Corrigé du brevet de maths 2011 : France

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2011 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé brevet 2011

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé brevet 2011 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Dé coloré : fréquences et probabilités » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Prix des bijoux » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « Affirmations et égalités » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « Triangles rectangles et cercles » (exercice 3 de la partie numérique). Par ailleurs, en outre, tu lis la démarche complète pour « Aquarium et boule » (activités géométriques).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Recueillir l’eau de pluie » (exercice 1 de géométrie). Puis le corrigé explique « Les besoins en eau » (exercice 2 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Le coût de l’eau » (problème).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé brevet 2011 sont les probabilités, les systèmes d’équations, les équations, la trigonométrie et la moyenne, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé brevet 2011)

Corrigé de l’exercice 1 : le dé aux faces colorées

1. a. Le diagramme montre que la couleur jaune est sortie 20 fois sur 100 lancers. La fréquence est l’effectif divisé par l’effectif total : \(\dfrac{20}{100} = 0{,}2\). Puis la fréquence d’apparition du jaune est 0,2 (soit 20 %).

1. b. Le noir est sorti 30 fois : \(\dfrac{30}{100} = 0{,}3\). La fréquence d’apparition du noir est 0,3 (soit 30 %).

2. a. Le dé est équilibré, donc ses 6 faces ont la même chance de sortir. Ensuite, une seule face est jaune : la probabilité d’obtenir le jaune est \(\dfrac{1}{6}\), soit environ 0,17.

2. b. Deux faces sur six sont noires : la probabilité d’obtenir le noir est \(\dfrac{2}{6}\), c’est-à-dire \(\dfrac{1}{3}\), soit environ 0,33.

3. Les fréquences observées (0,2 et 0,3) ne sont pas égales aux probabilités (environ 0,17 et 0,33) parce que le hasard fait fluctuer les résultats d’une série de lancers à l’autre. Avec seulement 100 lancers, cet écart est normal. Si on lançait le dé un très grand nombre de fois, les fréquences se rapprocheraient des probabilités.

Corrigé de l’exercice 2 : le prix des bijoux

Appelons \(v\) le prix d’un triangle en verre (blanc) et \(m\) le prix d’un triangle en métal (gris), en euros. Chaque bijou contient 8 triangles. En comptant sur le dessin :

• bijou n° 1 : 4 triangles gris et 4 blancs ;
• bijou n° 2 : 2 triangles gris et 6 blancs ;
• bijou n° 3 : 3 triangles gris et 5 blancs.

Les prix des bijoux n° 1 et n° 2 donnent deux équations :

\[4m + 4v = 11 \qquad \text{et} \qquad 2m + 6v = 9{,}10\]

En divisant la première par 2, on obtient \(2m + 2v = 5{,}5\). Puis on la soustrait à la seconde : les \(2m\) disparaissent.

\[(2m + 6v) – (2m + 2v) = 9{,}10 – 5{,}5 \quad \text{donc} \quad 4v = 3{,}6 \quad \text{donc} \quad v = 0{,}9\]

Puis, avec \(m + v = \dfrac{11}{4} = 2{,}75\) : \(m = 2{,}75 – 0{,}9 = 1{,}85\).

Vérification sur le bijou n° 2 : \(2 \times 1{,}85 + 6 \times 0{,}9 = 3{,}7 + 5{,}4 = 9{,}1\). C’est bien 9,10 €.

Prix du bijou n° 3 : \(3 \times 1{,}85 + 5 \times 0{,}9 = 5{,}55 + 4{,}5 = 10{,}05\).

Le bijou n° 3 revient à 10,05 €.

Corrigé de l’exercice 3 (brevet 2011) : affirmations et égalités

1. Affirmation 1. Ensuite, on développe avec l’identité remarquable \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :

\[(2a+3)^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a \times 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9\]

Il manque le terme \(12a\), qui n’est nul que si \(a = 0\). Un contre-exemple suffit : pour \(a = 1\), \((2 \times 1 + 3)^2 = 5^2 = 25\) alors que \(4 \times 1^2 + 9 = 13\). De plus, L’affirmation 1 est fausse.

1. Affirmation 2. Augmenter de 20 %, c’est multiplier par \(1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2\). Baisser de 20 %, c’est multiplier par \(1 – \dfrac{20}{100} = 0{,}8\). Les deux étapes reviennent à multiplier par \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\).

Exemple : un article à 100 € passe à 120 €, puis la remise de 20 % porte sur 120 €, soit 24 €, et il coûte 96 €. Ensuite, le prix final est inférieur de 4 % au prix initial. L’affirmation 2 est fausse.

2. Égalité 1. Puis on cherche un carré parfait dans 32 : \(32 = 16 \times 2\).

\[\dfrac{\sqrt{32}}{2} = \dfrac{\sqrt{16 \times 2}}{2} = \dfrac{\sqrt{16} \times \sqrt{2}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\]

L’égalité 1 est vraie.

2. Égalité 2. \(10^5 = 100\,000\) et \(10^{-5} = 0{,}000\,01\), donc \(10^5 + 10^{-5} = 100\,000{,}000\,01\), alors que \(10^0 = 1\). L’égalité 2 est fausse.

Pour la rendre vraie, on remplace l’addition par une multiplication : on ajoute alors les exposants, \(10^5 \times 10^{-5} = 10^{5 + (-5)} = 10^0\). L’égalité corrigée est \(10^5 \times 10^{-5} = 10^0\) (on peut aussi écrire \(10^5 + 10^{-5} = 100\,000{,}000\,01\)).

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : deux triangles rectangles et deux cercles

1. Construction en vraie grandeur :

• trace un segment [DB] de 8 cm et place C sur [DB] à 6 cm de D (donc CB = 2 cm) ;
• trace la perpendiculaire à (DB) en B et place A dessus à 2 cm de B, du même côté que sur le dessin ;
• trace la droite (AC) et prolonge-la au-delà de C ;
• place E, pied de la perpendiculaire à (AC) passant par D (équerre posée sur (AC) et passant par D).

La figure complète, avec les cercles des questions 4 et 5, est donnée plus bas.

2. a. Le triangle ABC est rectangle en B et AB = CB : il est rectangle isocèle en B. Ses deux angles aigus sont égaux et leur somme vaut \(180^\circ – 90^\circ = 90^\circ\). Donc \(\widehat{ACB} = \dfrac{90^\circ}{2}\), soit \(\widehat{ACB} = 45^\circ\).

2. b. Les points A, C, E sont alignés et les points B, C, D aussi, avec C entre A et E et entre B et D. Par ailleurs, les angles \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{DCE}\) sont donc opposés par le sommet C : ils ont la même mesure. \(\widehat{DCE} = 45^\circ\).

3. Dans le triangle DCE rectangle en E, l’hypoténuse est [CD] et [DE] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{DCE}\). Donc :

\[\sin \widehat{DCE} = \dfrac{DE}{CD} \quad \text{donc} \quad DE = 6 \times \sin 45^\circ \approx 4{,}24\]

Alors on obtient DE ≈ 4,2 cm au dixième près. (Le triangle DCE est d’ailleurs lui aussi isocèle rectangle, et la valeur exacte est \(3\sqrt{2}\) cm.)

Corrigé de l’exercice 1 : deux triangles rectangles et deux cercles (suite)

4. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Le triangle DCE est rectangle en E, son hypoténuse est [DC] : le centre de \(\mathcal{C}\) est le milieu I de [DC], et son rayon vaut 3 cm. De même, ABC est rectangle en B, donc \(\mathcal{C}^{\prime}\) a pour centre le milieu J de [AC] et pour rayon \(\dfrac{AC}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}4\) cm.

5. Le point M est sur le cercle \(\mathcal{C}\) de diamètre [DC] et M est différent de D et de C. Si un point d’un cercle est relié aux extrémités d’un diamètre, le triangle obtenu est rectangle en ce point : le triangle DMC est rectangle en M, donc \((MD) \perp (MC)\).

De même, M est sur le cercle \(\mathcal{C}^{\prime}\) de diamètre [AC], donc le triangle AMC est rectangle en M : \((MA) \perp (MC)\).

Les droites (MD) et (MA) sont toutes les deux perpendiculaires à (MC) et passent toutes les deux par M : elles sont confondues. Les points D, A et M sont donc alignés. (M est en fait le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ACD.)

Corrigé de l’exercice 2 : l’aquarium et le bocal sphérique

1. En perspective cavalière, on dessine la face avant en vraie grandeur (un rectangle), puis les arêtes fuyantes parallèles entre elles, inclinées (souvent à 45°) et raccourcies (souvent de moitié). Puis les arêtes cachées sont en pointillés.

2. a. Le volume d’un pavé droit est longueur × largeur × hauteur :

\[V = 40 \times 20 \times 30 = 24\,000\ \text{cm}^3\]

Le volume de l’aquarium est 24 000 cm³.

2. b. Comme 1 L = 1 000 cm³, l’aquarium peut contenir \(24\,000 \div 1\,000\), soit 24 litres.

3. Le volume d’une boule de rayon \(r\) est \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\). Le diamètre vaut 30 cm, donc le rayon vaut 15 cm. Ensuite, la bonne formule est \(\dfrac{4}{3}\times \pi \times 15^3\). (La première utilise le diamètre au lieu du rayon et \(4\pi \times 15^2\) est l’aire de la sphère, pas un volume.)

4. Volume d’eau du second aquarium :

\[V^{\prime} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15^3 = \pi \times 3\,375 \approx 10\,602{,}9\ \text{cm}^3\]

Dans le premier aquarium, l’eau forme un pavé de base 40 cm × 20 cm = 800 cm² et de hauteur \(h\) inconnue. On a \(800 \times h = V^{\prime}\), donc :

\[h = \dfrac{3\,375\,\pi}{800} \approx 13{,}254\ \text{cm}\]

L’eau monte à environ 13,3 cm, soit 133 mm (au millimètre près). C’est bien inférieur aux 30 cm de hauteur : l’aquarium ne déborde pas.

Problème (corrigé brevet 2011)

Corrigé de la partie 1 : la capacité à recueillir l’eau de pluie

1. a. La plus grande valeur du tableau est 1 087 ℓ/m² : il a le plus plu en 1999.

1. b. En 2009, il est tombé 867 litres sur chaque mètre carré. Sur 5 m² : \(867 \times 5 = 4\,335\). Puis il est tombé 4 335 litres.

2. La moyenne est la somme des onze valeurs divisée par 11 :

\[\dfrac{1\,087 + 990 + 868 + 850 + 690 + 616 + 512 + 873 + 810 + 841 + 867}{11} = \dfrac{9\,004}{11} \approx 818{,}5\]

En moyenne, il est tombé environ 818,5 litres par mètre carré par an.

3. La surface au sol est un rectangle de 13,9 m sur 10 m (la hauteur de 6 m ne sert pas) : \(S = 13{,}9 \times 10 = 139\). La surface au sol vaut 139 m².

4. Pour 2009, P = 867 ℓ/m² et S = 139 m² :

\[V = 867 \times 139 \times 0{,}9 = 108\,461{,}7\]

La famille peut récupérer 108 461,7 litres. Comme 1 m³ = 1 000 L, cela fait 108,461 7 m³. De plus, ce nombre est compris entre 108 et 109, et plus proche de 108 : 108 m³ en est une valeur approchée à 1 m³ près.

Corrigé de la partie II : les besoins en eau

1. D’abord, on calcule la part des 41 litres dans les 115 litres :

\[\dfrac{41}{115} \times 100 \approx 35{,}65\]

Les WC représentent environ 35,7 % de la consommation d’une personne.

2. Consommation de la famille en un an : \(4 \times 115 \times 365 = 167\,900\) litres. Les 60 % remplaçables par l’eau de pluie :

\[167\,900 \times 0{,}6 = 100\,740\ \text{L} = 100{,}74\ \text{m}^3\]

Les besoins en eau de pluie sont donc bien d’environ 100 m³ par an.

3. En 2009, la famille aurait pu récupérer environ 108,5 m³, et ses besoins sont d’environ 100,7 m³. Comme \(108{,}5 \gt 100{,}7\), oui, l’eau de pluie de 2009 aurait suffi (il en serait même resté près de 8 m³).

Corrigé de la partie III : le coût de l’eau

1. a. On part de 100 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la droite puis on lit sur l’axe vertical : le prix est d’environ 250 euros pour 100 m³.

1. b. La représentation graphique est une droite qui passe par l’origine : le prix est proportionnel à la quantité, et \(p\) est une fonction linéaire, de la forme \(p(x) = ax\). Ensuite, la droite passe par le point (100 ; 250), donc \(250 = a \times 100\), d’où \(a = 2{,}5\). On vérifie avec le point (140 ; 350) : \(2{,}5 \times 140 = 350\). Donc \(p(x) = 2{,}5x\) : le mètre cube coûte 2,50 €.

1. c. Avec l’abonnement, le prix devient \(2{,}5x + 50\) : c’est une fonction affine. Sa représentation est une droite parallèle à la première, décalée de 50 vers le haut. Par ailleurs, pour la tracer, on place deux points : pour \(x = 0\), le prix vaut 50 € ; pour \(x = 140\), il vaut \(2{,}5 \times 140 + 50 = 400\) €. Ensuite, on relie (0 ; 50) et (140 ; 400).

2. Puis on divise le prix de la citerne par l’économie annuelle : \(\dfrac{910}{250} = 3{,}64\). Au bout de 3 ans, la famille n’a économisé que 750 €, ce qui ne suffit pas ; au bout de 4 ans, elle a économisé 1 000 €, ce qui dépasse 910 €. La citerne est remboursée au bout de 4 ans.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2011 : France.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé brevet 2011

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

Dans les questions sur les probabilités, écris clairement l’expérience et ses issues, ainsi le quotient à calculer apparaît de lui-même. Puis pour les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. En ce qui concerne les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de probabilité sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé brevet 2011 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé brevet 2011

Faut-il lire le corrigé corrigé brevet 2011 en entier ?

Non, pas forcément. Ensuite, en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2011. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les probabilités, les systèmes d’équations, les équations et la trigonométrie. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé brevet 2011

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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