Corrigé du brevet de maths 2011 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2011 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Nord 2011
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nord 2011 est découpé en 9 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Entiers consécutifs et équation » (activités numériques). Ensuite, le corrigé explique « Vitesse de la lumière » (exercice 1). Puis la correction reprend « QCM de calcul » (exercice 2). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Cubes et prisme droit » (exercice 3). Puis en outre, tu trouves la solution rédigée de « Pythagore et tangente » (activités géométriques).
Ensuite, le corrigé explique « Thalès : questions effacées » (exercice 1 de géométrie). Puis la correction reprend « Recette : tableaux et expression » (exercice 2 de géométrie). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Recette : lecture graphique » (exercice 3 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Places de la salle » (problème).
Ainsi, le corrigé corrigé Nord 2011 te fait revoir les équations, le théorème de Pythagore, la trigonométrie, le théorème de Thalès et les aires, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Nord 2011)
Corrigé de l’exercice 1 : trois entiers consécutifs
1. a. On calcule d’abord les parenthèses : \(11\times(2\times9)=11\times18=198\). Ensuite, pour Jonathan, la puissance passe avant l’addition : \(10^2+2=100+2=102\). Leslie trouve donc 198 et Jonathan 102.
1. b. Jonathan élève au carré le deuxième nombre : c’est 10. Leslie multiplie le troisième (11) par le double du premier (9). Puis les trois entiers consécutifs choisis sont donc 9, 10 et 11.
2. a. Si le deuxième nombre est 6, les trois entiers sont 5, 6 et 7. Leslie obtient \(7\times(2\times5)=7\times10=70\) et Jonathan \(6^2+2=36+2=38\). Comme \(70\neq38\), les deux résultats sont différents : le professeur n’a pas choisi 6.
2. b. Si le deuxième nombre est \(-7\), les trois entiers rangés dans l’ordre croissant sont \(-8\), \(-7\) et \(-6\). Leslie obtient \(-6\times(2\times(-8))=-6\times(-16)=96\) et Jonathan \((-7)^2+2=49+2=51\). De plus, les résultats diffèrent : le professeur n’a pas choisi \(-7\).
2. c. Appelons \(n\) le deuxième entier. Ensuite, le premier vaut alors \(n-1\) et le troisième \(n+1\).
Le calcul de Leslie s’écrit \((n+1)\times2(n-1)=2(n+1)(n-1)\). Avec l’identité remarquable \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), on obtient \(2(n^2-1)=2n^2-2\).
De même, le calcul de Jonathan s’écrit \(n^2+2\).
Les deux résultats sont égaux, donc \(2n^2-2=n^2+2\). Par ailleurs, on retranche \(n^2\) aux deux membres : \(n^2-2=2\), puis on ajoute 2 : \(n^2=4\). C’est exactement l’équation d’Arthur : Arthur a raison.
Les nombres dont le carré vaut 4 sont 2 et \(-2\). Puis il y a donc deux possibilités :
• si \(n=2\), les entiers sont 1, 2 et 3 ; vérification : \(3\times(2\times1)=6\) et \(2^2+2=6\) ;
• si \(n=-2\), les entiers sont \(-3\), \(-2\) et \(-1\) ; vérification : \(-1\times(2\times(-3))=6\) et \((-2)^2+2=6\).
Corrigé de l’exercice 2 : distances parcourues par la lumière
1. Pour un mouvement à vitesse constante, la distance est égale à la vitesse multipliée par la durée : \(d=v\times t\). Ici :
\[d=300\,000\times\dfrac{1}{75}=\dfrac{300\,000}{75}=4\,000\]
Le satellite est à 4 000 km de la Terre.
2. On convertit d’abord la durée en secondes, puisque la vitesse est donnée en km par seconde : 8 min 30 s \(=8\times60+30=480+30=510\) s.
\[d=300\,000\times510=153\,000\,000\ \text{km}\]
En écriture scientifique, on place la virgule après le premier chiffre non nul : \(153\,000\,000=1{,}53\times10^{8}\). Ensuite, la distance entre la Terre et le Soleil est d’environ \(1{,}53\times10^{8}\) km.
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2011) : QCM de calcul
1. D’abord, on reconnaît une différence de deux carrés : \((x+1)^2-9=(x+1)^2-3^2\). Avec \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :
\[(x+1)^2-9=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4)\]
La bonne réponse est la réponse A. Puis la réponse B est la forme développée, pas une forme factorisée.
2. Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on additionne les exposants : \(5^n\times5^m=5^{n+m}\). C’est la réponse B.
3. La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par \(\dfrac{5}{2}\) revient à multiplier par son inverse \(\dfrac{2}{5}\) :
\[\dfrac{7}{3}-\dfrac{4}{3}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{7}{3}-\dfrac{8}{15}=\dfrac{35}{15}-\dfrac{8}{15}=\dfrac{27}{15}\]
C’est la réponse C. De plus, la réponse A calcule à tort la soustraction en premier, et la réponse B inverse la mauvaise fraction.
4. Deux nombres sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun positif est 1.
• 774 et 338 sont pairs : 2 les divise tous les deux.
De même, • 1 035 et 774 ont une somme des chiffres égale à 9 et à 18 : ils sont tous les deux divisibles par 9.
• \(63=3^2\times7\) et \(44=2^2\times11\) n’ont aucun facteur premier commun.
La bonne réponse est la réponse B : 63 et 44.
5. En écriture scientifique, le nombre devant la puissance de 10 doit être compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu). 17,3 est trop grand et 0,97 trop petit. Seul \(1{,}52\times10^{3}\) convient : réponse C.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : solide fait de cubes et d’un prisme
1. Repérons d’abord la disposition des cubes sur la perspective. Au sol, quatre cubes sont alignés, de la face gauche jusqu’au bout droit du solide. Ensuite, un cinquième cube est posé sur le premier (la colonne de deux cubes à gauche), le prisme est posé sur le quatrième, et le sixième cube est collé devant ce quatrième cube, du côté de la face avant.
Quand on regarde depuis l’arrière, le sixième cube est caché derrière le quatrième, et la gauche et la droite sont inversées. Par ailleurs, on voit donc :
• une rangée de quatre carrés de 4 cm de côté ;
De même, • au-dessus du carré de droite, un carré de 4 cm (le cube du haut de la colonne) ;
• au-dessus du carré de gauche, un rectangle de 4 cm de large et 2 cm de haut (le prisme, dont la hauteur est la moitié de l’arête).
Sur ta copie, trace ces carrés de 4 cm et ce rectangle de 4 cm sur 2 cm avec la règle et l’équerre, en vraie grandeur. Voici le schéma (ici réduit) :
2. Le volume d’un cube d’arête 4 cm est \(4^3=64\ \text{cm}^3\), donc les six cubes occupent \(6\times64=384\ \text{cm}^3\).
Le prisme a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 4 cm (voir la question 3). Puis l’aire de cette base est \(\dfrac{4\times4}{2}=8\ \text{cm}^2\). Sa hauteur est la moitié de l’arête, soit 2 cm. Ensuite, le volume d’un prisme droit est aire de la base × hauteur : \(8\times2=16\ \text{cm}^3\).
Corrigé de l’exercice 1 : solide fait de cubes et d’un prisme (suite)
Le volume du solide est \(384+16=\) 400 cm³.
3. a. De même, le prisme est posé sur la face du dessus d’un cube, qui est un carré de 4 cm de côté. Puis les côtés [AB] et [BC] de sa base sont deux côtés consécutifs de ce carré : ils mesurent tous les deux 4 cm et sont perpendiculaires. De plus, le côté [AC] est une diagonale du carré. Ensuite, la base ABC est donc un triangle rectangle et isocèle en B (c’est la moitié du carré).
3. b. Le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2=4^2+4^2=16+16=32\]
Donc \(\text{AC}=\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=\sqrt{16}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). Par ailleurs, on a bien \(\text{AC}=4\sqrt{2}\) cm.
3. c. Dans un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles. Puis la face ACFD est un rectangle de longueur \(\text{AC}=4\sqrt{2}\) cm et de largeur \(\text{AD}=2\) cm (la hauteur du prisme). Son aire vaut :
\[\mathcal{A}=4\sqrt{2}\times2=8\sqrt{2}\ \text{cm}^2\approx11{,}3137\ \text{cm}^2\]
Comme \(1\ \text{mm}^2=0{,}01\ \text{cm}^2\), l’arrondi au mm² correspond à deux décimales en cm² : l’aire exacte est \(8\sqrt{2}\) cm², soit environ 11,31 cm² (ou 1 131 mm²).
Corrigé de l’exercice 2 (Nord 2011) : Pythagore et tangente
1. Le triangle ABC est rectangle en C, d’hypoténuse [AB]. D’après le théorème de Pythagore, \(\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2\), donc :
\[\text{BC}^2=\text{AB}^2-\text{AC}^2=30^2-25^2=900-625=275\]
\[\text{BC}=\sqrt{275}=\sqrt{25\times11}=5\sqrt{11}\]
La valeur exacte est \(\text{BC}=5\sqrt{11}\) cm (environ 16,58 cm).
2. Dans le triangle ACD rectangle en C, on connaît l’angle \(\widehat{\text{CAD}}=49^\circ\) et son côté adjacent \(\text{AC}=25\) cm ; on cherche le côté opposé CD. Ensuite, on utilise la tangente :
\[\tan\widehat{\text{CAD}}=\dfrac{\text{CD}}{\text{AC}}\quad\text{donc}\quad\text{CD}=25\times\tan49^\circ\approx28{,}759\ \text{cm}\]
Les points B, C et D sont alignés et C est entre B et D, donc :
\[\text{BD}=\text{BC}+\text{CD}=5\sqrt{11}+25\tan49^\circ\approx16{,}583+28{,}759\approx45{,}342\ \text{cm}\]
Arrondi au millimètre (au dixième de cm) : \(\text{BD}\approx45{,}3\) cm.
Corrigé de l’exercice 3 : retrouver les questions de Thalès
Il faut deviner ce que calcule chaque ligne à partir des longueurs utilisées.
1. 6,84 est OR et 3,8 est OA. Comme A est sur le segment [OR], la différence donne la longueur RA. Question probable : « Calculer la longueur RA. »
Réponse rédigée : les points O, A et R sont alignés dans cet ordre, donc \(\text{RA}=\text{OR}-\text{OA}=6{,}84-3{,}8=3{,}04\). Ainsi RA = 3,04 cm.
2. Le calcul fait intervenir SA = 5, OR = 6,84 et RA = 3,04 : c’est un produit en croix issu du théorème de Thalès pour trouver OK. Question probable : « Calculer la longueur OK. »
Réponse rédigée : dans le triangle ROK, A est sur [RO] et S est sur [RK], et les droites (AS) et (OK) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{RA}}{\text{RO}}=\dfrac{\text{RS}}{\text{RK}}=\dfrac{\text{AS}}{\text{OK}}\]
On utilise l’égalité \(\dfrac{\text{RA}}{\text{RO}}=\dfrac{\text{AS}}{\text{OK}}\), c’est-à-dire \(\dfrac{3{,}04}{6{,}84}=\dfrac{5}{\text{OK}}\). Par produit en croix :
\[\text{OK}=\dfrac{5\times6{,}84}{3{,}04}=11{,}25\]
Donc OK = 11,25 cm.
3. Puis on additionne KR, OR et OK : ce sont les trois côtés du triangle ORK. Question probable : « Calculer le périmètre du triangle ORK. »
Réponse rédigée : \(\mathcal{P}=\text{KR}+\text{OR}+\text{OK}=7{,}2+6{,}84+11{,}25=25{,}29\). Ensuite, le périmètre du triangle ORK est 25,29 cm.
Problème : la recette du théâtre
Corrigé de la partie 1 (Nord 2011) : tableaux et expression de la recette
1. Chaque euro de réduction fait baisser le prix de 1 € et ajoute 50 spectateurs. Puis la recette est le prix multiplié par le nombre de spectateurs.
• Réduction de 1 € : prix 19 €, \(500+50=550\) spectateurs, recette \(19\times550=10\,450\) €.
De même, • 600 spectateurs, c’est 100 de plus, donc \(100\div50=2\) € de réduction : prix 18 €, recette \(18\times600=10\,800\) €.
• Prix de 16 € : la réduction est de \(20-16=4\) €, d’où \(500+4\times50=700\) spectateurs et une recette de \(16\times700=11\,200\) €.
| Réduction en € | Prix de la place en € | Nombre de spectateurs | Recette du spectacle |
|---|---|---|---|
| 0 | 20 | 500 | \(20\times500=10\,000\) |
| 1 | 19 | 550 | \(19\times550=10\,450\) |
| 2 | 18 | 600 | \(18\times600=10\,800\) |
| 4 | 16 | 700 | \(16\times700=11\,200\) |
2. Pour une réduction de \(x\) euros, le prix devient \(20-x\) et le nombre de spectateurs \(500+50x\). De plus, la recette est le produit des deux :
| Réduction en € | Prix de la place en € | Nombre de spectateurs | Recette du spectacle |
|---|---|---|---|
| \(x\) | \(20-x\) | \(500+50x\) | \((20-x)(500+50x)\) |
3. Alors on développe par double distributivité :
\[(20-x)(500+50x)=20\times500+20\times50x-x\times500-x\times50x\]
\[=10\,000+1\,000x-500x-50x^2\]
La recette s’écrit \(R(x)=-50x^2+500x+10\,000\). Contrôle avec \(x=4\) : \(-800+2\,000+10\,000=11\,200\), comme dans le tableau.
Corrigé de la partie 2 : lectures graphiques
Les tracés de lecture sont représentés en pointillés sur le graphique ci-dessous (sur ta copie, tu les fais directement sur l’annexe 2).
1. On part de 2 sur l’axe des abscisses, on monte verticalement jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée : environ 10 800. Ensuite, pour une réduction de 2 €, la recette est d’environ 10 800 € (le tableau 1 donnait exactement cette valeur).
2. On part de 4 050 sur l’axe des ordonnées (un peu au-dessus de la ligne 4 000), on va horizontalement jusqu’à la courbe, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit environ 17. Par ailleurs, la réduction est d’environ 17 € et le prix de la place est alors de \(20-17=\) 3 €.
Vérification par le calcul : \(R(17)=(20-17)(500+50\times17)=3\times1\,350=4\,050\). Puis la valeur 17 est donc exacte.
3. Ensuite, on lit l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 8 : environ 10 800. Ensuite, l’image de 8 par \(R\) est \(R(8)\approx10\,800\). Interprétation : avec une réduction de 8 €, la place coûte 12 € et la recette du spectacle est d’environ 10 800 €, la même que pour une réduction de 2 € (calcul : \(12\times900=10\,800\)).
4. Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse 5 et pour ordonnée un peu au-dessus de 11 000, à mi-chemin de 11 500 : environ 11 250. Puis la recette maximale est d’environ 11 250 €, obtenue avec 5 € de réduction, donc pour un prix de place de 15 €. De plus, le calcul confirme : \(R(5)=15\times750=11\,250\).
Corrigé de la partie 2 : lectures graphiques (suite)
Corrigé de la partie 3 : nombre de places de la salle
Il faut calculer l’aire totale des quatre zones de sièges, puis la multiplier par 1,8.
Les deux trapèzes. La scène mesure 16 m de large et l’allée centrale 2 m, et les codages indiquent deux parties égales : la petite base de chaque trapèze mesure \((16-2)\div2=7\) m. Ensuite, la grande base mesure 13 m et la hauteur 10 m. L’aire d’un trapèze est \(\dfrac{(B+b)\times h}{2}\) :
\[\mathcal{A}_{\text{trapèze}}=\dfrac{(13+7)\times10}{2}=100\ \text{m}^2\]
Pour les deux trapèzes : \(2\times100=200\ \text{m}^2\).
Les deux quarts de disque. Chacun a pour rayon 13 m. Deux quarts de disque font un demi-disque :
\[\mathcal{A}_{\text{quarts}}=2\times\dfrac{\pi\times13^2}{4}=\dfrac{169\pi}{2}\approx265{,}46\ \text{m}^2\]
Nombre de places. L’aire totale de la zone des sièges est \(200+\dfrac{169\pi}{2}\approx465{,}46\ \text{m}^2\). Avec 1,8 siège par m² :
\[465{,}46\times1{,}8\approx837{,}8\]
Puis on ne peut pas installer une fraction de siège, et on ne peut pas dépasser la capacité calculée : on arrondit à l’unité inférieure. Le théâtre compte environ 837 places.
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2011 : Amérique du Nord.
Comment utiliser le corrigé corrigé Nord 2011
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Quant aux équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Dans les questions sur le théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Pour la trigonométrie, repère d’abord le côté adjacent et le côté opposé à l’angle, car une erreur à cette étape fausse tout le calcul. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de équation du premier degré, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Nord 2011, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Nord 2011
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2011 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2011. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les équations, le théorème de Pythagore, la trigonométrie et le théorème de Thalès. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nord 2011
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
Les autres corrigés du brevet 2011
- Corrigé du brevet de maths 2011 : France
- Corrigé du brevet de maths 2011 : France, septembre
- De même, corrigé du brevet de maths 2011 : Centres étrangers
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
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