Corrigé du brevet de maths 2009 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2009 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Nord 2009
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nord 2009 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « QCM de calcul littéral » (activités numériques). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Programme de calcul » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « PGCD et colis de chocolats » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Thalès et sa réciproque » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, la correction reprend « Cosinus, Pythagore et tangente » (activités géométriques).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Aires en fonction de x » (exercice 1 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Fonctions affines et lectures graphiques » (exercice 2 de géométrie).
Ainsi, le corrigé corrigé Nord 2009 te fait revoir les équations, le théorème de Thalès, la trigonométrie, le théorème de Pythagore et les aires, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Nord 2009)
Corrigé de l’exercice 1 : QCM de calcul littéral
1. D’abord, on distribue le \(-4\) sur les deux termes de la parenthèse, sans oublier la règle des signes : \(6-4(x-2)=6-4x+8=14-4x\). Réponse 2 : \(14-4x\).
2. Ensuite, on reconnaît la forme \(a^2-2ab+b^2\) avec \(a=2x\) et \(b=3\) : en effet \((2x)^2=4x^2\), \(2\times2x\times3=12x\) et \(3^2=9\). Donc \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Réponse 3 : \((2x-3)^2\).
3. Puis on remplace \(x\) par \(-2\), en mettant bien des parenthèses : \(5\times(-2)^2+2\times(-2)-3=5\times4-4-3=20-7=13\). Réponse 1 : 13.
4. Alors on teste \(x=1\) dans chaque inéquation :
- \(4\times1-3=1\), et 1 n’est pas strictement supérieur à 7 ;
- \(-2\times1+1=-1\), et \(-1\) n’est pas inférieur ou égal à \(-3\) ;
- \(5\times1+3=8\), et \(8\lt 9\) est vrai.
Réponse 3 : \(5x+3\lt 9\).
5. Ensuite, on sépare les nombres et les puissances de 10 : \(\dfrac{4}{5}\times\dfrac{10^{-3}}{10^{2}}=0{,}8\times10^{-3-2}=0{,}8\times10^{-5}=8\times10^{-6}\).
Attention aux pièges : \(0{,}000\,000\,8=8\times10^{-7}\) et \(0{,}8\times10^{-6}=8\times10^{-7}\), qui sont dix fois trop petits. Réponse 2 : \(8\times10^{-6}\).
Corrigé de l’exercice 2 : programme de calcul
1. a. On suit les étapes avec 1,2 : \(1{,}2\times4=4{,}8\), puis \(4{,}8+6=10{,}8\). Le résultat est 10,8.
1. b. Avec le nombre \(x\) : on le multiplie par 4, ce qui donne \(4x\), puis on ajoute 6. Le résultat est \(4x+6\).
Vérification avec la question a : \(4\times1{,}2+6=10{,}8\), on retrouve bien le même résultat.
2. On cherche le nombre \(x\) tel que le résultat vaut 15, c’est-à-dire qu’on résout l’équation :
\[4x+6=15\]
\[4x=15-6=9\]
\[x=\dfrac{9}{4}=2{,}25\]
Contrôle : \(2{,}25\times4=9\) et \(9+6=15\). Il faut choisir le nombre 2,25.
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2009) : PGCD et colis de chocolats
1. Tout d’abord, on applique l’algorithme d’Euclide (divisions euclidiennes successives) :
\[186=155\times1+31\]
\[155=31\times5+0\]
Le dernier reste non nul est 31. PGCD(186 ; 155) = 31.
(On peut aussi utiliser les soustractions successives : \(186-155=31\), puis \(155-31=124\), \(124-31=93\), \(93-31=62\), \(62-31=31\), \(31-31=0\) : on retrouve 31.)
2. a. Le nombre de colis doit diviser à la fois 186 (pour que les pralines soient réparties également sans reste) et 155 (pour les chocolats). C’est donc un diviseur commun de 186 et 155. Le plus grand possible est leur PGCD. Le chocolatier peut réaliser au maximum 31 colis.
2. b. Pralines par colis : \(186\div31=6\). Chocolats par colis : \(155\div31=5\). Chaque colis contient 6 pralines et 5 chocolats.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : Thalès et sa réciproque
1. Les points O, B, C sont alignés, les points O, D, E sont alignés, et les droites (BD) et (CE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles OBD et OCE :
\[\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OD}{OE}=\dfrac{BD}{CE}\qquad\text{soit}\qquad\dfrac{7{,}2}{10{,}8}=\dfrac{6}{OE}=\dfrac{BD}{5{,}1}\]
Calcul de OE par produit en croix : \(OE=\dfrac{6\times10{,}8}{7{,}2}=\dfrac{64{,}8}{7{,}2}=9\). OE = 9 cm.
Calcul de BD : \(BD=\dfrac{5{,}1\times7{,}2}{10{,}8}=\dfrac{36{,}72}{10{,}8}=3{,}4\). BD = 3,4 cm.
Remarque : \(\dfrac{7{,}2}{10{,}8}=\dfrac{2}{3}\), ce qui simplifie les calculs : \(OE=6\times\dfrac{3}{2}=9\) et \(BD=5{,}1\times\dfrac{2}{3}=3{,}4\).
2. Les points G, O, B sont alignés et les points F, O, D sont alignés, dans le même ordre (G et B de part et d’autre de O, F et D aussi). Puis on compare les rapports :
\[\dfrac{OG}{OB}=\dfrac{2{,}4}{7{,}2}=\dfrac{1}{3}\qquad\text{et}\qquad\dfrac{OF}{OD}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\]
Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GF) et (BD) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 (Nord 2009) : deux triangles rectangles accolés
1. Dans le triangle BCD rectangle en D, [BC] est l’hypoténuse et [BD] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{DBC}}\). Donc :
\[\cos\widehat{\text{DBC}}=\dfrac{BD}{BC}\qquad\text{d^{\prime}où}\qquad BC=\dfrac{BD}{\cos 60^\circ}=\dfrac{4}{0{,}5}=8\]
Ensuite, on a bien BC = 8 cm.
2. Dans le triangle BCD rectangle en D, le théorème de Pythagore donne \(BC^2=BD^2+CD^2\), donc :
\[CD^2=BC^2-BD^2=8^2-4^2=64-16=48\]
\(CD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\). CD ≈ 6,9 cm au dixième près.
3. Le codage de la figure indique que le triangle ABC est rectangle en B, d’hypoténuse [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100\]
AC = \(\sqrt{100}\) = 10 cm.
4. Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\), le côté opposé est [BC] et le côté adjacent est [AB] :
\[\tan\widehat{\text{BAC}}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\]
\(\tan\widehat{\text{BAC}}=\dfrac{4}{3}\).
5. À la calculatrice (en mode degrés), on utilise la touche \(\tan^{-1}\) (ou « arctan ») : \(\tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ\). \(\widehat{\text{BAC}}\approx53^\circ\) au degré près.
Problème
Corrigé de la partie A : aires en fonction de x
1. a. Les points A, D, F sont alignés, donc \(AD=AF-DF=6-2=4\). L’aire du rectangle est \(AB\times AD=4\times4=16\). L’aire de ABCD est 16 cm² (c’est même un carré, puisque AB = AD = 4).
1. b. Le triangle DCF est rectangle en D, ses côtés de l’angle droit sont [DC] et [DF]. Comme ABCD est un rectangle, DC = AB = 4. L’aire vaut \(\dfrac{DC\times DF}{2}=\dfrac{4\times2}{2}=4\). L’aire de DCF est 4 cm².
2. a. Aire de ABCD : \(AB\times AD=4\times(6-x)=24-4x\). L’aire du rectangle est bien \(24-4x\).
2. b. Aire de DCF : \(\dfrac{DC\times DF}{2}=\dfrac{4\times x}{2}=2x\). L’aire du triangle est bien \(2x\).
2. c. Puis on regroupe les termes en \(x\) d’un même côté :
\[24-4x=2x\]
\[24=2x+4x=6x\]
\[x=\dfrac{24}{6}=4\]
Contrôle : \(24-4\times4=8\) et \(2\times4=8\). Les deux aires sont égales lorsque \(x=4\) cm ; elles valent alors 8 cm².
Corrigé de la partie B : lectures graphiques
1. Pour commencer, on calcule les images : \(f(0)=24-0=24\) ; \(f(1)=24-4=20\) ; \(f(5)=24-20=4\).
| \(x\) | 0 | 1 | 5 |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=24-4x\) | 24 | 20 | 4 |
La fonction \(f\) est affine, sa représentation graphique est une droite : on place les points (0 ; 24), (1 ; 20) et (5 ; 4), qui doivent être alignés, et on trace la droite qui les relie. Dans le problème, \(x\) est une longueur comprise entre 0 et 6 (car AD = \(6-x\) ne peut pas être négatif), donc on peut s’arrêter au point (6 ; 0).
Remarque : sur l’annexe, la droite \((\mathcal{G})\) imprimée est un peu trop pentue (elle arrive vers 17 au lieu de 16 pour \(x=8\)) ; les lectures ci-dessous sont faites sur la vraie droite d’équation \(y=2x\).
2. L’aire de DCF est donnée par \(g\). On part de 6 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la droite \((\mathcal{G})\), puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit \(x=3\). Vérification : \(g(3)=2\times3=6\). L’aire de DCF vaut 6 cm² pour \(x=3\) cm.
3. De même, L’aire de ABCD est donnée par \(f\). On part de 2,5 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la droite de \(f\), puis on se déplace horizontalement vers l’axe des ordonnées : on lit 14. Vérification : \(f(2{,}5)=24-4\times2{,}5=24-10=14\). Pour \(x=2{,}5\) cm, l’aire de ABCD est 14 cm².
4. Les deux aires sont égales quand \(f(x)=g(x)\), c’est-à-dire à l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Alors on lit le point (4 ; 8). Ensuite, on retrouve \(x=4\) cm, pour une aire commune de 8 cm², comme à la question 2. c. de la partie A.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé Nord 2009
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Pour les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. En ce qui concerne le théorème de Thalès, cite d’abord les deux droites parallèles et les points alignés, ensuite seulement l’égalité des trois rapports. Quant à la trigonométrie, repère d’abord le côté adjacent et le côté opposé à l’angle, car une erreur à cette étape fausse tout le calcul. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de équation du premier degré, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Nord 2009, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Nord 2009
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2009 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2009. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les équations, le théorème de Thalès, la trigonométrie et le théorème de Pythagore. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nord 2009
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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