Corrigé du brevet de maths 2019 : France, sujet de secours
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2019 : France, sujet de secours. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé secours 2019
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé secours 2019 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 6 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Dés et nombres premiers » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Scratch, rotation et symétrie » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Sécurité routière et statistiques » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Tour Eiffel : tangente et Thalès » (exercice 4). Puis en outre, le corrigé explique « Programmes de calcul et parité » (exercice 5).
Enfin, la correction reprend « Volumes de verres et graphique » (exercice 6).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé secours 2019 sont le programme Scratch, les transformations du plan, le tableur, la médiane et les statistiques et la trigonométrie, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (secours 2019) : dés, nombres premiers et probabilités
1. Les six plus petits nombres impairs positifs sont 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 : ce sont les nombres du deuxième dé.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même (donc 1 n’est pas premier). Les six plus petits sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 : ce sont les nombres du troisième dé.
2. a. Les nombres dont le carré vaut 25 sont 5 et \(-5\). Seul 5 figure sur le troisième dé : Zoé a obtenu 5.
b. Léo obtient un carré supérieur à 25 quand le nombre lu est supérieur à 5 (tous les nombres du dé sont positifs). Sur le premier dé, cela correspond à 6, 8, 10 et 12 : 4 faces sur 6, toutes équiprobables. De plus, la probabilité est :
\[\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\]
La probabilité que Léo batte Zoé est \(\dfrac{2}{3}\).
3. a. Ensuite, on décompose 525 en produit de facteurs premiers :
\[525 = 5 \times 105 = 5 \times 5 \times 21 = 3 \times 5 \times 5 \times 7\]
Le produit est impair, donc aucun des quatre nombres n’est pair : le premier dé est exclu. Les quatre nombres sont des nombres impairs pris parmi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Comme 525 compte exactement quatre facteurs premiers (3, 5, 5 et 7), deux cas seraient possibles : soit chaque lancer donne un de ces facteurs, soit un lancer donne 1 et un autre donne le produit de deux facteurs premiers (15, 21, 25 ou 35), ce qui est impossible car aucun dé ne porte ces nombres. Ensuite, le nombre 9 ne convient pas non plus car 525 n’est pas divisible par 9. Oui : les quatre nombres obtenus sont forcément 3, 5, 5 et 7 (dans un ordre qu’on ne connaît pas).
Corrigé de l’exercice 1 (secours 2019) : dés, nombres premiers et (suite)
b. Les nombres 3, 5 et 7 figurent à la fois sur le deuxième dé (impairs) et sur le troisième dé (premiers). Les deux dés permettent donc d’obtenir ce produit : non, on ne peut pas savoir quel dé Mohamed a choisi. Puis on sait seulement que ce n’est pas le premier.
Corrigé de l’exercice 2 : motif en Scratch et rotation
1. Le lutin part du point de départ, orienté vers la droite, et 10 pixels correspondent à 1 cm. Alors on suit le script de Mathieu :
- avancer de 10 : 1 cm vers la droite ;
- tourner à gauche de 90° (le lutin regarde vers le haut), avancer de 30 : 3 cm vers le haut ;
- tourner à gauche (vers la gauche), avancer de 20 : 2 cm vers la gauche ;
- répéter 2 fois « tourner à gauche, avancer de 10 » : 1 cm vers le bas, puis 1 cm vers la droite ;
- tourner à droite (vers le bas), avancer de 20 : 2 cm vers le bas, retour au point de départ.
Ensuite, on obtient une colonne de 1 cm sur 3 cm avec un carré de 1 cm accolé à gauche en haut, en forme de « 7 » à l’envers :
Ce n’est pas le motif voulu, dont le carré de gauche est au milieu de la colonne.
2. C’est Élise. (En suivant son script, le lutin passe par les points (10 ; 0), (10 ; 30), (0 ; 30), (0 ; 20), (−10 ; 20), (−10 ; 10), (0 ; 10) et revient en (0 ; 0) : c’est exactement le motif. Par ailleurs, le script de Pierre repasse deux fois sur le même carré en haut de la colonne et ne dessine jamais le carré de gauche.)
Corrigé de l’exercice 2 : motif en Scratch et rotation (suite)
3. a. Les quatre motifs ont la même forme et la même taille, et tournent autour du point commun situé au centre de la figure : le motif 2 est le motif 1 couché vers la gauche, le motif 3 est tourné vers le bas, etc. On passe de l’un au suivant par la rotation de centre le point central de la figure et d’angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
b. Le point de départ du motif (coin inférieur gauche de la colonne) est justement le centre de la figure. De plus, avec le script d’Élise, le lutin revient à ce point en regardant de nouveau vers la droite. Puis il suffit donc de tracer le motif, de tourner de 90° vers la gauche, et de recommencer quatre fois. La ligne 7 devient :
7. un bloc « répéter 4 fois » qui contient, dans l’ordre, le bloc « Motif » puis le bloc « tourner ↺ de 90 degrés » (vers la gauche).
Le premier passage dessine le motif 1 (lutin orienté à droite, colonne vers le haut) ; après le quart de tour, le lutin regarde vers le haut et dessine le motif 2, puis les motifs 3 et 4.
Corrigé de l’exercice 2 : motif en Scratch et rotation (suite)
4. La figure A est inchangée par un quart de tour autour de son centre (le point où se rejoignent les quatre motifs), donc aussi par un demi-tour. Ensuite, la figure B est la même figure, dont le centre est décalé de 8 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut. Une symétrie centrale de centre O envoie le centre de A sur le centre de B : O est le milieu du segment qui joint le centre de A au centre de B, c’est-à-dire le point situé à 4 carreaux à droite et 1 carreau au-dessus du centre de A.
Corrigé de l’exercice 3 : sécurité routière, pourcentages et statistiques
1. a. Les 1 911 décès représentent 55 % du total \(T\). Puis on a donc \(0{,}55 \times T = 1\,911\), d’où :
\[T = \dfrac{1\,911}{0{,}55} \approx 3\,474{,}5\]
Il y a eu environ 3 475 décès sur l’ensemble des routes en 2016.
b. Sauver 400 vies sur 3 475 revient à une baisse de :
\[\dfrac{400}{3\,475} \times 100 \approx 11{,}51\ \%\]
Le nombre de morts aurait baissé d’environ 11,5 %.
2. a. Les automobilistes en infraction roulaient à plus de 80 km/h : ce sont ceux des colonnes F à J. Leur nombre est \(1 + 7 + 4 + 3 + 6 = 21\). On calcule la moyenne pondérée :
\[\dfrac{82 \times 1 + 86 \times 7 + 90 \times 4 + 91 \times 3 + 97 \times 6}{21} = \dfrac{82 + 602 + 360 + 273 + 582}{21} = \dfrac{1\,899}{21} \approx 90{,}43\]
Leur vitesse moyenne est d’environ 90,4 km/h.
b. Vitesse de la colonne B. De plus, les vitesses sont rangées dans l’ordre croissant, donc B1 est la plus petite vitesse et 97 km/h la plus grande. L’étendue vaut 27 km/h, donc B1 = 97 − 27 = 70 km/h.
Effectif de la colonne B. Notons \(n\) le nombre d’automobilistes à 70 km/h. Il y a alors \(n + 39\) automobilistes au total (car \(2 + 10 + 6 + 1 + 7 + 4 + 3 + 6 = 39\)). Avant la valeur 82, on compte \(n + 2 + 10 + 6 = n + 18\) automobilistes, et un seul roule à 82 km/h : c’est le \((n+19)\)e. Comme 82 n’apparaît qu’une fois et que ses voisines sont 79 et 86, la médiane ne peut valoir 82 que si ce conducteur est exactement au milieu de la série, avec autant de conducteurs avant lui qu’après lui :
Corrigé de l’exercice 3 : sécurité routière, pourcentages et (suite)
\[n + 18 = 7 + 4 + 3 + 6 \quad \text{soit} \quad n + 18 = 20 \quad \text{donc} \quad n = 2\]
Vérification : avec 41 conducteurs, la médiane est la 21e valeur ; les 20 premières sont 70, 72, 77 et 79 (2 + 2 + 10 + 6 = 20), et la 21e est bien 82. Ensuite, les données manquantes sont B1 = 70 et B2 = 2.
c. Il faut additionner les effectifs de la ligne 2, de la colonne B à la colonne J : =SOMME(B2:J2) (on obtient 41).
Corrigé de l’exercice 4 : la tour Eiffel en photo
1. La tour est verticale et le sol horizontal, donc le triangle ABH est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{HAB}\), [BH] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent : on utilise la tangente.
\[\tan \widehat{HAB} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{324}{600} = 0{,}54 \quad \text{donc} \quad \widehat{HAB} \approx 28{,}4^\circ\]
Au degré près, \(\widehat{HAB} \approx 28^\circ\).
2. Notons T le sommet de la tête de Leila. Par ailleurs, pour paraître aussi grande que la tour, sa tête doit être sur la droite (AH). Leila et la tour sont verticales, donc (LT) et (BH) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires au sol). Les points A, L, B et A, T, H sont alignés : d’après le théorème de Thalès,
\[\dfrac{AL}{AB} = \dfrac{LT}{BH} \quad \text{soit} \quad \dfrac{AL}{600} = \dfrac{1{,}70}{324}\]
\[AL = \dfrac{600 \times 1{,}70}{324} = \dfrac{1\,020}{324} \approx 3{,}148\ \text{m}\]
Leila doit se placer à environ 3,15 m de son appareil.
Autre méthode pour vérifier : dans le triangle ALT rectangle en L, \(AL = \dfrac{1{,}70}{\tan \widehat{HAB}} = \dfrac{1{,}70}{0{,}54} \approx 3{,}148\) m.
Corrigé de l’exercice 5 : deux programmes de calcul et parité
1. a. Programme A avec 5 : d’un côté \(5 \times 4 = 20\) ; de l’autre \(5 – 2 = 3\) puis \(3^2 = 9\). Puis on ajoute : \(20 + 9 = 29\). Le résultat est bien 29.
b. Programme B avec 5 : \(5^2 = 25\), puis \(25 + 6 = 31\). Ensuite, le résultat est 31.
2. Avec \(x\), la branche de gauche donne \(4x\) et celle de droite \((x – 2)^2\). Le résultat est \(4x + (x-2)^2\). Puis on développe avec l’identité \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) :
\[4x + (x – 2)^2 = 4x + x^2 – 4x + 4 = x^2 + 4\]
Le résultat du programme A est donc \(x^2 + 4\). (Contrôle avec 5 : \(25 + 4 = 29\).)
3. Le programme B donne \(x^2 + 6\).
4. a. Puis on calcule :
\[\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + 6 = \dfrac{4}{9} + \dfrac{54}{9} = \dfrac{58}{9}\]
L’affirmation est vraie.
b. Un contre-exemple suffit : avec 2, le programme B donne \(2^2 + 6 = 10\), qui est pair. L’affirmation est fausse. (En fait, le résultat est impair seulement quand le nombre choisi est impair.)
c. Un carré est toujours positif ou nul : \(x^2 \geqslant 0\). Donc \(x^2 + 6 \geqslant 6\), et le résultat est toujours supérieur ou égal à 6. De plus, L’affirmation est vraie.
d. Pour un même entier \(x\), la différence des deux résultats vaut :
\[(x^2 + 6) – (x^2 + 4) = 2\]
Les deux résultats sont des entiers qui diffèrent de 2. Or ajouter 2 à un entier ne change pas sa parité : si \(x^2 + 4\) est pair, \(x^2 + 6\) l’est aussi, et s’il est impair, \(x^2 + 6\) aussi. L’affirmation est vraie. (Exemples : avec 3, on obtient 13 et 15, tous deux impairs ; avec 4, on obtient 20 et 22, tous deux pairs.)
Corrigé de l’exercice 6 : volumes d’un verre cylindrique et d’un verre conique
Les lectures des questions 1 et 4.a sont repérées sur ce graphique :
1. a. La représentation du verre A est une droite qui passe par l’origine : le volume et la hauteur sont proportionnels pour le verre A. Celle du verre B est une courbe, qui n’est pas une droite : il n’y a pas proportionnalité.
b. Ensuite, on part de 5 sur l’axe des hauteurs, on monte jusqu’à la droite du verre A et on lit environ 140 cm³ (le calcul exact donne \(\pi \times 3^2 \times 5 \approx 141\ \text{cm}^3\)).
c. Puis on part de 50 sur l’axe des volumes, on va jusqu’à la courbe du verre B et on redescend : la hauteur est d’environ 5,6 cm.
2. Volume total du verre A (cylindre) :
\[V_A = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282{,}7\ \text{cm}^3\]
Volume total du verre B (cône) :
\[V_B = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5{,}2^2 \times 10 = \dfrac{270{,}4\pi}{3} \approx 283{,}2\ \text{cm}^3\]
Arrondis à l’unité, les deux volumes valent 283 cm³ : les deux verres ont le même volume total à 1 cm³ près (l’écart est d’environ 0,4 cm³).
3. Dans le verre A, le jus forme un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur \(h\). Ensuite, on résout :
\[\pi \times 3^2 \times h = 200 \quad \text{donc} \quad h = \dfrac{200}{9\pi} \approx 7{,}07\ \text{cm}\]
La hauteur de jus est d’environ 7 cm.
4. a. Pour une hauteur de 8 cm, on lit environ 226 cm³ pour le verre A et environ 145 cm³ pour le verre B. Chaque verre B contient moins de jus, donc avec 1 L on en remplit davantage : il faut choisir le verre B.
Corrigé de l’exercice 6 : volumes d’un verre cylindrique et d’un (suite)
b. Volume de jus dans un verre A rempli sur 8 cm :
\[\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226{,}2\ \text{cm}^3\]
Or \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3\), et \(\dfrac{1\,000}{226{,}2} \approx 4{,}4\). Il ne peut remplir que des verres complets : il servira au maximum 4 verres A (\(4 \times 226{,}2 = 904{,}8\ \text{cm}^3\), alors que 5 verres demanderaient 1 131 cm³).
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé secours 2019
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne le programme Scratch, suis les blocs dans l’ordre et note à chaque tour de boucle ce que fait le lutin, car c’est là que se cachent les pièges. Quant aux transformations du plan, transforme les sommets un par un, puis relie-les : une symétrie, une translation ou une rotation conserve les longueurs. Par ailleurs, dans les questions sur le tableur, écris la formule en commençant par le signe =, puis vérifie les références de cellules avant de la recopier. Au besoin, la définition de la notion de langage Scratch sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé secours 2019 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé secours 2019
Faut-il lire le corrigé corrigé secours 2019 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2019. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur le programme Scratch, les transformations du plan, le tableur et la médiane et les statistiques. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé secours 2019
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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