Corrigé du brevet de maths 2009 : France, septembre

Corrigé de maths – Brevet 2009 : France, septembre – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet de septembre 2009 (France, La Réunion, Mayotte) reprend toutes les questions, y compris les quatre questions au choix de la géométrie. Tu y vois comment décider si une fraction est irréductible grâce aux diviseurs premiers, comment passer d’une probabilité à un nombre de boules, et comment remonter un programme de calcul ou le traduire en équation. En géométrie, on utilise les diagonales d’un parallélogramme, le théorème des milieux, Thalès, le cosinus et la tangente, puis le coefficient de réduction au cube pour le volume d’eau. Le problème des écrans montre pourquoi les rectangles de même format donnent des points alignés avec l’origine, et pourquoi la diagonale d’un écran 16/9 vaut environ deux fois sa largeur.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2009 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé des activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : simplifier une fraction

La somme des chiffres de 1 404 est \(1+4+0+4=9\) et celle de 3 465 est \(3+4+6+5=18\) : les deux nombres sont divisibles par 3. On divise le numérateur et le dénominateur par 3 :

\[\dfrac{1\,404}{3\,465}=\dfrac{1\,404 \div 3}{3\,465 \div 3}=\dfrac{468}{1\,155}\]

La fraction obtenue est \(\dfrac{468}{1\,155}\). Elle n’est pas irréductible : la somme des chiffres de 468 vaut 18 et celle de 1 155 vaut 12, donc 468 et 1 155 sont encore tous les deux divisibles par 3. On peut simplifier une nouvelle fois :

\[\dfrac{468}{1\,155}=\dfrac{156}{385}\]

Pour aller jusqu’au bout : \(156=2^2\times 3\times 13\) et \(385=5\times 7\times 11\) n’ont aucun facteur premier commun, donc \(\dfrac{156}{385}\) est la forme irréductible.

À retenir : une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1 ; les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9) permettent de repérer vite un diviseur commun.

Corrigé de l’exercice 2 : les boules de l’urne

Les 25 boules ont la même chance d’être tirées. La probabilité de tirer une boule blanche est donc égale au nombre de boules blanches divisé par 25. On en déduit le nombre de boules blanches :

\[25\times 0{,}32=8\]

Il y a 8 boules blanches, donc \(25-8=17\) boules noires. Les boules noires sont les plus nombreuses.

Autre raisonnement possible : \(0{,}32\lt 0{,}5\), donc les blanches représentent moins de la moitié des boules.

À retenir : dans une situation d’équiprobabilité, nombre de cas favorables = probabilité × nombre total d’issues.

Corrigé de l’exercice 3 : sirop et eau

Une « unité » de recette contient \(3+5=8\) doses de boisson, dont 3 doses de sirop. Le sirop représente donc \(\dfrac{3}{8}\) du volume de la boisson.

Pour 6 litres de boisson :

\[\dfrac{3}{8}\times 6=\dfrac{18}{8}=2{,}25\]

Il faut 2,25 litres de sirop (et donc 3,75 litres d’eau ; on vérifie que \(\dfrac{2{,}25}{3{,}75}=0{,}6=\dfrac{3}{5}\)).

À retenir : dans un mélange « 3 pour 5 », la part d’un ingrédient se calcule par rapport au total \(3+5\), pas par rapport à l’autre ingrédient.

Corrigé de l’exercice 4 : deux programmes de calcul

1. Avec le programme B et le nombre 3 : \(3\times 5=15\), puis \(15-4=11\), puis \(11\times 2=22\). Le résultat est bien 22.

2. Avec le programme A et le nombre \(-2\) : \((-2)\times 3=-6\), puis \(-6+7=1\). Le résultat est 1.

3. a. Appelons \(x\) le nombre de départ. Le programme A donne \(3x+7\). On résout :

\[3x+7=-2 \quad\text{donc}\quad 3x=-9 \quad\text{donc}\quad x=-3\]

Il faut choisir \(-3\). Vérification : \((-3)\times 3+7=-9+7=-2\).

b. Le programme B donne \((5x-4)\times 2\). Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul ; ici 2 n’est pas nul, donc il faut \(5x-4=0\), c’est-à-dire \(5x=4\) et \(x=\dfrac{4}{5}=0{,}8\).

Il faut choisir 0,8. Vérification : \(0{,}8\times 5=4\), \(4-4=0\), \(0\times 2=0\).

4. Pour un nombre de départ \(x\), le programme A donne \(3x+7\) et le programme B donne \(2(5x-4)=10x-8\). On cherche \(x\) tel que :

\[3x+7=10x-8\]

\[7+8=10x-3x\]

\[15=7x \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{15}{7}\]

Il faut choisir \(\dfrac{15}{7}\). Vérification : programme A, \(3\times\dfrac{15}{7}+7=\dfrac{45}{7}+\dfrac{49}{7}=\dfrac{94}{7}\) ; programme B, \(10\times\dfrac{15}{7}-8=\dfrac{150}{7}-\dfrac{56}{7}=\dfrac{94}{7}\). Les deux programmes donnent le même résultat \(\dfrac{94}{7}\).

Remarque : \(\dfrac{15}{7}\approx 2{,}142\,857\) n’est pas un nombre décimal, c’est pourquoi il faut le laisser sous forme de fraction.

À retenir : pour comparer deux programmes de calcul, on les traduit en expressions littérales avec une lettre, puis on résout l’équation obtenue en égalant les deux expressions.

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : parallèles dans un triangle rectangle

Le sujet ne demande que deux questions sur quatre ; les quatre sont corrigées ici pour que tu puisses t’entraîner sur chacune.

1. G est le symétrique de F par rapport à O, donc O est le milieu de [FG]. D’après l’énoncé, O est aussi le milieu de [AB]. Les diagonales [AB] et [FG] du quadrilatère AFBG ont le même milieu O.

Propriété : un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc AFBG est un parallélogramme.

2. Dans le triangle ABC, F est le milieu du côté [AC] et O est le milieu du côté [AB].

Théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Donc (FO) est parallèle à (CB).

3. Les points C, A, D sont alignés, les points C, B, E sont alignés, et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles CAB et CDE :

\[\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{AB}{DE}\]

On utilise la première et la dernière égalité : \(\dfrac{1{,}8}{CD}=\dfrac{4{,}5}{12}\), donc par produit en croix :

\[CD=\dfrac{1{,}8\times 12}{4{,}5}=\dfrac{21{,}6}{4{,}5}=4{,}8\]

La longueur CD mesure 4,8 cm.

4. Le triangle CDE est rectangle en C et A, B sont sur [CD] et [CE] : l’angle \(\widehat{ACB}\) est le même que \(\widehat{DCE}\), donc le triangle ABC est rectangle en C. Son hypoténuse est [AB] et, pour l’angle \(\widehat{BAC}\), le côté adjacent est [AC]. Donc :

\[\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1{,}8}{4{,}5}=0{,}4\]

La calculatrice (touche arccos ou \(\cos^{-1}\)) donne \(\widehat{BAC}\approx 66{,}4°\), soit \(\widehat{BAC}\approx 66°\) au degré près.

À retenir : repère d’abord la configuration (diagonales de même milieu, milieux de deux côtés, droites parallèles coupant deux sécantes, triangle rectangle) : chacune appelle sa propriété, son théorème ou son rapport trigonométrique.

Corrigé de l’exercice 2 : le cône

1. Le cône est de révolution d’axe (OH) : la hauteur [OH] est perpendiculaire à la base, donc le triangle HOM est rectangle en H. Construction : trace un segment [OH] de 5 cm ; en H, trace la perpendiculaire à (OH) ; en O, construis au rapporteur un angle de 30° à partir de [OH] ; la demi-droite obtenue coupe la perpendiculaire en M.

2. La base du cône est un disque de centre H et de rayon HM. Reporte au compas la longueur HM mesurée sur ton triangle (environ 2,9 cm, voir la question 3) et trace le cercle de centre H.

Le dessin ci-dessus est réduit ; sur ta copie, les longueurs doivent être exactes à la règle.

3. Dans le triangle HOM rectangle en H, [HM] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{HOM}\) et [OH] le côté adjacent. Donc :

\[\tan\widehat{HOM}=\dfrac{HM}{OH} \quad\text{donc}\quad HM=OH\times\tan 30°=5\times\tan 30°\approx 2{,}886\]

Arrondi au millimètre : HM ≈ 2,9 cm.

4. L’eau forme un petit cône de même sommet O, dont la hauteur est le quart de celle du grand cône : c’est une réduction du grand cône de coefficient \(k=\dfrac{1}{4}\) (le rayon de la surface de l’eau est lui aussi divisé par 4, par Thalès).

Dans une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :

\[V_{\text{eau}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3\times V=\dfrac{1}{64}\times V\]

Or \(\dfrac{1}{64}=0{,}015\,625=1{,}562\,5\ \%\). L’eau occupe donc 1,562 5 % du volume du cône, soit environ 1,6 %.

Ce résultat surprend : un quart de la hauteur ne donne même pas 2 % du volume, parce que la pointe du cône est très étroite.

À retenir : dans un agrandissement ou une réduction de rapport \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\).

Corrigé du problème

Corrigé de la partie I : format d’un rectangle

1. On lit les dimensions sur l’annexe 1 et on simplifie chaque fraction \(\dfrac{L}{\ell}\) :

\(\dfrac{60}{45}=\dfrac{15\times 4}{15\times 3}=\dfrac{4}{3}\) ; \(\dfrac{80}{45}=\dfrac{5\times 16}{5\times 9}=\dfrac{16}{9}\) ; \(\dfrac{128}{72}=\dfrac{8\times 16}{8\times 9}=\dfrac{16}{9}\).

	Rectangle 1	Rectangle 2	Rectangle 3	Rectangle 4	Rectangle 5
Longueur \(L\)	32	36	60	80	128
Largeur \(\ell\)	18	27	45	45	72
\(\dfrac{L}{\ell}\) irréductible	\(\dfrac{16}{9}\)	\(\dfrac{4}{3}\)	\(\dfrac{4}{3}\)	\(\dfrac{16}{9}\)	\(\dfrac{16}{9}\)

2. a. Le rectangle 1 est au format \(\dfrac{16}{9}\) : les rectangles 4 et 5 ont le même format.

b. Le rectangle 2 est au format \(\dfrac{4}{3}\) : le rectangle 3 a le même format.

3. a. Le format donne \(\dfrac{L}{54}=\dfrac{16}{9}\), donc :

\[L=\dfrac{16\times 54}{9}=16\times 6=96\]

La longueur est 96 mm.

b. Trace un rectangle de 96 mm (9,6 cm) de long sur 54 mm (5,4 cm) de large, à l’équerre pour avoir des angles droits.

c. Pour un rectangle au format \(\dfrac{16}{9}\), \(\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{16}{9}\), donc en multipliant par \(\ell\) : \(L=\dfrac{16}{9}\,\ell\).

À retenir : deux rectangles ont le même format quand leurs fractions \(\dfrac{L}{\ell}\) sont égales, c’est-à-dire quand leurs dimensions sont proportionnelles.

Corrigé de la partie II : étude graphique

1. On place \(P_3(45\ ;\ 60)\), \(P_4(45\ ;\ 80)\) et \(P_5(72\ ;\ 128)\), l’abscisse étant la largeur et l’ordonnée la longueur.

2. Les points \(P_1\), \(P_4\) et \(P_5\), qui correspondent aux rectangles de format \(\dfrac{16}{9}\), sont sur la droite déjà tracée. On conjecture que les points des rectangles de format \(\dfrac{16}{9}\) sont tous alignés sur la droite \((\text{O}P_1)\).

3. La droite \((\text{O}P_1)\) passe par l’origine : c’est la représentation graphique d’une fonction linéaire \(x\mapsto ax\). Elle passe par \(P_1(18\ ;\ 32)\), donc \(32=a\times 18\) et \(a=\dfrac{32}{18}=\dfrac{16}{9}\). Cette droite représente donc la fonction \(x\mapsto\dfrac{16}{9}x\).

Le point M a pour coordonnées \((\ell\ ;\ L)\). Comme le rectangle est au format \(\dfrac{16}{9}\), la question 3.c de la partie I donne \(L=\dfrac{16}{9}\,\ell\) : l’ordonnée de M est l’image de son abscisse par la fonction \(x\mapsto\dfrac{16}{9}x\). Donc M appartient à la droite \((\text{O}P_1)\).

À retenir : des grandeurs proportionnelles sont représentées par des points alignés avec l’origine du repère ; le coefficient directeur de la droite est le coefficient de proportionnalité.

Corrigé de la partie III : diagonale des écrans

1. Une diagonale partage le rectangle 1 en deux triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit mesurent 32 mm et 18 mm. D’après le théorème de Pythagore, en notant \(d\) la diagonale :

\[d^2=32^2+18^2=1\,024+324=1\,348\]

\[d=\sqrt{1\,348}\approx 36{,}7\]

La diagonale du rectangle 1 mesure environ 36,7 mm (attention à l’unité : les dimensions sont en millimètres).

2. Pour un écran au format \(\dfrac{16}{9}\), \(L=\dfrac{16}{9}\,\ell\). Par Pythagore :

\[d^2=L^2+\ell^2=\dfrac{256}{81}\,\ell^2+\dfrac{81}{81}\,\ell^2=\dfrac{337}{81}\,\ell^2\]

\[d=\dfrac{\sqrt{337}}{9}\,\ell\approx 2{,}04\,\ell\]

Comme \(\dfrac{\sqrt{337}}{9}\approx 2{,}04\) est très proche de 2, la diagonale vaut environ le double de la largeur (l’erreur est d’environ 2 %). Vérification sur le rectangle 1 : \(2\times 18=36\), très proche de 36,7.

À retenir : pour justifier une approximation générale, on exprime la grandeur cherchée en fonction d’une seule lettre, puis on regarde la valeur approchée du coefficient obtenu.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2009 : France, septembre.

Les autres corrigés du brevet 2009

Tous les sujets classés par année : brevet de maths.

Voter.. post

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2009 : France, septembre» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Maths PDF c'est 16 200 978 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.