Corrigé du brevet de maths 2021 : Amérique du Nord

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2021 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : six affirmations vrai ou faux

1. On calcule l’image de \(-1\) : \(f(-1) = 3 \times (-1) – 7 = -3 – 7 = -10\). L’image de \(-1\) est \(-10\) et non 2 : l’affirmation 1 est fausse.

2. On développe avec la double distributivité : \(\text{E} = x \times x + x \times 1 – 5 \times x – 5 \times 1 = x^2 + x – 5x – 5 = x^2 – 4x – 5\). L’affirmation 2 est vraie.

3. Pour \(n = 5\) : \(2^5 + 1 = 32 + 1 = 33\). Or \(33 = 3 \times 11\) : 33 a d’autres diviseurs que 1 et lui-même, il n’est pas premier. L’affirmation 3 est fausse.

4. La somme des fréquences de toutes les faces vaut toujours 1. Les cinq premières fréquences donnent déjà \(\dfrac{3 + 4 + 5 + 2 + 1}{15} = \dfrac{15}{15} = 1\). Il ne reste rien pour la face 6 : sa fréquence vaut \(1 – 1 = 0\) (le 6 n’est jamais sorti en 15 lancers). L’affirmation 4 est vraie.

5. Dans le triangle RAS rectangle en S, pour l’angle \(\widehat{\text{ARS}}\) de sommet R, le côté [AS] est le côté opposé et [RS] est le côté adjacent. On utilise donc la tangente :

\[\tan \widehat{\text{ARS}} = \dfrac{\text{AS}}{\text{RS}} \quad \text{donc} \quad \text{RS} = \dfrac{\text{AS}}{\tan 26^\circ} = \dfrac{80}{\tan 26^\circ} \approx 164{,}02\ \text{cm}\]

RS mesure bien environ 164 cm : l’affirmation 5 est vraie.

6. Une diagonale, par exemple [AC], partage le rectangle en deux triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit mesurent 160 cm et 95 cm. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AC}^2 = 160^2 + 95^2 = 25\,600 + 9\,025 = 34\,625\]

Or \(186^2 = 34\,596\), qui est différent de 34 625. La diagonale mesure \(\sqrt{34\,625} \approx 186{,}08\) cm : elle vaut environ 186 cm, mais pas exactement. L’affirmation 6 est fausse.

Corrigé de l’exercice 2 : lecture graphique d’un triathlon

1. Le premier changement d’équipement correspond au premier palier horizontal du graphique (la distance ne change plus). Il commence à l’abscisse 14 : l’athlète s’est arrêtée au bout de 14 minutes.

2. Le parcours total mesure 12,9 km ; la natation fait 400 m, soit 0,4 km, et la course à pied 2,5 km. Le cyclisme mesure donc \(12{,}9 – 0{,}4 – 2{,}5 = 10\) km. Le graphique le confirme : pendant l’épreuve 2, la distance passe de 0,4 km à 10,4 km (point M). Le parcours de cyclisme mesure 10 km.

3. La course à pied est le segment 3 : il commence à la fin du deuxième palier, à 44 minutes, et se termine à 56 minutes. Elle a duré \(56 – 44 = 12\) minutes, soit 12 minutes.

4. On calcule la vitesse de chaque épreuve en km/h (une heure = 60 minutes) :

• natation : 0,4 km en 14 min, soit \(\dfrac{0{,}4}{14} \times 60 \approx 1{,}7\) km/h ;
• cyclisme : 10 km en \(42 – 15 = 27\) min, soit \(\dfrac{10}{27} \times 60 \approx 22{,}2\) km/h ;
• course à pied : 2,5 km en 12 min, soit \(\dfrac{2{,}5}{12} \times 60 = 12{,}5\) km/h.

Sur le graphique, c’est aussi le segment le moins pentu. L’athlète a été la moins rapide pendant l’épreuve de natation.

5. Changements d’équipement compris, l’athlète a parcouru 12,9 km entre la minute 0 et la minute 56 (dernier point du graphique). Sa vitesse moyenne vaut :

\[v = \dfrac{12{,}9\ \text{km}}{56\ \text{min}} = \dfrac{12{,}9}{56} \times 60\ \text{km/h} \approx 13{,}8\ \text{km/h}\]

Autre façon de voir : à 14 km/h, elle aurait parcouru en 56 minutes \(14 \times \dfrac{56}{60} \approx 13{,}07\) km, plus que 12,9 km. Donc non, sa vitesse moyenne n’est pas supérieure à 14 km/h (environ 13,8 km/h).

Corrigé de l’exercice 3 : symétries et rotations dans une rosace

1. L’axe (DB) est la droite verticale qui passe par O. Deux carrés placés de part et d’autre de cet axe, à la même hauteur, sont symétriques : par exemple les carrés 2 et 8 (les couples 3 et 7, ou 4 et 6, conviennent aussi). Les carrés 1 et 5 sont chacun leur propre image, ils ne répondent pas à la question.

2. Le symétrique d’un point par rapport à O est « à l’opposé » de O, à la même distance. Le carré 8 est en haut à gauche : son image par la symétrie de centre O est le carré situé en bas à droite, c’est-à-dire le carré 4. Non, le carré 3 n’est pas l’image du carré 8.

3. Passer du carré 1 au carré 2, c’est tourner d’un cran (45°) dans le sens des aiguilles d’une montre. En faisant tourner le carré 8 d’un cran dans ce sens, on arrive sur le carré 1. L’image du carré 8 est le carré 1.

4. Pour aller du carré 2 au carré 5, il faut trois crans dans le sens des aiguilles d’une montre : c’est la rotation de centre O d’angle \(3 \times 45^\circ = 135^\circ\). Chaque sommet extérieur tourne aussi de trois crans : E (sommet du carré 2) arrive en H (sommet du carré 5) et F (sommet du carré 3) arrive en I (sommet du carré 6). L’image du segment [EF] est donc le segment [HI].

Corrigé de l’exercice 4 : instructions sur un motif de neuf cases

1. On part d’un motif tout blanc. A noircit la case centrale, puis B noircit la case en bas à gauche et la case en haut à droite. On obtient une diagonale noire qui monte de la case en bas à gauche vers la case en haut à droite :

2. Dans le motif à obtenir, seules les cases médianes à gauche et à droite sont blanches. On teste chaque proposition :

• proposition 1 (A B C) : seules cinq cases sont noircies (centre, deux coins, deux cases médianes) ; ce n’est pas le motif ;
• proposition 2 (C E) : C noircit les deux cases médianes, E inverse tout, donc ces deux cases deviennent blanches et les sept autres noires ; c’est le motif ;
• proposition 3 (B C E C) : après B C E, les cases blanches sont les deux coins de B et les deux cases médianes ; le dernier C renoircit les cases médianes, il reste deux coins blancs ; ce n’est pas le motif ;
• proposition 4 (C A E A) : après C A, les trois cases de la ligne du milieu sont noires ; E les rend blanches et noircit tout le reste ; le dernier A renoircit la case centrale ; c’est le motif.

Les deux bonnes propositions sont la proposition 2 (C E) et la proposition 4 (C A E A).

3. Dans le motif demandé, les cases blanches sont celles de la question 1 (en bas à gauche, au centre, en haut à droite) et toutes les autres sont noires : c’est exactement le motif de la question 1 inversé. La suite A B E convient (B A E aussi).

Corrigé de l’exercice 5 : devis pour une salle de bain

1. La pièce a quatre murs rectangulaires de 2,50 m de haut : deux murs de 3,50 m de long et deux murs de 2,50 m de long.

\[2 \times 3{,}5 \times 2{,}5 + 2 \times 2{,}5 \times 2{,}5 = 17{,}5 + 12{,}5 = 30\ \text{m}^2\]

On enlève la porte (\(2{,}1 \times 0{,}8 = 1{,}68\ \text{m}^2\)) et la fenêtre (\(1{,}2 \times 1{,}6 = 1{,}92\ \text{m}^2\)) :

\[30 – 1{,}68 – 1{,}92 = 26{,}4\ \text{m}^2\]

La surface à recouvrir mesure bien 26,4 m².

2. Un rouleau à 16,95 € couvre 5,3 m². Le prix d’un mètre carré est donc \(\dfrac{16{,}95}{5{,}3} \approx 3{,}198\) €, soit environ 3,20 € le mètre carré.

3. Nombre de rouleaux : \(\dfrac{26{,}4}{5{,}3} \approx 4{,}98\). Quatre rouleaux ne suffisent pas, il en faut 5 ; avec le rouleau supplémentaire conseillé, on achète 6 rouleaux, soit \(6 \times 16{,}95 = 101{,}70\) €.

Nombre de pots de colle : un pot pour 4 rouleaux, donc un pot ne suffit pas pour 6 rouleaux ; il faut 2 pots (vendus entiers), soit \(2 \times 5{,}70 = 11{,}40\) €.

Coût total : \(101{,}70 + 11{,}40 = 113{,}10\). La rénovation coûtera 113,10 €.

4. Retirer 8 %, c’est payer \(100 – 8 = 92\) % du prix, donc multiplier par 0,92 :

\[113{,}10 \times 0{,}92 = 104{,}052\]

Après remise, le prix à payer est d’environ 104,05 €.

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