Corrigé du brevet de maths 2013 : France, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2013 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : lecture graphique

Les trois lectures sont repérées sur le graphique ci-dessous.

1. Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse 1 : la quantité de principe actif est maximale au bout de 1 heure (elle vaut alors environ 27 mg/L).

2. 2 h 30 min correspondent à 2,5 h. On lit une ordonnée d’environ 15 mg/L.

3. On trace la droite horizontale d’ordonnée 5. La courbe est au-dessus de cette droite à partir de quelques minutes après la prise (environ 0,1 h) jusqu’à environ 4,1 h. Le médicament est efficace pendant environ 4 heures.

Corrigé de l’exercice 2 : tableur et lancers de dés

1. La cellule M2 doit additionner les effectifs de B2 à L2 : =SOMME(B2:L2) (on peut aussi écrire =B2+C2+…+L2). Le résultat est bien 50.

2. Quand on tire la formule d’une cellule vers la droite, les références se décalent d’une colonne : dans C3, la formule devient =C2/N2. Or la cellule N2 est vide, donc elle vaut 0, et le tableur ne peut pas diviser par 0 : d’où le message d’erreur. Pour que le dénominateur reste M2, il fallait écrire dans B3 la formule =B2/$M$2.

3. Tom a tort. La somme 12 est obtenue avec un double 6, ce qui est tout à fait possible : sa probabilité est \(\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}\), une chance sur 36 à chaque lancer. Cette issue n’est simplement pas sortie pendant ses 50 lancers : une fréquence observée nulle ne signifie pas une probabilité nulle.

Corrigé de l’exercice 3 : périmètres et mise en équation

1. a. Un carré de 7 cm de côté a pour périmètre \(4 \times 7 = 28\) : 28 cm.

b. Sur la longueur [AB], le rectangle noir est encadré par deux carrés gris : sa longueur est \(30 – 2 \times 7 = 16\) cm. De même, sa largeur est \(24 – 2 \times 7 = 10\) cm. Son périmètre vaut \(2 \times (16 + 10) = 52\) : 52 cm.

2. Notons \(x\) la longueur du côté d’un carré gris, en cm (avec \(0 \lt x \lt 12\) pour que le rectangle noir existe).

• Somme des périmètres des quatre carrés gris : \(4 \times 4x = 16x\).
• Le rectangle noir mesure \(30 – 2x\) sur \(24 – 2x\), donc son périmètre vaut \(2\big((30 – 2x) + (24 – 2x)\big) = 2(54 – 4x) = 108 – 8x\).

On cherche \(x\) tel que les deux périmètres soient égaux :

\[108 – 8x = 16x \iff 108 = 24x \iff x = \dfrac{108}{24} = 4{,}5\]

La valeur 4,5 est bien comprise entre 0 et 12. Oui, c’est possible : avec des carrés gris de 4,5 cm de côté. Vérification : les carrés gris totalisent \(16 \times 4{,}5 = 72\) cm, et le rectangle noir, de 21 cm sur 15 cm, a pour périmètre \(2 \times 36 = 72\) cm.

Corrigé de l’exercice 4 : réduction sur un stage de voile

1. La famille paie 310,50 € pour trois enfants, donc chaque stage lui revient à \(310{,}50 \div 3 = 103{,}50\) : 103,50 € par enfant.

2. Facture 1 : sans réduction, deux stages coûtent \(2 \times 115 = 230\) €. La réduction de 5 % vaut \(230 \times 0{,}05 = 11{,}50\) €, d’où un prix à payer de \(230 – 11{,}50 = 218{,}50\) €.

Facture 2 : sans réduction, trois stages coûtent \(3 \times 115 = 345\) €. La famille paie 310,50 €, donc la réduction vaut \(345 – 310{,}50 = 34{,}50\) €, ce qui représente \(\dfrac{34{,}50}{345} \times 100 = 10\ \%\) du prix avant réduction.

Facture 1 complétée

Facture 2 complétée

Corrigé de l’exercice 5 : construction et théorème de Thalès

1. Remarque préalable : dans le triangle ABC rectangle en A, \(AB^2 + AC^2 = 3{,}2^2 + 2{,}4^2 = 10{,}24 + 5{,}76 = 16\), donc \(BC = 4\) cm, ce qui correspond bien à BD + DC = 2,5 + 1,5. Les données sont cohérentes. Voici une construction possible :

• trace un segment [AB] de 3,2 cm ;
• trace les perpendiculaires à (AB) passant par A et par B (avec l’équerre) ;
• sur la perpendiculaire en A, place C tel que AC = 2,4 cm ;
• trace [BC] et place D sur [BC] tel que BD = 2,5 cm (alors DC = 1,5 cm) ;
• trace la droite (AD) : elle coupe la perpendiculaire en B au point E, du même côté que C.

Si tu construis bien, tu dois mesurer BE ≈ 4 cm, ce que confirme la question 2.

2. Les droites (AC) et (BE) sont toutes les deux perpendiculaires à (AB), donc elles sont parallèles. Les points C, D, B d’une part et A, D, E d’autre part sont alignés, et D est entre C et B. D’après le théorème de Thalès dans les triangles DAC et DEB :

\[\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{DE}{DA} = \dfrac{BE}{CA}\]

\[\dfrac{2{,}5}{1{,}5} = \dfrac{BE}{2{,}4} \quad \text{donc} \quad BE = \dfrac{2{,}5 \times 2{,}4}{1{,}5} = \dfrac{6}{1{,}5} = 4\ \text{cm}\]

Le triangle ABE est rectangle en B, donc son aire est :

\[\mathcal{A}_{ABE} = \dfrac{AB \times BE}{2} = \dfrac{3{,}2 \times 4}{2} = 6{,}4\ \text{cm}^2\]

L’aire du triangle ABE est 6,4 cm².

Corrigé de l’exercice 6 : escalier et plan incliné du skatepark

1. Les six marches identiques permettent de monter de 96 cm, donc la hauteur d’une marche est \(h = 96 \div 6 = 16\) cm.

Pour la profondeur, on regarde le profil : les six contremarches sont placées l’une après l’autre entre B et C, et entre deux contremarches consécutives il y a une marche horizontale. Entre la première (au niveau de B) et la dernière (en C), il y a donc 5 profondeurs de marche, qui couvrent 150 cm : \(p = 150 \div 5 = 30\) cm.

\[2h + p = 2 \times 16 + 30 = 62\]

Comme \(60 \leqslant 62 \leqslant 65\), les normes de construction sont respectées.

2. Le triangle ABD est rectangle en B, avec AB = 96 cm et BD = BC + CD = 150 + 55 = 205 cm.

Longueur du plan incliné. D’après le théorème de Pythagore :

\[AD^2 = AB^2 + BD^2 = 96^2 + 205^2 = 9\,216 + 42\,025 = 51\,241\]

\[AD = \sqrt{51\,241} \approx 226{,}4\ \text{cm} \approx 2{,}26\ \text{m}\]

Cette longueur est comprise entre 2,20 m et 2,50 m.

Angle avec le sol. Pour l’angle \(\widehat{BDA}\), [AB] est le côté opposé et [BD] le côté adjacent :

\[\tan \widehat{BDA} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{96}{205} \quad \text{donc} \quad \widehat{BDA} \approx 25{,}1^\circ\]

Cet angle est compris entre 20° et 30°. Les deux demandes des habitués sont satisfaites.

Corrigé de l’exercice 7 : vrai ou faux

Affirmation 1. On convertit la vitesse du coureur en mètres par seconde : 18 km = 18 000 m et 1 h = 3 600 s, donc

\[v = \dfrac{18\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = 5\ \text{m/s}\]

Le coureur va exactement aussi vite que la voiture télécommandée, pas strictement plus vite. L’affirmation est fausse.

Affirmation 2. On développe avec l’identité \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) :

\[(3x – 5)^2 = 9x^2 – 30x + 25\]

Ce n’est pas \(9x^2 – 25\). Par exemple, pour \(x = 0\) : \((3 \times 0 – 5)^2 = 25\) alors que \(9 \times 0^2 – 25 = -25\). L’affirmation est fausse.

Affirmation 3. Un contre-exemple suffit. Prenons la série 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 20. Sa médiane est 3 (la valeur du milieu) et sa moyenne est \(\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 20}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\). Ici la médiane est plus petite que la moyenne. L’affirmation est fausse.

Corrigé de l’exercice 8 : perles de pâte à modeler

On travaille en millimètres, car les perles sont données en mm.

Volume d’un bloc. 6 cm = 60 mm et 2 cm = 20 mm, donc

\[V_{\text{bloc}} = 60 \times 60 \times 20 = 72\,000\ \text{mm}^3\]

Volume d’une perle ronde. C’est une boule de rayon 4 mm :

\[V_{\text{ronde}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 4^3 = \dfrac{256\pi}{3} \approx 268{,}1\ \text{mm}^3\]

Volume d’une perle longue. C’est un cylindre de rayon 4 mm et de hauteur 16 mm :

\[V_{\text{longue}} = \pi \times 4^2 \times 16 = 256\pi \approx 804{,}2\ \text{mm}^3\]

Nombre de perles par bloc.

• Bloc bleu : \(72\,000 \div 268{,}1 \approx 268{,}6\), soit 268 perles rondes entières, de quoi garnir \(268 \div 8 = 33{,}5\), donc 33 bracelets.
• Bloc blanc : \(72\,000 \div 804{,}2 \approx 89{,}5\), soit 89 perles longues entières, de quoi garnir \(89 \div 4 = 22{,}25\), donc 22 bracelets.

C’est la pâte blanche qui s’épuise en premier : les perles longues limitent la production. Flora peut espérer réaliser 22 bracelets (il lui restera de la pâte bleue).

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