Corrigé du brevet de maths 2013 : France

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2013 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : aire d’un carré inscrit

1. On trace la droite horizontale d’ordonnée 10 : elle coupe la courbe en deux points, d’abscisses 1 et 3. L’aire de MNPQ vaut 10 cm² pour AM = 1 cm ou AM = 3 cm.

2. Au point d’abscisse 0,5, la courbe est à mi-chemin entre les graduations 12 et 13 : l’aire de MNPQ vaut 12,5 cm².

3. Le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées (2 ; 8). L’aire est minimale pour AM = 2 cm, et cette aire minimale vaut 8 cm². M est alors le milieu de [AB].

Pour aller plus loin : si \(\text{AM} = x\), alors \(\text{MB} = 4 – x\) et \(\text{BN} = x\). Dans le triangle MBN rectangle en B, le théorème de Pythagore donne \(\text{MN}^2 = (4 – x)^2 + x^2 = 2x^2 – 8x + 16\), et c’est l’aire du carré MNPQ. On retrouve \(2 \times 0{,}5^2 – 8 \times 0{,}5 + 16 = 12{,}5\) et \(2 \times 2^2 – 8 \times 2 + 16 = 8\).

Corrigé de l’exercice 2 : fonction affine et tableur

1. Dans la colonne B, la ligne 1 contient \(x = -3\) et la ligne 2 contient \(f(x)\) : on lit 22. Donc \(f(-3) = 22\).

2. La formule de la cellule C2 est « = −5 ⋆ C1 + 7 » : le tableur multiplie la valeur de \(x\) située en ligne 1 par \(-5\), puis ajoute 7. Pour \(x = 7\) :

\[ f(7) = -5 \times 7 + 7 = -35 + 7 = -28 \]

Donc \(f(7) = -28\).

3. D’après la formule, pour tout nombre \(x\) : \(f(x) = -5x + 7\). On vérifie avec le tableau : \(f(-3) = 15 + 7 = 22\) et \(f(3) = -15 + 7 = -8\).

4. En B3, il faut calculer le carré du contenu de B1 et ajouter 4. On peut saisir = B1 * B1 + 4 (ou = B1^2 + 4). En recopiant vers la droite, B1 devient C1, D1, … et on obtient bien 8, 5, 4, 5, 8, 13.

Corrigé de l’exercice 3 : salaires des hommes et des femmes

1. Il y a 10 salaires de femmes. Leur somme vaut

\[ 1\,200 + 1\,230 + 1\,250 + 1\,310 + 1\,376 + 1\,400 + 1\,440 + 1\,500 + 1\,700 + 2\,100 = 14\,506 \]

donc le salaire moyen des femmes est \(\dfrac{14\,506}{10} = 1\,450{,}60\) €. Celui des hommes est de 1 769 €. Le salaire moyen des hommes est supérieur de 318,40 € à celui des femmes.

2. L’entreprise compte \(10 + 20 = 30\) personnes, dont 10 femmes. Chaque personne a la même chance d’être tirée :

\[ P(\text{femme}) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \]

La probabilité est \(\dfrac{1}{3}\).

3. Le plus bas salaire des femmes est 1 200 €. Le salaire de 1 000 € est donc celui d’un homme, et c’est le plus bas des salaires masculins. L’étendue des salaires des hommes est la différence entre le plus haut et le plus bas, donc le plus haut salaire masculin vaut \(1\,000 + 2\,400 = 3\,400\) €.

Comme le plus haut salaire féminin n’est que de 2 100 €, le salaire le plus élevé de l’entreprise est 3 400 €.

4. Les 20 salaires masculins sont rangés dans l’ordre croissant. Avec un effectif pair, la médiane est la moyenne de la 10^e et de la 11^e valeur. Comme les salaires sont tous différents, la 10^e valeur est strictement inférieure à 2 000 € et la 11^e strictement supérieure. Les salaires de la 11^e à la 20^e position sont donc au-dessus de 2 000 € : cela fait 10 hommes.

Chez les femmes, seul le salaire de 2 100 € dépasse 2 000 €. Au total, 11 personnes gagnent plus de 2 000 €.

Corrigé de l’exercice 4 : trois angles à calculer

Figure 1. Le triangle ABC est rectangle en A. Pour l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\), on connaît le côté opposé AC = 3 cm et l’hypoténuse BC = 6 cm : on utilise le sinus.

\[ \sin\left(\widehat{\text{ABC}}\right) = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5 \]

La calculatrice (touche arcsin ou \(\sin^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{ABC}} = 30^\circ\).

Figure 2. Le point C est sur le cercle de diamètre [AB]. Propriété : si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle, et l’angle droit est au sommet opposé au diamètre. Le triangle ABC est donc rectangle en C.

La somme des angles d’un triangle vaut 180°, et l’angle en A mesure 59° :

\[ \widehat{\text{ABC}} = 180^\circ – 90^\circ – 59^\circ = 31^\circ \]

Donc \(\widehat{\text{ABC}} = 31^\circ\). (Autre chemin : le triangle OAC est isocèle en O car OA = OC, donc \(\widehat{\text{AOC}} = 180^\circ – 2 \times 59^\circ = 62^\circ\), puis \(\widehat{\text{BOC}} = 180^\circ – 62^\circ = 118^\circ\), et dans OBC isocèle en O, \(\widehat{\text{OBC}} = \dfrac{180^\circ – 118^\circ}{2} = 31^\circ\).)

Figure 3. ABCDE a ses cinq côtés égaux et ses sommets sur un cercle de centre O : c’est un pentagone régulier. Les cinq angles au centre sont égaux et font un tour complet :

\[ \widehat{\text{AOB}} = \widehat{\text{BOC}} = \dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ \]

Le triangle AOB est isocèle en O (OA = OB) : ses angles à la base sont égaux, donc \(\widehat{\text{OBA}} = \dfrac{180^\circ – 72^\circ}{2} = 54^\circ\). De même, dans le triangle BOC, \(\widehat{\text{OBC}} = 54^\circ\).

\[ \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{OBA}} + \widehat{\text{OBC}} = 54^\circ + 54^\circ = 108^\circ \]

Donc \(\widehat{\text{ABC}} = 108^\circ\).

Corrigé de l’exercice 5 : transporter les parpaings

1. La masse totale des parpaings est \(300 \times 10 = 3\,000\) kg, soit 3 tonnes. Le fourgon ne peut transporter que 1,7 tonne à la fois : un seul voyage est impossible. Deux voyages suffisent-ils ? Chaque voyage transporterait 150 parpaings, soit \(150 \times 10 = 1\,500\) kg = 1,5 tonne, ce qui est inférieur à 1,7 tonne.

Vérifions aussi la place. Un parpaing occupe \(0{,}5 \times 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}01\) m³, donc 150 parpaings occupent 1,5 m³. Le volume utile du fourgon est \(2{,}60 \times 1{,}56 \times 1{,}84 \approx 7{,}46\) m³. On peut même les ranger concrètement : 5 parpaings dans la longueur (\(5 \times 50 = 250\) cm, moins de 260 cm), 15 dans la largeur (\(15 \times 10 = 150\) cm, moins de 156 cm) et 2 couches de 20 cm en hauteur, soit 150 parpaings sur 40 cm de haut.

C’est la charge maximale qui impose deux allers-retours, et deux suffisent.

2. Un aller-retour fait \(2 \times 10 = 20\) km, donc deux allers-retours font 40 km dans la journée.

Location : le forfait « 50 km maximum » couvre les 40 km pour 55 €. (Le forfait 30 km coûterait \(48 + 10 \times 2 = 68\) € avec les 10 km supplémentaires : c’est plus cher.)

Carburant : le fourgon consomme 8 L pour 100 km, donc pour 40 km \(\dfrac{8 \times 40}{100} = 3{,}2\) L, qui coûtent \(3{,}2 \times 1{,}50 = 4{,}80\) €.

Coût total : \(55 + 4{,}80 =\) 59,80 €.

3. Si les tarifs étaient proportionnels aux distances, le prix par kilomètre serait le même pour chaque forfait. Or \(\dfrac{48}{30} = 1{,}6\) € par km et \(\dfrac{55}{50} = 1{,}1\) € par km. Ces quotients sont différents : les tarifs ne sont pas proportionnels à la distance maximale autorisée.

Corrigé de l’exercice 6 : le cône de sel

1. a. Sur le schéma en coupe, les points A, B, O sont alignés, les points A, C, S sont alignés, et les droites (BC) et (OS) sont toutes les deux perpendiculaires au sol (AO) : elles sont donc parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles ABC et AOS.

O est le centre de la base du cône, donc OE est un rayon : \(\text{OE} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) m. D’où

\[ \text{AO} = \text{AB} + \text{BE} + \text{EO} = 3{,}20 + 2{,}30 + 2{,}5 = 8\ \text{m} \]

\[ \dfrac{\text{AB}}{\text{AO}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{OS}} \quad \text{donc} \quad \dfrac{3{,}2}{8} = \dfrac{1}{\text{OS}} \quad \text{et} \quad \text{OS} = \dfrac{8 \times 1}{3{,}2} = 2{,}5 \]

La hauteur du cône est bien de 2,50 m.

b. Le rayon vaut 2,5 m et la hauteur 2,5 m :

\[ V = \dfrac{\pi \times 2{,}5^2 \times 2{,}5}{3} = \dfrac{15{,}625\pi}{3} \approx 16{,}36\ \text{m}^3 \]

Le cône contient environ 16 m³ de sel.

2. Pour un volume fixé, plus le cône est bas, plus sa base doit être large. Le rayon minimal correspond donc à la hauteur maximale, 6 m. On cherche \(r\) tel que

\[ \dfrac{\pi \times r^2 \times 6}{3} = 1\,000 \quad \text{soit} \quad 2\pi r^2 = 1\,000 \quad \text{et} \quad r^2 = \dfrac{500}{\pi} \approx 159{,}15 \]

Comme \(r\) est positif, \(r = \sqrt{\dfrac{500}{\pi}} \approx 12{,}62\) m. Avec un rayon de 12,6 m, la hauteur dépasserait un peu 6 m ; il faut donc arrondir au décimètre supérieur. Il faut prévoir un rayon d’au moins 12,7 m.

Corrigé de l’exercice 7 : trois affirmations

Affirmation 1. Les trois quarts des adhérents sont mineurs, donc les majeurs représentent \(1 – \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\) des adhérents. Parmi les majeurs, un tiers a plus de 25 ans, donc les deux tiers ont entre 18 et 25 ans. La proportion d’adhérents entre 18 et 25 ans est

\[ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6} \]

Un adhérent sur six a bien entre 18 et 25 ans : l’affirmation 1 est vraie. (Exemple : sur 120 adhérents, 90 mineurs, 30 majeurs dont 10 de plus de 25 ans, et 20 entre 18 et 25 ans, soit \(\dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6}\).)

Affirmation 2. Baisser de 30 %, c’est multiplier par 0,7 ; baisser ensuite de 20 %, c’est multiplier par 0,8. Au total, le prix est multiplié par

\[ 0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56 \]

Le prix final représente 56 % du prix initial : la baisse totale est de 44 % et non de 50 %. Par exemple, un article à 100 € passe à 70 €, puis à 56 €. L’affirmation 2 est fausse : les pourcentages successifs ne s’additionnent pas, car la seconde baisse s’applique à un prix déjà réduit.

Affirmation 3. Développons avec les identités remarquables :

\[ (n + 1)^2 – (n – 1)^2 = (n^2 + 2n + 1) – (n^2 – 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 – n^2 + 2n – 1 = 4n \]

Pour tout entier \(n\), le nombre \(4n\) est un multiple de 4 : l’affirmation 3 est vraie. Par exemple, avec \(n = 5\) : \(36 – 16 = 20 = 4 \times 5\).

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