Troisième · fiche 6 sur 12

Fonctions linéaires et affines

Q: Quelle différence entre fonction linéaire et fonction affine ?

La fonction linéaire s'écrit ax et traduit une proportionnalité : sa droite passe par l'origine. La fonction affine s'écrit ax + b et ne passe par l'origine que si b est nul.

Q: Comment calculer un coefficient directeur ?

On divise la différence des ordonnées de deux points par la différence de leurs abscisses, dans le même ordre.

Q: Comment trouver b sur un graphique ?

C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.

Une fonction affine se représente toujours par une droite. Deux nombres suffisent à la décrire entièrement : sa pente et son point de départ.

L'essentiel en trois points

Fonction linéaire : $f(x) = ax$, droite passant par l'origine.
Fonction affine : $f(x) = ax + b$, droite d'ordonnée à l'origine $b$.
Le coefficient directeur se calcule par $a = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

Les définitions

À savoir — linéaire et affine

Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ : elle traduit une situation de proportionnalité, et sa droite passe par l'origine.

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$. Elle est linéaire si $b = 0$, et constante si $a = 0$.

Piège à éviter

Seule la fonction linéaire correspond à une proportionnalité. Avec $b \neq 0$, doubler $x$ ne double pas $f(x)$.

La représentation graphique

Règle — lire $a$ et $b$

$b$ est l'ordonnée à l'origine : la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe vertical.

$a$ est le coefficient directeur : quand on avance de $1$ vers la droite, la droite monte de $a$ si $a>0$, descend de $|a|$ si $a<0$.

Comment faire — calculer le coefficient directeur

À partir de deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ :

$$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Exemple guidé

Une droite passe par $(1\ ;\ 5)$ et $(4\ ;\ 14)$ : $a = \dfrac{14-5}{4-1} = 3$. Puis $5 = 3\times1 + b$ donne $b = 2$, donc $f(x) = 3x + 2$.

Tracer une droite

Comment faire — la méthode la plus sûre

On calcule deux images, on place les deux points, on trace. Un troisième point sert de vérification : s'il n'est pas aligné, un calcul est faux.

Fonctions et pourcentages

À savoir — le lien

Augmenter de $t\%$ revient à appliquer la fonction linéaire de coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$, diminuer de $t\%$ celle de coefficient $1 - \dfrac{t}{100}$.

Exemple guidé

Une remise de $25\%$ correspond à $f(x) = 0{,}75x$. Pour un article à $60$ €, le prix soldé est $45$ €.

Vérifiez que vous savez faire

distinguer fonction linéaire et fonction affine
lire $a$ et $b$ sur une représentation graphique
calculer un coefficient directeur à partir de deux points
déterminer l'expression d'une fonction affine
traduire une évolution en pourcentage par une fonction linéaire

On nous pose souvent ces questions

Quelle différence entre fonction linéaire et fonction affine ?

La fonction linéaire s'écrit ax et traduit une proportionnalité : sa droite passe par l'origine. La fonction affine s'écrit ax + b et ne passe par l'origine que si b est nul.

Comment calculer un coefficient directeur ?

On divise la différence des ordonnées de deux points par la différence de leurs abscisses, dans le même ordre.

Comment trouver b sur un graphique ?

C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Tous les cours de maths en TroisièmeLa page qui rassemble toutes les ressources du niveau.
Les exercices corrigés : Fonctions linéaires en TroisièmeLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
Le QCM du chapitre : Fonctions linéaires et affines en TroisièmeDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.

Télécharger cette fiche en PDFVersion imprimable, sans la figure interactive.