Sujet du bac de maths 2021 : France, mars, sujet 1
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2021
France — Sujet 1 — 15 mars 2021
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.
Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.
Exercice 1 (sujet de bac 2021, France, mars, sujet 1) — commun à tous les candidats 5 points
Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :
- 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.
- Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.
Partie 1
On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. Désormais, on notera :
- \(D\) l'évènement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
- \(A\) l'évènement « le candidat a été admis à l'école » ;
- \(\overline{D}\) et \(\overline{A}\) les évènements contraires des évènements \(D\) et \(A\) respectivement.
1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.
3. Montrer que la probabilité de l'évènement \(A\) est égale à \(0{,}24\).
4. Ensuite, on choisit au hasard un candidat admis à l'école. Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné ?
Partie 2
1. On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à \(0{,}24\).
Puis on considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. Désormais, on désigne par \(X\) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l'école parmi les sept tirés au sort.
a. Par ailleurs, on admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
b. Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école. En outre, on donnera une réponse arrondie au centième.
c. Calculer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. Par ailleurs, on donnera une réponse arrondie au centième.
2. Un lycée présente \(n\) candidats au recrutement dans cette école, où \(n\) est un entier naturel non nul.
En outre, on admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à \(0{,}24\) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
a. Donner l'expression, en fonction de \(n\), de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.
b. À partir de quelle valeur de l'entier \(n\) la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieure ou égale à \(0{,}99\) ?
Exercice 2 (sujet de bac 2021, France, mars, sujet 1) — commun à tous les candidats 5 points
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :
\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]
Puis on note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé.
1. a. Préciser la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
b. Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}_f\).
2. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), on a :
\[f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}\]
où \(f'\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(f\).
3. Déterminer les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).
Par ailleurs, on établira un tableau de variations de la fonction \(f\) dans lequel apparaîtront les limites.
4. Soit \(m\) un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = m\).
5. Ensuite, on note \(\Delta\) la droite d'équation \(y = -x\).
Puis on note A un éventuel point de \(\mathcal{C}_f\) d'abscisse \(a\) en lequel la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) est parallèle à la droite \(\Delta\).
a. Montrer que \(a\) est solution de l'équation \(\text{e}^x(x - 1) + x^2 = 0\).
Désormais, on note \(g\) la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = \text{e}^x(x - 1) + x^2\).
En outre, on admet que la fonction \(g\) est dérivable et on note \(g'\) sa fonction dérivée.
Question 5 b
b. Calculer \(g'(x)\) pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de \(g\) sur \([0\,;\,+\infty[\).
c. Montrer qu'il existe un unique point \(A\) en lequel la tangente à \(\mathcal{C}_f\) est parallèle à la droite \(\Delta\).
Exercice 3 (sujet de bac 2021, France, mars, sujet 1) — commun à tous les candidats 5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
![Pyramide SABCD à base carrée ABCD de centre I, avec les milieux K de [SD], L de [SC] et M de [SB]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/09/bac-2021-metropole-mars-sujet-1-p2-1.webp)
SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point I est le centre du carré ABCD.
Par ailleurs, on suppose que : IC = IB = IS = 1.
Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :
| a. (DK) et (SD) | b. (AS) et (IC) | c. (AC) et (SB) | d. (LM) et (AD) |
Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace \(\left(\text{I}\,;\,\overrightarrow{\text{IC}},\,\overrightarrow{\text{IB}},\,\overrightarrow{\text{IS}}\right)\).
Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants :
\[\text{I}(0\,;\,0\,;\,0) \quad;\quad \text{A}(-1\,;\,0\,;\,0) \quad;\quad \text{B}(0\,;\,1\,;\,0) \quad;\quad \text{C}(1\,;\,0\,;\,0) \quad;\quad \text{D}(0\,;\,-1\,;\,0) \quad;\quad \text{S}(0\,;\,0\,;\,1).\]
2. Les coordonnées du milieu N de [KL] sont :
| a. \(\left(\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4}\right)\) | b. \(\left(\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) | c. \(\left(-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) | d. \(\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)\) |
3. Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AS}}\) sont :
| a. \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) | b. \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) | c. \(\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) | d. \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) |
4. Une représentation paramétrique de la droite (AS) est :
| a. \(\left\{\begin{array}{l} x = -1-t\\ y = t\\ z = -t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})\) | b. \(\left\{\begin{array}{l} x = -1+2t\\ y = 0\\ z = 1+2t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})\) | c. \(\left\{\begin{array}{l} x = t\\ y = 0\\ z = 1+t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})\) | d. \(\left\{\begin{array}{l} x = -1-t\\ y = 1+t\\ z = 1-t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})\) |
5. Une équation cartésienne du plan (SCB) est :
| a. \(y+z-1=0\) | b. \(x+y+z-1=0\) | c. \(x-y+z=0\) | d. \(x+z-1=0\) |
Exercice au choix du candidat (5 points)
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B. Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.
Exercice A — au choix 5 points
Principaux domaines abordés : Suites numériques ; raisonnement par récurrence ; suites géométriques.
La suite \((u_n)\) est définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\),
\[u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.\]
1. Calculer, en détaillant les calculs, \(u_1\) et \(u_2\) sous forme de fraction irréductible.
L'extrait, reproduit ci-dessous, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite \((u_n)\).
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | \(n\) | \(u_n\) |
| 2 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 1,75 |
| 4 | 2 | 2,5625 |
| 5 | 3 | 3,421875 |
| 6 | 4 | 4,31640625 |
2. a. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de \((u_n)\) dans la colonne B ?
b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\).
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(n \leqslant u_n \leqslant n + 1\).
b. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\).
c. Démontrer que :
\[\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\]
4. Désormais, on désigne par \((v_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = u_n - n\).
a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{3}{4}\).
b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n\).
Exercice B — au choix 5 points
Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; convexité.
Ensuite, on considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :
\[f(x) = x + 4 - 4\ln(x) - \dfrac{3}{x}\]
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Puis on note \(\mathcal{C}\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé.
1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
2. Par ailleurs, on admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout nombre réel \(x \gt 0\), on a :
\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.\]
3. a. Donner le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).
Par ailleurs, on y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
Par ailleurs, on admettra que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty\).
b. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = \dfrac{5}{3}\).
4. Étudier la convexité de la fonction \(f\) c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) sur lesquelles \(f\) est convexe, et celles sur lesquelles \(f\) est concave.
Par ailleurs, on justifiera que la courbe \(\mathcal{C}\) admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.
Comment aborder ce sujet de bac 2021, France, mars, sujet 1
L'énoncé du sujet de bac 2021, France, mars, sujet 1 du 15 mars 2021 comporte cinq exercices, dont deux au choix. D'abord, l'exercice 1 (5 points) porte sur : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) traite : limites et croissances comparées, dérivée d'un quotient, tableau de variations, nombre de solutions, tangente, fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires. Puis, l'exercice 3 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : droites coplanaires, milieu, coordonnées de vecteur, représentation paramétrique, équation cartésienne de plan. Puis, l'exercice A (5 points) aborde : suite récurrente, tableur, raisonnement par récurrence, encadrement et théorème des gendarmes, suite géométrique. Enfin, l'exercice B (5 points) traite : fonction logarithme, croissances comparées, trinôme du second degré, tableau de variations, dérivée seconde, convexité, point d'inflexion.
Ainsi, avec quatre heures pour vingt points, comptez environ douze minutes par point. Par exemple, l'exercice 1, noté sur 5 points, mérite à peu près 60 minutes. Enfin, gardez un quart d'heure pour relire vos résultats.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2021, France, mars, sujet 1
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Une fois l'épreuve terminée, comparez vos réponses avec la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2021
- France, jour 1
- France, jour 2
- France, mars, sujet 2
- Amérique du Nord, mai
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
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