Sujet du bac de maths 2021 : Centres étrangers, jour 2
Ensuite, voici le sujet de bac de spécialité maths 2021 des centres étrangers, jour 2 (candidats libres, sujet 2), tombé le 10 juin 2021. De plus, il s'ouvre sur un QCM de cinq questions qui balaie tangente, limite de suite, loi binomiale, limite en l'infini et un petit dénombrement autour d'un code à 8 signes. Vient ensuite l'évolution des panneaux d'une centrale solaire, étudiée d'abord avec une suite arithmético-géométrique et un script Python, puis avec une fonction exponentielle.
Ensuite, le troisième exercice se passe dans un cube : on y cherche pour quelles positions d'un point le quadrilatère FJLK devient un losange ou un carré. Au choix, l'exercice A optimise un dépistage sanguin groupé à l'aide du logarithme, l'exercice B retrouve une fonction à partir de sa courbe puis résout une équation différentielle. Ensuite, cherche chaque question sur ta copie avant d'aller voir le corrigé détaillé.
Entraînez-vous en temps limité, puis comparez avec la correction complète. Toutes les annales depuis 2020 sont listées sur notre page consacrée au bac de maths.
Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2021
Centres étrangers — Jour 2 (candidats libres, sujet 2) — 10 juin 2021
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Aussi, le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.
Exercice 1 (sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2) 5 points
Commun à tous les candidats
De même, de même, de même, de même, cet exercice est un questionnaire à choix multiples. De plus, pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte un point. Ensuite, une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Question 1 :
De plus, désormais, on considère la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = x^2 + 2x - \dfrac{3}{x}\).
Une équation de la tangente à la courbe représentative de \(g\) au point d'abscisse 1 est :
| a. \(y = 7(x-1)\) | b. \(y = x - 1\) | c. \(y = 7x + 7\) | d. \(y = x + 1\) |
Question 2 :
Ensuite, ensuite, on considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = \dfrac{3n}{n+2}\). Puis on cherche à déterminer la limite de \(v_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
| a. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 1\) | b. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 3\) | c. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{3}{2}\) | d. On ne peut pas la déterminer |
Question 3 : De plus, dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. Par ailleurs, on effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à \(10^{-4}\) près) d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?
| a. \(0{,}1662\) | b. \(0{,}4\) | c. \(0{,}1115\) | d. \(0{,}8886\) |
Question 4 :
Après cela, ensuite, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\text{e}^x - x\).
| a. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3\) | b. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) | c. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\) | d. On ne peut pas déterminer la limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) |
Exercice 1 (sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2) 5 points (suite)
Question 5 :
Ensuite, un code inconnu est constitué de 8 signes.
Ensuite, chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Par ailleurs, il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.
Par ailleurs, un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. Puis en combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?
| a. environ 0,3 seconde | b. environ 8 heures | c. environ 3 heures | d. environ 470 heures |
Exercice 2 (sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2) 5 points
Commun à tous les candidats
Au 1er janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait 10 560 panneaux solaires.
Également, par ailleurs, on observe, chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.
Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite
On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\,560\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250\), où \(u_n\) est le nombre de panneaux solaires au 1er janvier de l'année \(2020 + n\).
1. a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
b. Ensuite, on souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000.
À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
c. De plus, recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.
u = 10560
n = 0
while ……… :
u = ………
n = ………
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \leqslant 12\,500\).
3. Puis, de plus, démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
4. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. Ensuite, il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
5. Ensuite, on définit la suite \((v_n)\) par \(v_n = u_n - 12\,500\), pour tout entier naturel \(n\).
a. Par ailleurs, démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}98\) dont on précisera le premier terme.
b. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) en fonction de \(n\).
c. Par ailleurs, en déduire, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) en fonction de \(n\).
Question 5 d
d. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
De même, de fait, interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction
Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [0\,;\,+\infty[\) par
\[f(x) = 12\,500 - 500\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4},\]
où \(x\) représente le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2020.
1. Ainsi, étudier le sens de variation de la fonction \(f\).
2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
3. Également, en utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires dépassera 12 000.
Exercice 3 (sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2) 5 points
Commun à tous les candidats
ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG].
Puis, il existe donc \(a \in [0\,;\,1]\) tel que \(\overrightarrow{\text{CJ}} = a\,\overrightarrow{\text{CG}}\).
Puis on note \((d)\) la droite passant par I et parallèle à (FJ).
Ainsi, désormais, on note K et L les points d'intersection de la droite \((d)\) et des droites (AE) et (DH).
Ensuite, on se place dans le repère \(\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)\).
Partie A : Dans cette partie \(a = \dfrac{2}{3}\)
![Cube ABCDEFGH avec le point I centre de la face ADHE, le point J sur l'arête [CG], la droite (d) passant par I et coupant (AE) en K et (DH) en L, et le quadrilatère FJLK grisé – sujet 2021 étrangers](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/09/bac-2021-centres-etrangers-j2-p3-1.webp)
1. Par ailleurs, donner les coordonnées des points F, I et J.
2. Ensuite, déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\).
3. a. Montrer que le point de coordonnées \(\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3}\right)\) est le point K.
b. Par ailleurs, déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites \((d)\) et (DH).
4. a. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
b. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.
c. Aussi, le quadrilatère FJLK est-il un carré ?
Partie B : Cas général
On admet que les coordonnées des points K et L sont : \(\text{K}\left(0\,;\,0\,;\,1 - \dfrac{a}{2}\right)\) et \(\text{L}\left(0\,;\,1\,;\,\dfrac{a}{2}\right)\).
De même, en outre, on rappelle que \(a \in [0\,;\,1]\).
1. Déterminer les coordonnées de J en fonction de \(a\).
2. Aussi, montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
3. Également, existe-t-il des valeurs de \(a\) telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Puis justifier.
4. Par ailleurs, existe-t-il des valeurs de \(a\) telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? De plus, justifier.
Exercice A (sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2) — au choix du candidat : fonction ln 5 points
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Partie A
Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de \(0{,}05\).
Ensuite, on possède un test de dépistage de cette maladie.
Également, ensuite, on considère un échantillon de \(n\) personnes (\(n \geqslant 20\)) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.
Ensuite, on teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces \(n\) individus, on teste le mélange.
De plus, de plus, de plus, si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Ensuite, soit \(X_n\) la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.
1. De fait, montrer \(X_n\) prend les valeurs 1 et \((n+1)\).
2. Prouver que \(P(X_n = 1) = 0{,}95^n\).
De plus, établir la loi de \(X_n\) en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :
| \(x_i\) | 1 | \(n+1\) |
|---|---|---|
| \(P(X_n = x_i)\) |
3. De plus, que représente l'espérance de \(X_n\) dans le cadre de l'expérience ?
Montrer que \(E(X_n) = n + 1 - n \times 0{,}95^n\).
Partie B
1. On considère la fonction \(f\) définie sur \([20\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \ln(x) + x\ln(0{,}95)\).
Aussi, montrer que \(f\) est décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\).
2. En outre, on rappelle que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\). Ensuite, montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
3. Également, montrer que \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(a\) sur \([20\,;\,+\infty[\).
Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.
4. En déduire le signe de \(f\) sur \([20\,;\,+\infty[\).
Partie C
Ensuite, on cherche à comparer deux types de dépistages.
La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
Puis, la première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que \(E(X_n) \lt n\).
En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.
Exercice B (sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2) — au choix du candidat : équation différentielle 5 points
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Partie A : Détermination d’une fonction \(f\) et résolution d’une équation différentielle
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = \text{e}^x + ax + b\,\text{e}^{-x}\]
où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.
Dans le plan muni d'un repère d'origine O, on a représenté ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}\), représentant la fonction \(f\), et la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 0.
1. Également, par lecture graphique, donner les valeurs de \(f(0)\) et de \(f'(0)\).
2. En utilisant l'expression de la fonction \(f\), exprimer \(f(0)\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(b\).
3. Par ailleurs, on admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
a. Donner, pour tout réel \(x\), l'expression de \(f'(x)\).
b. Exprimer \(f'(0)\) en fonction de \(a\).
c. En utilisant les questions précédentes, déterminer \(a\), puis en déduire l'expression de \(f(x)\).
4. Puis on considère l'équation différentielle :
\[(E) :\quad y' + y = 2\text{e}^x - x - 1\]
a. Aussi, vérifier que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[g(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x}\]
est solution de l'équation \((E)\).
b. Résoudre l'équation différentielle \(y' + y = 0\).
c. En déduire toutes les solutions de l'équation \((E)\).
Partie B : Étude de la fonction \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\)
1. Vérifier que pour tout réel \(x\), on a :
\[\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)\]
2. En déduire une expression factorisée de \(g'(x)\), pour tout réel \(x\).
3. Par ailleurs, on admettra que, pour tout \(x \in [1\,;\,+\infty[\), \(\text{e}^x - 2 \gt 0\).
Étudier le sens de variation de la fonction \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\).
Comment aborder ce sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2
Ce sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2 du 10 juin 2021 compte cinq exercices, dont deux au choix. D'abord, l'exercice 1 (5 points) traite : qCM : tangente, limite de suite, loi binomiale, limite avec l'exponentielle, dénombrement. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) aborde : suite arithmético-géométrique, récurrence, algorithme de seuil en Python, suite géométrique auxiliaire, fonction exponentielle. Puis, l'exercice 3 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : coordonnées dans un cube, représentation paramétrique, égalité de vecteurs, distances et produit scalaire. Puis, l'exercice A (5 points) porte sur : variable aléatoire à deux valeurs, espérance, étude d'une fonction avec ln, théorème des valeurs intermédiaires, application à un dépistage. Enfin, l'exercice B (5 points) porte sur : lecture graphique, dérivée et tangente, fonction exponentielle, équation différentielle, variations.
Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 60 minutes pour l'exercice 1, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2021, Centres étrangers, jour 2
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Une fois l'épreuve terminée, comparez vos réponses avec la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2021
- France, jour 1
- France, mars, sujet 1
- France, jour 2
- France, mars, sujet 2
- Amérique du Nord, mai
- Centres étrangers, jour 1
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.
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