour 2 du 10 juin 2021 reprend les cinq exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) traite : qCM : tangente, limite de suite, loi binomiale, limite avec l'exponentielle, dénombrement. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) porte sur : suite arithmético-géométrique, récurrence, algorithme de seuil en Python, suite géométrique auxiliaire, fonction exponentielle. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) porte sur : géométrie dans l'espace : coordonnées dans un cube, représentation paramétrique, égalité de vecteurs, distances et produit scalaire. Puis, la correction de l'exercice A (5 points) aborde : variable aléatoire à deux valeurs, espérance, étude d'une fonction avec ln, théorème des valeurs intermédiaires, application à un dépistage. Enfin, la correction de l'exercice B (5 points) aborde : lecture graphique, dérivée et tangente, fonction exponentielle, équation différentielle, variations.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, Centres étrangers, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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