Corrigé du bac de maths 2021 : France, mars, sujet 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, France, mars, sujet 1) 5 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec logarithme

Partie 1

1. Arbre pondéré de la situation.

Le premier niveau sépare les candidats retenus sur dossier (10 %) des autres (90 %). Le second niveau indique l'admission : 60 % pour ceux qui passent l'oral, 20 % pour ceux qui passent l'écrit. Les probabilités de chaque groupe de branches issues d'un même nœud ont pour somme 1.

• \(D\) avec \(P(D) = 0{,}1\)
  • \(A\) avec \(P_D(A) = 0{,}6\)
  • \(\overline{A}\) avec \(P_D(\overline{A}) = 0{,}4\)
• \(\overline{D}\) avec \(P(\overline{D}) = 0{,}9\)
  • \(A\) avec \(P_{\overline{D}}(A) = 0{,}2\)
  • \(\overline{A}\) avec \(P_{\overline{D}}(\overline{A}) = 0{,}8\)

En conclusion : les branches portent 0,1 et 0,9 au premier niveau, puis 0,6 / 0,4 après \(D\) et 0,2 / 0,8 après \(\overline{D}\).

2. Probabilité d'être sélectionné sur dossier et admis.

Ensuite, on cherche \(P(D \cap A)\). Par ailleurs, on suit le chemin \(D\) puis \(A\) de l'arbre et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(D \cap A) = P(D) \times P_D(A) = 0{,}1 \times 0{,}6 = 0{,}06.\]

En conclusion : \(P(D \cap A) = 0{,}06\).

3. Montrer que \(P(A) = 0{,}24\).

Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l'univers. Deux chemins mènent à \(A\) ; la formule des probabilités totales donne :

\[P(A) = P(D \cap A) + P(\overline{D} \cap A) = 0{,}06 + 0{,}9 \times 0{,}2 = 0{,}06 + 0{,}18 = 0{,}24.\]

En conclusion : \(P(A) = 0{,}24\).

4. Probabilité qu'un admis n'ait pas été sélectionné sur dossier.

Donc on sait que le candidat est admis : on cherche donc la probabilité conditionnelle \(P_A(\overline{D})\). Par définition :

\[P_A(\overline{D}) = \dfrac{P(A \cap \overline{D})}{P(A)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}24} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75.\]

Autrement dit, trois admis sur quatre sont passés par l'épreuve écrite.

En conclusion : \(P_A(\overline{D}) = 0{,}75\).

Partie 2

1. a) Paramètres de la loi binomiale.

Par ailleurs, on répète 7 fois, de façon indépendante (tirage avec remise), une épreuve à deux issues dont le « succès » est « le candidat est admis », de probabilité 0,24. \(X\) compte les succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 7\) et \(p = 0{,}24\).

1. b) Probabilité qu'un seul candidat soit admis.

Avec la formule de la loi binomiale, \(P(X = k) = \binom{7}{k}\, 0{,}24^k \times 0{,}76^{7-k}\). Pour \(k = 1\) :

\[P(X = 1) = 7 \times 0{,}24 \times 0{,}76^6 \approx 0{,}3237.\]

En conclusion : \(P(X = 1) \approx 0{,}32\).

1. c) Probabilité qu'au moins deux candidats soient admis.

L'évènement contraire de \(X \geqslant 2\) est « \(X = 0\) ou \(X = 1\) ». Alors, on calcule \(P(X = 0) = 0{,}76^7 \approx 0{,}1465\), puis :

\[P(X \geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0{,}1465 - 0{,}3237 \approx 0{,}5298.\]

Par ailleurs, on peut aussi obtenir directement \(1 - P(X \leqslant 1)\) avec la fonction de répartition binomiale de la calculatrice.

En conclusion : \(P(X \geqslant 2) \approx 0{,}53\).

2. a) Probabilité qu'aucun candidat du lycée ne soit admis.

Chaque candidat du lycée est refusé avec la probabilité \(1 - 0{,}24 = 0{,}76\), et les résultats sont indépendants. La probabilité que les \(n\) candidats soient tous refusés est donc le produit de \(n\) facteurs égaux à 0,76.

En conclusion : la probabilité qu'aucun candidat ne soit admis vaut \(0{,}76^n\).

Question 2 b

2. b) Plus petit \(n\) tel que P(au moins un admis) \(\geqslant 0{,}99\).

« Au moins un admis » est le contraire de « aucun admis », sa probabilité vaut \(1 - 0{,}76^n\). Ensuite, on résout :

\[1 - 0{,}76^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}76^n \leqslant 0{,}01 \iff n\ln(0{,}76) \leqslant \ln(0{,}01),\]

en appliquant la fonction ln, strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). Comme \(\ln(0{,}76) \lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité :

\[n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}76)} \approx 16{,}78.\]

Vérification : \(0{,}76^{16} \approx 0{,}0124 \gt 0{,}01\) alors que \(0{,}76^{17} \approx 0{,}0094 \leqslant 0{,}01\).

En conclusion : il faut que le lycée présente au moins 17 candidats.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, France, mars, sujet 1) 5 points

Limites et croissances comparées, dérivée d'un quotient, tableau de variations, nombre de solutions, tangente, fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires

1. a) Limite de \(f\) en \(+\infty\).

C'est une limite de référence obtenue par croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(x\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

1. b) L'axe des ordonnées est asymptote.

Alors, on étudie la limite en 0 à droite. Quand \(x\) tend vers 0 avec \(x \gt 0\), le numérateur \(\text{e}^x\) tend vers \(\text{e}^0 = 1\), et le dénominateur \(x\) tend vers 0 en restant positif. Le quotient d'un nombre tendant vers 1 par un nombre tendant vers \(0^+\) tend vers \(+\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\), donc la droite d'équation \(x = 0\) (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).

2. Calcul de \(f'(x)\).

Ensuite, on écrit \(f = \dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \text{e}^x\) et \(v(x) = x\), dérivables sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(v\) ne s'y annulant pas. Ainsi, on a \(u'(x) = \text{e}^x\) et \(v'(x) = 1\), d'où :

\[f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{x\,\text{e}^x - \text{e}^x}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}.\]

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}\).

3. Variations de \(f\) et tableau.

Sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(\text{e}^x \gt 0\) et \(x^2 \gt 0\) : \(f'(x)\) a le signe de \(x - 1\). Ainsi \(f'(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,1[\), \(f'(1) = 0\) et \(f'(x) \gt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). Ensuite, la valeur au point où la dérivée change de signe est \(f(1) = \dfrac{\text{e}^1}{1} = \text{e}\).

En conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,1]\), strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), et admet un minimum égal à \(\text{e}\) en \(x = 1\).

Question 4

4. Nombre de solutions de \(f(x) = m\) selon \(m\).

Ensuite, on lit le tableau de variations en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (cas d'une fonction continue strictement monotone) sur chacun des deux intervalles.

• Si \(m \lt \text{e}\) : le minimum de \(f\) est e, donc \(f(x) \geqslant \text{e} \gt m\) pour tout \(x\) ; aucune solution.
• Si \(m = \text{e}\) : le minimum n'est atteint qu'en \(x = 1\) (monotonie stricte de part et d'autre) ; une seule solution.
• Si \(m \gt \text{e}\) : sur \(]0\,;\,1[\), \(f\) est continue, strictement décroissante et prend toutes les valeurs de \(]\text{e}\,;\,+\infty[\), d'où exactement une solution ; de même sur \(]1\,;\,+\infty[\), où \(f\) est strictement croissante de e vers \(+\infty\). Cela fait deux solutions.

En conclusion : 0 solution si \(m \lt \text{e}\), 1 solution (\(x = 1\)) si \(m = \text{e}\), 2 solutions si \(m \gt \text{e}\).

5. a) \(a\) vérifie \(\text{e}^x(x-1) + x^2 = 0\).

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Celui de \(\Delta\) vaut \(-1\) ; celui de la tangente en A est le nombre dérivé \(f'(a)\), avec \(a \gt 0\). La condition s'écrit donc :

\[\dfrac{\text{e}^a(a - 1)}{a^2} = -1 \iff \text{e}^a(a - 1) = -a^2 \iff \text{e}^a(a - 1) + a^2 = 0,\]

la multiplication par \(a^2 \neq 0\) étant une équivalence.

En conclusion : \(a\) est une solution (strictement positive) de l'équation \(\text{e}^x(x - 1) + x^2 = 0\).

5. b) Calcul de \(g'(x)\) et variations de \(g\).

Le terme \(\text{e}^x(x - 1)\) est un produit : sa dérivée est \(\text{e}^x(x-1) + \text{e}^x \times 1 = x\,\text{e}^x\). En ajoutant la dérivée de \(x^2\) :

\[g'(x) = x\,\text{e}^x + 2x = x\left(\text{e}^x + 2\right).\]

Sur \([0\,;\,+\infty[\), \(x \geqslant 0\) et \(\text{e}^x + 2 \gt 0\), donc \(g'(x) \geqslant 0\), avec égalité seulement en \(x = 0\) : \(g\) est strictement croissante. Donc on a \(g(0) = \text{e}^0 \times (0 - 1) + 0 = -1\). En \(+\infty\), \(\text{e}^x \to +\infty\) et \(x - 1 \to +\infty\), donc \(\text{e}^x(x - 1) \to +\infty\) et, en ajoutant \(x^2\), \(g(x) \to +\infty\).

En conclusion : \(g'(x) = x(\text{e}^x + 2)\) ; \(g\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), de \(-1\) jusqu'à \(+\infty\).

Question 5 c

5. c) Existence et unicité du point A.

La fonction \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ; elle passe de \(g(0) = -1 \lt 0\) à une limite \(+\infty\). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(g(x) = 0\) possède une unique solution \(\alpha\) sur \([0\,;\,+\infty[\), et \(\alpha \neq 0\) puisque \(g(0) \neq 0\), donc \(\alpha \gt 0\).

D'après la question 5. a), dire que la tangente en un point d'abscisse \(a \gt 0\) est parallèle à \(\Delta\) équivaut à \(g(a) = 0\). Il existe donc un seul tel point : celui d'abscisse \(\alpha\). Par balayage à la calculatrice, \(g(0{,}73) \lt 0 \lt g(0{,}74)\), d'où \(\alpha \approx 0{,}74\).

En conclusion : il existe un unique point A de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à \(\Delta\) ; son abscisse vaut \(a \approx 0{,}74\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, France, mars, sujet 1) 5 points

Géométrie dans l'espace : droites coplanaires, milieu, coordonnées de vecteur, représentation paramétrique, équation cartésienne de plan

1. Droites non coplanaires.

Ensuite, on élimine les couples coplanaires. (DK) et (SD) sont une seule et même droite, puisque K est sur [SD]. Le point I est sur (AC), donc (IC) = (AC) et les droites (AS) et (IC) sont toutes deux dans le plan (SAC). Puis dans le triangle SBC, L et M sont les milieux de [SC] et [SB], donc (LM) est parallèle à (BC), elle-même parallèle à (AD) (côtés opposés du carré) : ces deux droites parallèles sont coplanaires. Reste (AC) et (SB) : si elles étaient dans un même plan, ce plan contiendrait A, B, C et S, et la pyramide serait plate. Elles sont bien non coplanaires.

Réponse c. : (AC) et (SB).

2. Coordonnées du milieu N de [KL].

K est le milieu de [SD] : \(\text{K}\left(0\,;\,-\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\right)\). L est le milieu de [SC] : \(\text{L}\left(\tfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,\tfrac{1}{2}\right)\). Par ailleurs, on fait à nouveau la moyenne des coordonnées :

\[\text{N}\left(\dfrac{0 + \frac{1}{2}}{2}\,;\,\dfrac{-\frac{1}{2} + 0}{2}\,;\,\dfrac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right).\]

Réponse b. : \(\text{N}\left(\frac{1}{4}\,;\,-\frac{1}{4}\,;\,\frac{1}{2}\right)\).

3. Coordonnées de \(\overrightarrow{\text{AS}}\).

Ensuite, on soustrait les coordonnées de l'origine A à celles de l'extrémité S : \(\left(0 - (-1)\,;\,0 - 0\,;\,1 - 0\right) = (1\,;\,0\,;\,1)\).

Réponse b. : \(\overrightarrow{\text{AS}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\).

Question 4

4. Représentation paramétrique de (AS).

Il faut un vecteur directeur colinéaire à \(\overrightarrow{\text{AS}}(1\,;\,0\,;\,1)\) et un point de la droite. Les systèmes a. (vecteur \((-1\,;\,1\,;\,-1)\)) et d. (vecteur \((-1\,;\,1\,;\,-1)\)) ont une deuxième coordonnée non nulle : ils sont exclus. Le système b. a un vecteur \((2\,;\,0\,;\,2)\) convenable, mais son point de paramètre 0 est \((-1\,;\,0\,;\,1)\) : pour être sur (AS), il faudrait \(-1 + u = -1\) et \(u = 1\), impossible. Il ne passe pas par la droite. Pour le système c., le vecteur est \((1\,;\,0\,;\,1)\), \(t = 0\) donne S\((0\,;\,0\,;\,1)\) et \(t = -1\) donne A\((-1\,;\,0\,;\,0)\).

Réponse c. : \(x = t,\ y = 0,\ z = 1 + t\) \((t \in \mathbb{R})\).

5. Équation cartésienne du plan (SCB).

Par ailleurs, on teste les trois points S\((0\,;\,0\,;\,1)\), C\((1\,;\,0\,;\,0)\) et B\((0\,;\,1\,;\,0)\), qui ne sont pas alignés. De plus, pour a. : C donne \(0 + 0 - 1 = -1 \neq 0\). Pour c. : S donne \(1 \neq 0\). Puis, pour d. : B donne \(0 + 0 - 1 = -1 \neq 0\). Pour b. : S donne \(0 + 0 + 1 - 1 = 0\), C donne \(1 - 1 = 0\) et B donne \(1 - 1 = 0\). Les trois points vérifient l'équation b., qui est donc celle du plan.

Réponse b. : \(x + y + z - 1 = 0\).

Corrigé de l’exercice A (bac 2021, France, mars, sujet 1) 5 points

Suite récurrente, tableur, raisonnement par récurrence, encadrement et théorème des gendarmes, suite géométrique

1. Calcul de \(u_1\) et \(u_2\).

Alors, on applique la relation avec \(n = 0\), puis \(n = 1\) :

\[u_1 = \dfrac{3}{4} \times u_0 + \dfrac{1}{4} \times 0 + 1 = \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{7}{4},\]

\[u_2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{4} + \dfrac{1}{4} \times 1 + 1 = \dfrac{21}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{16}{16} = \dfrac{41}{16}.\]

Ces valeurs correspondent bien à 1,75 et 2,5625 dans le tableur.

En conclusion : \(u_1 = \dfrac{7}{4}\) et \(u_2 = \dfrac{41}{16}\).

2. a) Formule de la cellule B3.

La cellule B3 contient \(u_1\), calculé à partir de \(u_0\) (cellule B2) et de \(n = 0\) (cellule A2). Les références doivent être relatives pour s'adapter lors de la recopie vers le bas.

En conclusion : on écrit =3/4*B2+1/4*A2+1 (ou =0,75*B2+0,25*A2+1).

2. b) Conjecture sur le sens de variation.

Les valeurs 1 ; 1,75 ; 2,5625 ; 3,421875 ; 4,31640625 augmentent à chaque rang.

En conclusion : on conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante.

3. a) Récurrence : \(n \leqslant u_n \leqslant n + 1\).

Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(n \leqslant u_n \leqslant n + 1\) ».

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(u_0 = 1\) et on a bien \(0 \leqslant 1 \leqslant 1\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(k\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(k)\) est vraie : \(k \leqslant u_k \leqslant k + 1\). Par ailleurs, on multiplie par \(\frac{3}{4} \gt 0\), ce qui conserve l'ordre : \(\frac{3}{4}k \leqslant \frac{3}{4}u_k \leqslant \frac{3}{4}k + \frac{3}{4}\). Ensuite, on ajoute ensuite \(\frac{1}{4}k + 1\) à chaque membre :

\[k + 1 \leqslant u_{k+1} \leqslant k + \dfrac{7}{4}.\]

Comme \(k + \frac{7}{4} \leqslant k + 2\), on obtient \(k + 1 \leqslant u_{k+1} \leqslant (k + 1) + 1\) : \(\mathcal{P}(k+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel.

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(n \leqslant u_n \leqslant n + 1\).

Question 3 b

3. b) Sens de variation et limite.

Pour le sens de variation, on combine l'encadrement aux rangs \(n\) et \(n + 1\) : d'une part \(u_n \leqslant n + 1\), d'autre part \(n + 1 \leqslant u_{n+1}\). Donc \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\).

Pour la limite, on utilise la minoration \(u_n \geqslant n\) : comme \(n\) tend vers \(+\infty\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

En conclusion : \((u_n)\) est croissante et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

3. c) Limite de \(\dfrac{u_n}{n}\).

Pour \(n \geqslant 1\), on divise l'encadrement de la question 3. a) par \(n \gt 0\) :

\[1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n + 1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}.\]

Comme \(\dfrac{1}{n}\) tend vers 0, le majorant tend vers 1, tout comme le minorant constant. Ensuite, le théorème des gendarmes s'applique.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{n} = 1\).

4. a) \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{3}{4}\).

Par ailleurs, on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1} = u_{n+1} - (n + 1) = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1 - n - 1 = \dfrac{3}{4}u_n - \dfrac{3}{4}n = \dfrac{3}{4}(u_n - n) = \dfrac{3}{4}v_n.\]

Le premier terme vaut \(v_0 = u_0 - 0 = 1\).

En conclusion : \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{3}{4}\) et de premier terme \(v_0 = 1\).

Question 4 b

4. b) Expression de \(u_n\).

Le terme général d'une suite géométrique donne \(v_n = v_0 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n = \left(\frac{3}{4}\right)^n\). Puisque \(u_n = v_n + n\) :

\[u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n.\]

Contrôle : pour \(n = 2\), \(\frac{9}{16} + 2 = \frac{41}{16}\), valeur trouvée à la question 1.

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n + n\).

Corrigé de l’exercice B 5 points

Fonction logarithme, croissances comparées, trinôme du second degré, tableau de variations, dérivée seconde, convexité, point d'inflexion

1. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

La somme \(x - 4\ln(x)\) est une forme indéterminée « \(+\infty - \infty\) ». Puis on factorise par \(x\) pour \(x \gt 0\) :

\[f(x) = x\left(1 - 4\,\dfrac{\ln(x)}{x}\right) + 4 - \dfrac{3}{x}.\]

Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln(x)}{x} \to 0\), donc la parenthèse tend vers 1 et le produit par \(x\) tend vers \(+\infty\). De même, par ailleurs \(4 - \dfrac{3}{x} \to 4\). Par somme :

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. Expression de \(f'(x)\).

Ensuite, on dérive terme à terme : \(x \mapsto x\) a pour dérivée 1, la constante 4 a pour dérivée 0, \(-4\ln(x)\) a pour dérivée \(-\dfrac{4}{x}\) et \(-\dfrac{3}{x}\) a pour dérivée \(\dfrac{3}{x^2}\). Ensuite, on réduit au dénominateur commun \(x^2\) :

\[f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.\]

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}\).

3. a) Tableau de variations de \(f\).

Le dénominateur \(x^2\) est strictement positif : \(f'(x)\) a le signe du trinôme \(x^2 - 4x + 3\). Son discriminant vaut \(16 - 12 = 4\), ses racines sont \(\frac{4 - 2}{2} = 1\) et \(\frac{4 + 2}{2} = 3\), et \(x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\). Le coefficient de \(x^2\) étant positif, le trinôme est négatif entre les racines et positif à l'extérieur.

Valeurs des extremums : \(f(1) = 1 + 4 - 4\ln(1) - 3 = 2\) et \(f(3) = 3 + 4 - 4\ln(3) - 1 = 6 - 4\ln(3) \approx 1{,}61\).

En conclusion : \(f\) croît sur \(]0\,;\,1]\) jusqu'au maximum local 2, décroît sur \([1\,;\,3]\) jusqu'au minimum local \(6 - 4\ln(3)\), puis croît sur \([3\,;\,+\infty[\).

Question 3 b

3. b) Nombre de solutions de \(f(x) = \frac{5}{3}\).

Par ailleurs, on situe \(\frac{5}{3} \approx 1{,}667\) par rapport aux valeurs du tableau : \(6 - 4\ln(3) \approx 1{,}606 \lt \frac{5}{3} \lt 2\). Ensuite, on regarde alors chaque intervalle de monotonie, où \(f\) est continue et strictement monotone :

• sur \(]0\,;\,1]\), \(f\) va de \(-\infty\) à 2 : la valeur \(\frac{5}{3}\) est atteinte une fois ;
• sur \([1\,;\,3]\), \(f\) va de 2 à \(6 - 4\ln(3)\) : la valeur \(\frac{5}{3}\) est encore atteinte une fois ;
• sur \([3\,;\,+\infty[\), \(f\) va de \(6 - 4\ln(3)\) à \(+\infty\) : une troisième fois.

En conclusion : l'équation \(f(x) = \frac{5}{3}\) admet exactement trois solutions sur \(]0\,;\,+\infty[\).

4. Convexité et point d'inflexion.

Alors, on étudie le signe de la dérivée seconde. En partant de \(f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{x^2}\), on dérive à nouveau :

\[f''(x) = \dfrac{4}{x^2} - \dfrac{6}{x^3} = \dfrac{4x - 6}{x^3} = \dfrac{2(2x - 3)}{x^3}.\]

Comme \(x^3 \gt 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(2x - 3\) : négatif pour \(x \lt \frac{3}{2}\), positif pour \(x \gt \frac{3}{2}\).

• Sur \(\left]0\,;\,\frac{3}{2}\right]\), \(f'' \leqslant 0\) : \(f\) est concave.
• Sur \(\left[\frac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\), \(f'' \geqslant 0\) : \(f\) est convexe.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en un seul point, \(x = \frac{3}{2}\) : la courbe \(\mathcal{C}\) a donc un unique point d'inflexion. Son ordonnée vaut :

\[f\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{3}{2} + 4 - 4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) - 2 = \dfrac{7}{2} - 4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) \approx 1{,}88.\]

En conclusion : \(f\) est concave sur \(\left]0\,;\,\frac{3}{2}\right]\), convexe sur \(\left[\frac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\), et \(\mathcal{C}\) admet un unique point d'inflexion de coordonnées \(\left(\frac{3}{2}\,;\,\frac{7}{2} - 4\ln\frac{3}{2}\right)\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Dans « au moins un succès sur \(n\) essais », on passe par l'évènement contraire, puis on applique ln en pensant à changer le sens de l'inégalité quand on divise par \(\ln(0{,}76) \lt 0\).
• Pour compter les solutions de \(f(x) = m\), on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle où \(f\) est strictement monotone, en comparant \(m\) aux extremums.
• Tangente parallèle à une droite : on égale le nombre dérivé au coefficient directeur, puis on étudie une fonction auxiliaire pour prouver l'unicité.
• Dans un QCM de géométrie, tester les coordonnées des points connus dans une équation ou une représentation paramétrique élimine vite les mauvaises réponses ; un bon vecteur directeur ne suffit pas, il faut aussi un point de la droite.
• Un encadrement \(n \leqslant u_n \leqslant n + 1\) donne à la fois la monotonie (en comparant deux rangs consécutifs), la limite et, après division par \(n\), la limite de \(\frac{u_n}{n}\) par les gendarmes.
• Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de \(f''\), pas seulement à son annulation.

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Présentation du corrigé du bac 2021, France, mars, sujet 1

Le corrigé du bac 2021, France, mars, sujet 1 du 15 mars 2021 détaille les cinq exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec logarithme. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) traite : limites et croissances comparées, dérivée d'un quotient, tableau de variations, nombre de solutions, tangente, fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : droites coplanaires, milieu, coordonnées de vecteur, représentation paramétrique, équation cartésienne de plan.

Puis, la correction de l'exercice A (5 points) porte sur : suite récurrente, tableur, raisonnement par récurrence, encadrement et théorème des gendarmes, suite géométrique. Enfin, la correction de l'exercice B (5 points) traite : fonction logarithme, croissances comparées, trinôme du second degré, tableau de variations, dérivée seconde, convexité, point d'inflexion.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, France, mars, sujet 1

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

Les autres corrigés de 2021

• Corrigé France, jour 1
• Corrigé France, jour 2
• Corrigé France, mars, sujet 2
• Corrigé Amérique du Nord, mai
• Corrigé Centres étrangers, jour 1
• Corrigé Centres étrangers, jour 2
• Corrigé France, septembre, jour 1
• Corrigé France, septembre, jour 2

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.

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