Corrigé du brevet de maths 2023 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2023 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Nord 2023
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2023 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 5 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Cinq situations indépendantes » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Pythagore, Thalès et trigonométrie » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Statistiques : visiteurs et prix des hôtels » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Scratch : motif Fleur » (exercice 4). Enfin, le corrigé explique « Piste d’hippodrome : longueur, vitesse et gazon » (exercice 5).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2023 sont les volumes, les aires, les agrandissements et réductions, le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2023) : cinq situations indépendantes
Situation 1
Ensuite, on divise 780 par les nombres premiers dans l’ordre croissant : \(780=2\times390\), \(390=2\times195\), \(195=3\times65\), \(65=5\times13\), et 13 est premier. Ensuite, on obtient donc :
\[780=2^2\times3\times5\times13\]
Tu peux vérifier : \(4\times3\times5\times13=12\times65=780\). Par ailleurs, la décomposition est \(780=2^2\times3\times5\times13\).
Situation 2
La carte est tirée au hasard : les 32 cartes ont la même chance d’être tirées, on est dans une situation d’équiprobabilité. Puis une probabilité se calcule alors en divisant le nombre de cartes favorables par 32.
a. Il n’existe qu’un seul 8 de pique dans le jeu. Ensuite, la probabilité est \(\dfrac{1}{32}\).
b. Il y a 8 cœurs et 4 rois, mais le roi de cœur appartient aux deux groupes : il ne faut le compter qu’une fois. Puis le nombre de cartes favorables est \(8+4-1=11\). De plus, la probabilité d’obtenir un roi ou un cœur est \(\dfrac{11}{32}\).
Situation 3
Puis on utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
\[A=2x\times3x+2x\times(-4)+5\times3x+5\times(-4)=6x^2-8x+15x-20\]
Alors on regroupe les termes en \(x\) : \(-8x+15x=7x\). Donc \(A=6x^2+7x-20\).
Situation 4
a. Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur. Ici la base est le triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 80 cm et 60 cm, et la hauteur du prisme (la distance entre les deux bases) vaut 120 cm. Ensuite, la longueur 100 cm est l’hypoténuse du triangle : elle ne sert pas pour le volume.
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2023) : cinq situations indépendantes (suite)
\[\mathcal{A}_{\text{base}}=\dfrac{80\times60}{2}=2\,400\ \text{cm}^2\]
\[V=2\,400\times120=288\,000\ \text{cm}^3\]
Le volume du prisme est 288 000 cm³.
b. Comme \(1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3\), on divise par 1 000 : \(288\,000\ \text{cm}^3=288\ \text{dm}^3\). Et puisque 1 L = 1 dm³, le prisme a un volume de 288 L.
Situation 5
Quand les longueurs d’une figure sont multipliées par un coefficient \(k\), son aire est multipliée par \(k^2\). Ici \(k=3\), donc l’aire est multipliée par \(3^2=9\) :
\[\mathcal{A}_2=9\times11=99\ \text{cm}^2\]
L’aire du polygone 2 est 99 cm² (et non 33 cm² : le piège serait de multiplier l’aire par 3 seulement).
Corrigé de l’exercice 2 : triangle rectangle, Thalès et trigonométrie
1. Le plus grand côté du triangle LNA est [AN]. Ensuite, on compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[\text{AN}^2=13^2=169\]
\[\text{LN}^2+\text{AL}^2=5^2+12^2=25+144=169\]
Les deux résultats sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LNA est rectangle en L (le sommet opposé au plus grand côté).
2. Les droites (AL) et (OH) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (LN) : (AL) d’après la question 1, (OH) d’après le codage de la figure. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (OH) et (AL) sont parallèles.
Les points N, O, L sont alignés, les points N, H, A aussi, et (OH) est parallèle à (LA). D’après le théorème de Thalès dans les triangles NOH et NLA :
\[\dfrac{\text{NO}}{\text{NL}}=\dfrac{\text{NH}}{\text{NA}}=\dfrac{\text{OH}}{\text{LA}}\]
On utilise la première et la dernière fraction : \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{\text{OH}}{12}\), d’où \(\text{OH}=\dfrac{3\times12}{5}=\dfrac{36}{5}=7{,}2\).
Puis on a bien OH = 7,2 cm.
3. Dans le triangle LNA rectangle en L, pour l’angle \(\widehat{\text{LNA}}\), le côté adjacent est [NL] et l’hypoténuse est [NA]. Ensuite, on utilise le cosinus :
\[\cos\widehat{\text{LNA}}=\dfrac{\text{NL}}{\text{NA}}=\dfrac{5}{13}\]
Avec la touche \(\arccos\) (ou \(\cos^{-1}\)) de la calculatrice : \(\widehat{\text{LNA}}\approx67{,}38^\circ\). Arrondi à l’unité : \(\widehat{\text{LNA}}\approx67^\circ\).
Tu peux contrôler avec la tangente : \(\tan\widehat{\text{LNA}}=\dfrac{12}{5}\) donne aussi environ 67°.
4. Deux triangles sont semblables dès qu’ils ont deux angles deux à deux de même mesure. Ici :
Corrigé de l’exercice 2 : triangle rectangle, Thalès et trigonométrie (suite)
- l’angle en N, \(\widehat{\text{LNA}}=\widehat{\text{ONH}}\), est commun aux deux triangles ;
- l’angle en L du triangle LNA et l’angle en O du triangle ONH sont tous les deux droits.
Les triangles LNA et ONH ont donc deux angles égaux deux à deux : ils sont semblables. (Leurs troisièmes angles sont d’ailleurs égaux aussi, puisque la somme des angles d’un triangle fait 180°.)
5. a. Le quadrilatère LOHA est le triangle LNA auquel on a retiré le triangle ONH. Par ailleurs, les deux sont rectangles, donc leur aire vaut la moitié du produit des côtés de l’angle droit :
\[\mathcal{A}_{\text{LNA}}=\dfrac{\text{LN}\times\text{LA}}{2}=\dfrac{5\times12}{2}=30\ \text{cm}^2\]
\[\mathcal{A}_{\text{ONH}}=\dfrac{\text{ON}\times\text{OH}}{2}=\dfrac{3\times7{,}2}{2}=10{,}8\ \text{cm}^2\]
\[\mathcal{A}_{\text{LOHA}}=30-10{,}8=19{,}2\ \text{cm}^2\]
L’aire du quadrilatère LOHA est 19,2 cm².
b. Puis on divise l’aire de LOHA par celle de LNA :
\[\dfrac{19{,}2}{30}=0{,}64\]
Le quadrilatère LOHA représente 64 % de l’aire du triangle LNA, soit \(\dfrac{16}{25}\).
Autre méthode : ONH est une réduction de LNA de coefficient \(\dfrac{3}{5}\), donc son aire vaut \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=0{,}36\) fois celle de LNA ; il reste \(1-0{,}36=0{,}64\) pour LOHA.
Corrigé de l’exercice 3 : visiteurs d’un site touristique et prix des hôtels
Partie A
1. a. Le haut du bâton de 2010 est exactement sur la ligne 300 000 : il y a eu 300 000 visiteurs en 2010.
b. Le bâton le plus haut est celui de 2019, qui atteint 400 000 : le nombre de visiteurs a été le plus élevé en 2019.
2. Augmenter une quantité de 15 %, c’est la multiplier par \(1+\dfrac{15}{100}=1{,}15\). Puis pour atteindre l’objectif, il fallait donc au moins :
\[187\,216\times1{,}15=215\,298{,}4\ \text{visiteurs}\]
Or il y a eu 219 042 visiteurs en 2021, ce qui est plus que 215 298,4.
On peut aussi calculer le pourcentage réel d’évolution : \(\dfrac{219\,042-187\,216}{187\,216}=\dfrac{31\,826}{187\,216}\approx0{,}17\), soit une hausse d’environ 17 %.
L’objectif du maire a été atteint.
Partie B
3. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série : \(500-60=440\). L’étendue des prix est de 440 €.
4. C’est une moyenne pondérée par les effectifs. Ensuite, L’effectif total est :
\[1\,200+1\,350+1\,000+1\,100+1\,200+1\,300+900+300=8\,350\]
La somme des produits prix × effectif vaut :
\[60\times1\,200+80\times1\,350+85\times1\,000+90\times1\,100+110\times1\,200+120\times1\,300+350\times900+500\times300\]
\[=72\,000+108\,000+85\,000+99\,000+132\,000+156\,000+315\,000+150\,000=1\,117\,000\]
\[\text{moyenne}=\dfrac{1\,117\,000}{8\,350}\approx133{,}77\]
La moyenne des prix facturés pour une nuit est d’environ 134 €.
5. De même, la moitié de l’effectif total est \(8\,350\div2=4\,175\) nuits. Alors on additionne les effectifs des prix inférieurs à 100 € (60, 80, 85 et 90 €) :
\[1\,200+1\,350+1\,000+1\,100=4\,650\]
Comme \(4\,650\gt4\,175\), plus de la moitié des nuits (environ 56 %) sont facturées moins de 100 €. Puis en langage statistique : la médiane de la série est 90 €, car la 4 175e et la 4 176e valeur sont toutes les deux égales à 90 €.
Corrigé de l’exercice 3 : visiteurs d’un site touristique et prix des (suite)
L’annonce de l’association est vraie.
Corrigé de l’exercice 4 : motif « Fleur » en Scratch
1. a. Avec l’échelle 1 cm pour 5 pas : KL = 35 ÷ 5 = 7 cm et LM = 20 ÷ 5 = 4 cm. Voici une construction possible :
- trace le segment [KL] de longueur 7 cm ;
- avec le rapporteur centré en L, trace une demi-droite qui fait un angle de 120° avec [LK] ;
- place M sur cette demi-droite à 4 cm de L ;
- au compas, trace un arc de centre M et de rayon 7 cm, puis un arc de centre K et de rayon 4 cm, du même côté que M ;
- leur point d’intersection est N (un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur est un parallélogramme) ; trace [MN] et [NK].
Vérifie ensuite l’angle en M : il doit mesurer 60°, car deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires (\(180-120=60\)).
b. Le lutin part de K, orienté vers la droite, et tourne vers la gauche. À chaque sommet, il ne tourne pas de l’angle intérieur mais de son supplément (l’angle dont il doit dévier de sa direction) :
- il avance de 35 pas jusqu’en L ;
- en L, l’angle intérieur est 120°, il tourne donc de \(180-120=60\) degrés ;
- il avance de 20 pas jusqu’en M ;
- en M, l’angle intérieur est 60°, il tourne donc de \(180-60=120\) degrés et se retrouve orienté vers la gauche, vers N.
Corrigé de l’exercice 4 : motif « Fleur » en Scratch (suite)
La boucle « répéter 2 fois » refait ces quatre instructions pour tracer [MN] et [NK]. Réponses : ligne 4 : 35 ; ligne 5 : 60 ; ligne 6 : 20 ; ligne 7 : 120.
Contrôle : sur un tour complet, le lutin tourne de \(60+120+60+120=360\) degrés et revient donc dans sa direction de départ.
2. a. Le motif « Fleur » comporte 5 pétales : on complète la ligne 2 par 5 (répéter 5 fois).
b. Les 5 pétales sont répartis régulièrement autour du centre, et après les avoir tous tracés le lutin doit avoir fait un tour complet, soit 360°. Entre deux pétales, il tourne donc de \(360\div5=72\) degrés : 72° est l’angle qui partage le tour complet en 5 parts égales.
c. Le nouveau motif compte 12 pétales. De plus, il faut répéter 12 fois et tourner à chaque fois de \(360\div12=30\) degrés : ligne 2 : répéter 12 fois ; ligne 4 : tourner de 30 degrés.
Corrigé de l’exercice 5 : la piste de l’hippodrome
1. Un tour de piste comprend les deux lignes droites et les deux virages. Les deux demi-cercles de rayon 40 m forment ensemble un cercle entier, dont le périmètre est \(2\times\pi\times40=80\pi\approx251{,}3\) m.
\[L=2\times850+80\pi=1\,700+80\pi\approx1\,951{,}3\ \text{m}\]
La longueur d’un tour de piste est bien d’environ 1 951 m.
2. a. Ensuite, on convertit la durée en secondes : 2 min 9 s = \(2\times60+9=129\) s. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée :
\[v=\dfrac{1\,951}{129}\approx15{,}1\ \text{m/s}\]
Arrondie à l’unité, la vitesse moyenne du cheval est d’environ 15 m/s.
b. En une heure il y a 3 600 s. À 15 m/s, le cheval parcourrait en une heure \(15\times3\,600=54\,000\) m, c’est-à-dire 54 km. La vitesse est donc d’environ 54 km/h.
(Si tu gardes la valeur non arrondie \(15{,}12\) m/s, tu trouves environ 54,4 km/h, ce qui reste cohérent.)
3. On ne peut acheter que des sacs entiers : pour chaque marque, on calcule le nombre de sacs nécessaire en arrondissant à l’entier supérieur, puis le prix total.
| Marque | Calcul du nombre de sacs | Sacs à acheter | Coût total |
|---|---|---|---|
| A | \(73\,027\div500\approx146{,}05\) | 147 | \(147\times141{,}95=20\,866{,}65\) € |
| B | \(73\,027\div400\approx182{,}57\) | 183 | \(183\times87{,}90=16\,085{,}70\) € |
| C | \(73\,027\div300\approx243{,}42\) | 244 | \(244\times66{,}50=16\,226\) € |
Le coût le plus faible est 16 085,70 € : il faut choisir la marque B.
Corrigé de l’exercice 5 : la piste de l’hippodrome (suite)
Attention : le prix au mètre carré le plus bas ne suffit pas toujours à conclure, car l’arrondi au sac supérieur modifie un peu les totaux. Ici, les deux méthodes donnent la même réponse.
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2023 : Amérique du Nord.
Bien réviser avec le corrigé corrigé Nord 2023
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne les volumes, écris la formule utilisée, puis remplace les longueurs pour que le correcteur suive ton calcul. Quant aux aires, écris la formule avant de remplacer, puis donne l’unité d’aire au carré. Dans les questions sur les agrandissements et réductions, calcule d’abord le coefficient d’agrandissement ou de réduction, puis applique-le aux longueurs, aux aires et aux volumes. Au besoin, la définition de la notion de volume sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord 2023 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2023
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2023 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2023. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les volumes, les aires, les agrandissements et réductions et le théorème de Pythagore. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2023
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
Les autres corrigés du brevet 2023
- Corrigé du brevet de maths 2023 : France
- Corrigé du brevet de maths 2023 : France, septembre
- De même, corrigé du brevet de maths 2023 : Centres étrangers
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2023 : Amérique du Nord» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
