Corrigé du brevet de maths 2008 : Liban

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2008 : Liban. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Liban 2008

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Liban 2008 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Système : boules et guirlandes » (activités numériques). Ensuite, le corrigé explique « Développer et factoriser » (exercice 1 de la partie numérique). Puis la correction reprend « QCM de géométrie » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Repérage et parallélogramme » (activités géométriques). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Paquets de lessive et PGCD » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, le corrigé explique « Masse d’un paquet, fonction affine » (exercice 2 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Bande publicitaire à l’échelle » (problème).

Ainsi, le corrigé corrigé Liban 2008 te fait revoir les systèmes d’équations, les équations, la trigonométrie, les transformations du plan et les angles inscrits, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Activités numériques (corrigé Liban 2008)

Corrigé de l’exercice 1 : boules et guirlandes, un système

1. Le premier client achète 6 boules et 1 guirlande pour 18,40 €. Dans l’équation \(6x+y=18{,}40\), \(x\) est donc le prix d’une boule et \(y\) le prix d’une guirlande, tous deux en euros (prix sans réduction).

2. a. Si un article coûte \(P\) euros, la réduction est \(\dfrac{20}{100}\times P=0{,}2P\). Le nouveau prix est :

\[P-0{,}2P=(1-0{,}2)\times P=0{,}8P\]

Appliquer une réduction de 20 % revient donc bien à multiplier le prix par 0,8 : on paie 80 % du prix.

b. Sans réduction, 5 boules et 5 guirlandes coûtent \(5x+5y\) euros. Avec la carte, le client paie 80 % de ce montant :

\[0{,}8\times(5x+5y)=25{,}60,\quad\text{soit}\quad 4x+4y=25{,}60\]

En divisant les deux membres par 4 : \(x+y=6{,}40\).

3. Ensuite, on soustrait la deuxième équation à la première, membre à membre, pour éliminer \(y\) :

\[(6x+y)-(x+y)=18{,}40-6{,}40,\quad\text{donc}\quad 5x=12\quad\text{et}\quad x=2{,}4\]

On remplace dans la deuxième équation : \(2{,}4+y=6{,}40\), donc \(y=4\).

Vérification dans la première équation : \(6\times 2{,}4+4=14{,}4+4=18{,}4\). La solution du système est le couple \((x\,;\,y)=(2{,}4\,;\,4)\).

4. Une boule coûte 2,40 € et une guirlande 4 €.

Contrôle avec le deuxième client : \(5\times 2{,}40+5\times 4=32\) €, et \(0{,}8\times 32=25{,}60\) €.

Corrigé de l’exercice 2 : développer ou factoriser ?

1. a. D’abord, on développe chaque morceau. Avec l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\[(x-5)^2=x^2-10x+25\]

Par double distributivité :

\[(x-5)(2x+1)=2x^2+x-10x-5=2x^2-9x-5\]

Puis on additionne et on réduit : \(E=3x^2-19x+20\).

b. Pour \(x=\sqrt{3}\), on utilise \((\sqrt{3})^2=3\) :

\[E=3\times 3-19\sqrt{3}+20=\mathbf{29-19\sqrt{3}}\]

c. Oui, Marc a eu raison : dans la forme développée, \(\sqrt{3}\) n’apparaît qu’au carré (qui vaut 3) et une seule fois seul. Le calcul se fait en une ligne. Avec la forme de départ, il aurait fallu développer \((\sqrt{3}-5)^2\) et \((\sqrt{3}-5)(2\sqrt{3}+1)\), ce qui est plus long et source d’erreurs.

2. a. Le facteur \((x-5)\) apparaît dans les deux termes de \(E\). Si \(x=5\), il vaut 0 et chaque terme est nul. Léa a trouvé \(x=5\).

b. Alors on met \((x-5)\) en facteur commun :

\[E=(x-5)\times(x-5)+(x-5)\times(2x+1)=(x-5)\big[(x-5)+(2x+1)\big]\]

\[E=(x-5)(x-5+2x+1)=(x-5)(3x-4)\]

Ensuite, on a bien \(E=(x-5)(3x-4)\).

c. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Soit \(x-5=0\), c’est-à-dire \(x=5\) ; soit \(3x-4=0\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{4}{3}\).

La seconde solution est \(x=\dfrac{4}{3}\).

3. La forme factorisée est la plus pratique : deux soustractions et une multiplication, sans carré de fraction.

\[x-5=\dfrac{1}{9}-\dfrac{45}{9}=-\dfrac{44}{9}\qquad 3x-4=\dfrac{3}{9}-4=\dfrac{1}{3}-\dfrac{12}{3}=-\dfrac{11}{3}\]

\[E=\left(-\dfrac{44}{9}\right)\times\left(-\dfrac{11}{3}\right)=\dfrac{484}{27}\]

De même, la fraction est irréductible car \(484=2^2\times 11^2\) et \(27=3^3\) n’ont aucun facteur premier commun. Donc \(E=\dfrac{484}{27}\).

Contrôle avec la forme développée : \(3\times\dfrac{1}{81}-\dfrac{19}{9}+20=\dfrac{1}{27}-\dfrac{57}{27}+\dfrac{540}{27}=\dfrac{484}{27}\). On retrouve le même résultat (la forme développée est aussi acceptable si elle est bien justifiée).

Activités géométriques (corrigé Liban 2008)

Corrigé de l’exercice 1 : QCM de géométrie

1. Le triangle ABC est rectangle en A, donc [BC] est l’hypoténuse. Pour l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\), le côté opposé est [AB] :

\[\sin\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}},\quad\text{donc}\quad\text{BC}=\dfrac{\text{AB}}{\sin 30^\circ}=\dfrac{3}{\sin 30^\circ}\]

Réponse C (et comme \(\sin 30^\circ=0{,}5\), BC = 6).

2. Le point B est le sommet commun à six petits triangles, qui forment un hexagone autour de lui : chacun occupe un angle de 60° autour de B. Une rotation de 120° fait donc « avancer » un triangle de deux places. En tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du triangle 2 (en haut à gauche de B), on passe au triangle 6 (60°), puis au triangle 7 (120°), juste sous B.

Réponse C : triangle 7.

3. L’angle inscrit \(\widehat{\text{BDC}}\) et l’angle au centre \(\widehat{\text{BOC}}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{BC}}\). L’angle au centre est le double de l’angle inscrit :

\[\widehat{\text{BOC}}=2\times 20^\circ=40^\circ\]

Comme B est entre A et C sur le cercle, les angles s’ajoutent :

\[\widehat{\text{AOC}}=\widehat{\text{AOB}}+\widehat{\text{BOC}}=64^\circ+40^\circ=104^\circ\]

Réponse B : 104°.

4. Les points A, C, D sont alignés, ainsi que B, C, E, et (AB) // (DE). D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon »), les triangles CAB et CDE ont leurs côtés proportionnels :

\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}}=\dfrac{\text{CB}}{\text{CE}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{DE}},\quad\text{soit}\quad\dfrac{2}{5}=\dfrac{\text{BC}}{9}\]

Réponse C (on obtient BC = 3,6).

Corrigé de l’exercice 2 : repérage, parallélogramme et triangle équilatéral

1. Les points sont placés sur la figure ci-dessous (avec les constructions des questions suivantes).

2. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :

\[x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+(-2)}{2}=-0{,}5\qquad y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{3+1}{2}=2\]

Donc M(−0,5 ; 2).

3. Puis on calcule « arrivée moins départ » :

\[\overrightarrow{\text{BC}}\,(x_C-x_B\,;\,y_C-y_B)=(-2-2\,;\,1-(-1))\]

Donc \(\overrightarrow{\text{BC}}\,(-4\,;\,2)\).

4. Le quadrilatère ABCE est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{BC}}\) (les côtés [AE] et [BC] sont opposés). Avec E\((x\,;\,y)\) :

\[x-1=-4\quad\text{et}\quad y-3=2\]

d’où \(x=-3\) et \(y=5\) : E(−3 ; 5).

Autre vérification : les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu. Le milieu de [BE] a pour coordonnées \(\left(\dfrac{2-3}{2}\,;\,\dfrac{-1+5}{2}\right)=(-0{,}5\,;\,2)\) : c’est bien M, le milieu de [AC].

5. a. Le centre d’un triangle équilatéral est aussi le centre de son cercle circonscrit. Les sommets B, F et G sont donc sur le cercle de centre D passant par B, et ils le partagent en trois arcs égaux (angles au centre de 120°). Construction :

• trace le cercle \(\mathcal{C}\) de centre D et de rayon DB ;
• trace la droite (BD) : elle recoupe \(\mathcal{C}\) en B’, diamétralement opposé à B ;
• trace le cercle de centre B’ et de même rayon DB : il coupe \(\mathcal{C}\) en deux points, F et G ;
• relie B, F et G.

Pourquoi ça marche : le triangle DB’F a trois côtés égaux au rayon, il est équilatéral, donc \(\widehat{\text{B^{\prime}DF}}=60^\circ\) et \(\widehat{\text{BDF}}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\) ; de même \(\widehat{\text{BDG}}=120^\circ\), donc \(\widehat{\text{FDG}}=120^\circ\). Les trois cordes [BF], [FG] et [GB] sont égales : BFG est équilatéral de centre D.

b. Dans un repère orthonormé :

\[\text{BD}=\sqrt{(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2}=\sqrt{(4-2)^2+(-2+1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\]

Valeur exacte : \(\text{BD}=\sqrt{5}\) cm ; valeur arrondie au millimètre : BD ≈ 2,2 cm (car \(\sqrt{5}\approx 2{,}236\)).

Problème (corrigé Liban 2008)

Corrigé de la partie 1 : ranger les paquets (PGCD)

1. Pour recouvrir exactement le fond sans découper de paquet, l’arête (entière) doit diviser à la fois 96 et 156. La plus grande arête possible est donc le PGCD de 96 et 156. Algorithme d’Euclide :

\[156=1\times 96+60\qquad 96=1\times 60+36\qquad 60=1\times 36+24\]

\[36=1\times 24+12\qquad 24=2\times 12+0\]

Le dernier reste non nul est 12 : PGCD(96 ; 156) = 12. La longueur maximale de l’arête est bien 12 cm.

2. Dans la largeur : \(96\div 12=8\) paquets ; dans la longueur : \(156\div 12=13\) paquets. Au fond de la caisse : \(8\times 13=\) 104 paquets.

3. En hauteur : \(144\div 12=12\) couches de 104 paquets, soit \(12\times 104=\) 1 248 paquets par caisse.

Corrigé de la partie II : masse d’un paquet, fonction affine

1. a. La masse de lessive est égale à 1,5 fois le volume ; la masse totale ajoute les 200 g du paquet vide.

b. Ensuite, on résout \(1{,}5x+200=2\,300\) :

\[1{,}5x=2\,100,\quad x=\dfrac{2\,100}{1{,}5}=1\,400\]

Le paquet doit contenir 1 400 cm³ de lessive.

2. a. \(f(x)=1{,}5x+200\) est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. Deux points suffisent, par exemple \((0\,;\,200)\) et \((1\,600\,;\,2\,600)\) (dernière colonne chiffrée du tableau). Avec l’échelle demandée (1 cm pour 200 cm³ et 1 cm pour 200 g), le premier point est à 1 cm au-dessus de l’origine et le second à 8 cm à droite et 13 cm en haut.

b. On part de 2 300 sur l’axe des ordonnées (11,5 cm), on se déplace horizontalement jusqu’à la droite, puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses : on lit 1 400 cm³ (7 cm), ce qui confirme le calcul du 1. b.

Corrigé de la partie III : la bande publicitaire

1. La face BFGC est un carré de 12 cm de côté. À l’échelle \(\dfrac{1}{4}\), son côté mesure \(12\div 4=3\) cm.

Les croix codent des segments égaux : les arêtes [BC] et [FG] sont partagées en trois parties de 4 cm, soit 1 cm sur le dessin. Donc BL = LJ = JC = 1 cm, FK = 2 cm et KG = 1 cm. La bande est le quadrilatère LKGJ (l’énoncé écrit « LKCJ », mais d’après la figure le quatrième sommet est G).

Construction : trace un carré BFGC de 3 cm de côté, place L et J sur [BC] à 1 cm et 2 cm de B, place K sur [FG] à 2 cm de F, puis relie L à K et J à G.

2. Les côtés [LJ] et [KG] sont tous deux verticaux (portés par [BC] et [FG]), donc parallèles, et ils mesurent chacun 1 cm. Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. Puis on prend [LJ] pour base : la hauteur correspondante est la distance entre (BC) et (FG), soit 3 cm.

\[\mathcal{A}_{\text{dessin}}=\text{base}\times\text{hauteur}=1\times 3=3\ \text{cm}^2\]

L’aire de la bande sur le dessin est bien 3 cm².

Pour revenir à la réalité, les longueurs sont multipliées par 4, donc les aires sont multipliées par \(4^2=16\) :

\[\mathcal{A}_{\text{réelle}}=3\times 16=48\ \text{cm}^2\]

Contrôle direct : en vrai, la base mesure 4 cm et la hauteur 12 cm, et \(4\times 12=48\). L’aire réelle de la bande sur cette face est 48 cm².

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Bien réviser avec le corrigé corrigé Liban 2008

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Quant aux systèmes d’équations, choisis la substitution ou la combinaison selon les coefficients, puis vérifie le couple trouvé dans les deux équations. Dans les questions sur les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Pour la trigonométrie, repère d’abord le côté adjacent et le côté opposé à l’angle, car une erreur à cette étape fausse tout le calcul. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de système d’équations, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Liban 2008, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Liban 2008

Faut-il lire le corrigé corrigé Liban 2008 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2008. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les systèmes d’équations, les équations, la trigonométrie et les transformations du plan. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Liban 2008

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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