Aller au contenu Maths PDF : cours, exercices, QCM, géométrie et calcul, du CM1 à la terminale
Maths PDF Accueil

Troisième · fiche 10 sur 12

Homothétie, agrandissement et réduction

Une homothétie agrandit ou réduit une figure depuis un centre. Le rapport commande tout : sa valeur absolue fixe la taille, son signe fixe le côté.

L'essentiel en trois points

  1. L'image de $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ vérifie $OM' = |k| \times OM$.
  2. Si $k > 0$, l'image est du même côté de $O$ ; si $k < 0$, elle est de l'autre côté.
  3. Un rapport $k$ multiplie les longueurs par $|k|$, les aires par $k^2$ et les volumes par $|k|^3$.

Définition et construction

À savoir — homothétie de centre O et de rapport k

Le point $M'$, image de $M$, est aligné avec $O$ et $M$, et vérifie $OM' = |k| \times OM$. Pour $k > 0$, $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $O$ ; pour $k < 0$, il est de l'autre côté.

Comment faire — construire une image

1. Tracer la droite $(OM)$.
2. Reporter $|k| \times OM$ à partir de $O$.
3. Choisir le côté d'après le signe de $k$.

Exemple guidé

Avec $k = -2$ et $OM = 3$ cm, le point $M'$ est sur la droite $(OM)$, à $6$ cm de $O$, du côté opposé à $M$.

Ce qu'une homothétie conserve

Règle — les propriétés

Elle conserve les angles, l'alignement, le parallélisme et les rapports de longueurs. Elle ne conserve pas les longueurs, sauf si $|k| = 1$. L'image d'une droite est une droite parallèle.

Astuce

Une homothétie de rapport $-1$ est exactement une symétrie centrale de centre $O$.

Agrandissement et réduction

Règle — longueurs, aires, volumes

Dans un agrandissement de rapport $k$ : longueurs $\times |k|$, aires $\times k^2$, volumes $\times |k|^3$.

Exemple guidé

Une maquette à l'échelle $\dfrac{1}{20}$ d'un bâtiment : les longueurs sont $20$ fois plus petites, les surfaces $400$ fois, les volumes $8\,000$ fois.

Piège à éviter

Doubler les dimensions d'un solide ne double pas son volume : cela le multiplie par huit. C'est une erreur classique dans les exercices de contenance.

Vérifiez que vous savez faire

  • construire l'image d'un point par une homothétie
  • tenir compte du signe du rapport
  • citer ce que conserve une homothétie
  • calculer l'effet d'un rapport sur une aire
  • calculer l'effet d'un rapport sur un volume

On nous pose souvent ces questions

Que se passe-t-il quand le rapport d'une homothétie est négatif ?

L'image se trouve de l'autre côté du centre par rapport au point de départ. Un rapport égal à moins un correspond exactement à une symétrie centrale.

Une homothétie conserve-t-elle les longueurs ?

Non, sauf si la valeur absolue du rapport vaut 1. Elle conserve en revanche les angles, l'alignement et le parallélisme.

Si l'on double les dimensions d'un solide, que devient son volume ?

Il est multiplié par huit, car les volumes varient comme le cube du rapport.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Télécharger cette fiche en PDFVersion imprimable, sans la figure interactive.