Corrigé du brevet de maths 2008 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2008 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Nord 2008
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2008 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions, puissances et racines » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « PGCD et lots » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Repère et triangle rectangle » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Cercle et losange » (activités géométriques).
Ensuite, la correction reprend « Thalès et aires » (exercice 1 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Squash : tableau et inéquation » (exercice 2 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Squash : graphique » (exercice 3 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Squash : le bon choix » (problème).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2008 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, les équations et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Nord 2008)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances de 10 et racines carrées
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction. On commence donc par le produit, en simplifiant avant de multiplier : \(21=7\times3\) et \(8=2\times4\).
\[\dfrac{2}{7}\times\dfrac{21}{8}=\dfrac{2\times7\times3}{7\times2\times4}=\dfrac{3}{4}\]
On soustrait ensuite en mettant au même dénominateur 28 :
\[\text{A}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{12}{28}-\dfrac{21}{28}=-\dfrac{9}{28}\]
9 et 28 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 (\(9=3^2\), \(28=2^2\times7\)), donc la fraction est irréductible : \(\text{A}=-\dfrac{9}{28}\).
2. a. De même, on regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre : \(3\times1{,}8=5{,}4\) et \(10^2\times10^{-3}=10^{-1}\).
\[\text{B}=\dfrac{5{,}4}{6}\times\dfrac{10^{-1}}{10^{4}}=0{,}9\times10^{-5}\]
Multiplier par \(10^{-5}\), c’est décaler la virgule de 5 rangs vers la gauche : \(\text{B}=0{,}000\,009\).
b. Le premier chiffre non nul est 9, placé au 6e rang après la virgule : \(\text{B}=9\times10^{-6}\).
3. On fait apparaître dans chaque radicande un carré parfait multiplié par 3, puis on utilise \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) :
\[\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\ ;\quad \sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\ ;\quad \sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=7\sqrt{3}\]
\[\text{C}=2\sqrt{3}-5\times5\sqrt{3}+2\times7\sqrt{3}=(2-25+14)\sqrt{3}\]
Donc \(\text{C}=-9\sqrt{3}\), avec \(a=-9\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, équation produit
1. D’abord, on développe le produit par double distributivité, et le carré avec l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :
\[(12x+3)(2x-7)=24x^2-84x+6x-21=24x^2-78x-21\]
\[(2x-7)^2=4x^2-28x+49\]
Attention au signe « moins » devant le carré : il change tous les signes de la parenthèse.
\[D=24x^2-78x-21-4x^2+28x-49\]
\(D=20x^2-50x-70\).
2. Le facteur \((2x-7)\) est présent dans les deux termes, puisque \((2x-7)^2=(2x-7)(2x-7)\). On le met en facteur :
\[D=(2x-7)\big[(12x+3)-(2x-7)\big]=(2x-7)(12x+3-2x+7)=(2x-7)(10x+10)\]
Comme \(10x+10=10(x+1)\), on obtient \(D=10(2x-7)(x+1)\) (la forme \((2x-7)(10x+10)\) est aussi correcte).
3. Pour \(x=2\), la forme développée donne \(D=20\times4-50\times2-70=80-100-70\), soit \(D=-90\).
Pour \(x=-1\), la forme factorisée est la plus rapide : le facteur \(x+1\) vaut 0, donc \(D=0\).
4. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[2x-7=0\ \text{donne}\ x=\dfrac{7}{2}=3{,}5\ ;\qquad x+1=0\ \text{donne}\ x=-1\]
L’équation a deux solutions : \(-1\) et \(\dfrac{7}{2}\). Ensuite, on remarque au passage que ce sont exactement les valeurs qui annulent \(D\), ce que confirme la question 3.
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2008) : PGCD et lots de billes
1. On applique l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.
| Dividende | Diviseur | Quotient | Reste |
|---|---|---|---|
| 378 | 270 | 1 | 108 |
| 270 | 108 | 2 | 54 |
| 108 | 54 | 2 | 0 |
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(378 ; 270) = 54.
2. a. Toutes les billes et tous les calots sont utilisés et les lots sont identiques : le nombre de lots doit donc diviser 378 et diviser 270. C’est un diviseur commun de ces deux nombres, et on veut le plus grand possible : c’est leur PGCD. Le comité pourra faire 54 lots.
b. \(378\div54=7\) et \(270\div54=5\). Chaque lot contiendra 7 billes et 5 calots.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : triangle rectangle et parallélogramme dans un repère
1. Tout d’abord, on place A(−2 ; 1), B(0 ; 5) et C(6 ; −3) dans un repère orthonormé avec la même unité sur les deux axes. La figure complète, avec le point M de la question 4, est donnée ci-dessous.
2. Dans un repère orthonormé, \(\text{AC}^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\).
\[\text{AC}^2=(6-(-2))^2+(-3-1)^2=8^2+(-4)^2=64+16=80\]
Donc \(\text{AC}=\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt{5}\). On a bien \(\text{AC}=4\sqrt{5}\).
3. Le plus long côté est [BC], car \(\text{BC}=10\), alors que \(\text{AC}=4\sqrt{5}\approx8{,}9\) et \(\text{AB}=2\sqrt{5}\approx4{,}5\). On compare le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres :
\[\text{BC}^2=100\ ;\qquad \text{AB}^2+\text{AC}^2=(2\sqrt{5})^2+80=20+80=100\]
L’égalité \(\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2\) est vérifiée, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
4. Pour aller de A à B, on avance de 2 unités vers la droite et on monte de 4 unités. Le point M s’obtient en faisant le même déplacement à partir de C : \(x_M=6+2=8\) et \(y_M=-3+4=1\). M a pour coordonnées (8 ; 1) (voir la figure).
5. L’égalité \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CM}}\) signifie que ABMC est un parallélogramme (attention à l’ordre des lettres : A, B, M, C). Ce parallélogramme a un angle droit en A d’après la question 3. Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle. ABMC est un rectangle. Ce n’est pas un carré, puisque ses côtés consécutifs [AB] et [AC] n’ont pas la même longueur (\(2\sqrt{5}\neq4\sqrt{5}\)).
Corrigé de l’exercice 2 (Nord 2008) : triangle inscrit dans un cercle et losange
1. Le point K appartient au cercle \(\mathcal{C}\) de diamètre [IJ]. Propriété : si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle, et l’angle droit est au sommet opposé à ce diamètre. Le triangle IJK est rectangle en K.
2. Le diamètre mesure 8 cm, donc le rayon mesure 4 cm. Comme J et K sont sur le cercle de centre O, \(\text{OJ}=\text{OK}=4\) cm. De plus \(\text{JK}=4\) cm d’après l’énoncé. Les trois côtés ont la même longueur : le triangle OJK est équilatéral.
3. O et J sont sur la droite (IJ), qui sert d’axe de symétrie. Une symétrie axiale conserve les longueurs et laisse fixes les points de l’axe. Le symétrique de [OK] est donc [OR] et celui de [JK] est [JR], d’où :
\[\text{OR}=\text{OK}=4\ \text{cm}\qquad\text{et}\qquad \text{JR}=\text{JK}=4\ \text{cm}\]
Avec la question 2, les quatre côtés du quadrilatère ROKJ mesurent 4 cm : \(\text{RO}=\text{OK}=\text{KJ}=\text{JR}\). Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange. ROKJ est un losange.
Corrigé de l’exercice 3 : réciproque de Thalès et rapport d’aires
1. Les points A, O, M d’une part et B, O, N d’autre part sont alignés dans le même ordre (O est entre A et M, et entre B et N). Puis on calcule les deux rapports :
\[\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}=\dfrac{5{,}4}{3}=1{,}8\qquad\text{et}\qquad\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}=\dfrac{4{,}5}{2{,}5}=1{,}8\]
Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
2. Puisque (AB) et (MN) sont parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{AB}}\), donc \(\dfrac{\text{MN}}{1{,}2}=1{,}8\).
\[\text{MN}=1{,}8\times1{,}2=2{,}16\]
MN = 2,16 cm.
3. Le triangle ONM est un agrandissement du triangle OAB de coefficient 1,8. Quand les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) : \(1{,}8^2=3{,}24\). La bonne réponse est c. 3,24.
Problème
Corrigé de la première partie (Nord 2008) : tarifs du club de squash
1. a. Avec le tarif A, on paie 8 € fois le nombre de séances ; avec le tarif B, 40 € plus 5 € par séance ; avec le tarif C, 160 € quel que soit le nombre de séances. Par exemple pour 18 séances : \(8\times18=144\) et \(40+5\times18=130\).
| Nombre de séances | 10 | 18 | 25 |
|---|---|---|---|
| Dépense totale avec le tarif A | 80 € | 144 € | 200 € |
| Dépense totale avec le tarif B | 90 € | 130 € | 165 € |
| Dépense totale avec le tarif C | 160 € | 160 € | 160 € |
b. Pour 10 séances, la dépense la plus faible est 80 €. Le tarif A est le plus avantageux pour 10 séances.
2. a. \(f(x)=8x\) (fonction linéaire).
b. \(g(x)=5x+40\) (fonction affine).
c. \(h(x)=160\) (fonction constante).
3. a. Alors on regroupe les termes en \(x\) dans le membre de droite en soustrayant \(5x\) aux deux membres :
\[5x+40\leqslant 8x\iff 40\leqslant 3x\iff \dfrac{40}{3}\leqslant x\]
On a divisé par 3, qui est positif, donc le sens de l’inégalité ne change pas. Les solutions sont les nombres \(x\geqslant\dfrac{40}{3}\), avec \(\dfrac{40}{3}\approx13{,}33\).
b. L’inéquation s’écrit \(g(x)\leqslant f(x)\) : elle compare la dépense avec le tarif B à la dépense avec le tarif A. Les entiers solutions sont 14, 15, 16… Ce sont les nombres de séances pour lesquels le tarif B coûte moins cher que le tarif A : à partir de 14 séances, le tarif B est plus intéressant que le tarif A. (Comme \(\dfrac{40}{3}\) n’est pas entier, il n’y a jamais égalité pour un nombre entier de séances.)
Corrigé de la deuxième partie : lecture graphique
1. Avec 0,5 cm par séance, l’axe des abscisses de 0 à 30 séances mesure 15 cm. Avec 1 cm pour 10 €, il faut monter jusqu’à 240 € (valeur de \(f(30)\)), soit 24 cm : c’est pour cela que la feuille est placée verticalement.
2. Les trois représentations sont des droites (ou une partie de droite pour \(0\leqslant x\leqslant30\)), il suffit de deux points pour chacune :
- \(f\) : droite passant par l’origine et par le point (30 ; 240) ;
- \(g\) : droite passant par (0 ; 40) et (30 ; 190) ;
- \(h\) : droite horizontale d’ordonnée 160.
3. a. Ensuite, on trace la droite verticale d’abscisse 10. Elle coupe d’abord la droite de \(f\) (à 80 €), puis celle de \(g\) (à 90 €) et enfin celle de \(h\) (à 160 €). Le point le plus bas est sur la droite de \(f\) : on retrouve que le tarif A est le plus avantageux pour 10 séances.
b. La droite de \(h\) est sous celle de \(f\) à partir de l’abscisse 20, et sous celle de \(g\) à partir de l’abscisse 24, où les deux droites se coupent (\(5\times24+40=160\)). Pour 24 séances, les tarifs B et C coûtent tous deux 160 €. Le tarif C devient le plus avantageux à partir de 25 séances (il est à égalité avec le tarif B pour 24 séances).
c. Puis on trace la droite horizontale d’ordonnée 130. La droite de \(h\) est toujours au-dessus (160 € dépasse le budget). La droite de \(f\) est coupée vers l’abscisse 16,25, donc au plus 16 séances avec le tarif A. De même, la droite de \(g\) est coupée à l’abscisse 18. Mélissa doit choisir le tarif B, qui lui permet 18 séances pour 130 €.
Corrigé de la troisième partie : le choix de l’amie de Mélissa
Une semaine sur deux pendant 52 semaines, cela fait \(52\div2=26\) séances. Ensuite, on calcule le coût de ces 26 séances avec chaque tarif :
- tarif A : \(f(26)=8\times26=208\) € ;
- tarif B : \(g(26)=5\times26+40=170\) € ;
- tarif C : \(h(26)=160\) €.
Même en venant deux fois moins que prévu, elle paie avec le tarif C la somme la plus faible. Oui, elle a fait le bon choix : c’est ce qu’annonçait la question 3. b. de la deuxième partie, puisque 26 est supérieur à 24.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nord 2008
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord 2008 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2008
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2008 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2008. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2008
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
Les autres corrigés du brevet 2008
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- Corrigé du brevet de maths 2008 : Centres étrangers
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
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