Troisième · fiche 4 sur 12
Équations et inéquations
Une inéquation se résout comme une équation, avec une seule différence, mais décisive : multiplier ou diviser par un nombre négatif retourne le sens de l'inégalité.
L'essentiel en trois points
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
- $x^2 = a$ admet deux solutions si $a > 0$, une seule si $a = 0$, aucune si $a < 0$.
- Diviser une inéquation par un nombre négatif change le sens du symbole.
Équations-produits
$A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$.
$(2x-6)(x+4) = 0$ donne $x = 3$ ou $x = -4$.
On factorise d'abord. $x^2 - 9 = 0$ s'écrit $(x+3)(x-3) = 0$, d'où $x = -3$ ou $x = 3$.
Équations du type $x^2 = a$
Si $a > 0$ : deux solutions, $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$.
Si $a = 0$ : une seule solution, $x = 0$.
Si $a < 0$ : aucune solution, un carré n'est jamais négatif.
Oublier la solution négative est très fréquent : $x^2 = 25$ a deux solutions, $5$ et $-5$.
Les inéquations
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans rien changer. En revanche, multiplier ou diviser par un nombre négatif impose de retourner le symbole d'inégalité.
$-3x + 7 \le 1$ donne $-3x \le -6$, puis, en divisant par $-3$ : $x \ge 2$.
On hachure la partie exclue sur une droite graduée, et on marque le crochet : fermé pour $\le$ ou $\ge$, ouvert pour $<$ ou $>$. L'ensemble des solutions s'écrit ici $[2\ ;\ +\infty[$.
Vérifiez avec une valeur : $x = 5$ donne $-15 + 7 = -8 \le 1$, c'est cohérent. $x = 0$ donnerait $7 \le 1$, faux — l'intervalle trouvé est le bon.
Vérifiez que vous savez faire
- résoudre une équation-produit nul
- factoriser pour se ramener à un produit nul
- résoudre une équation du type $x^2 = a$ sans oublier de solution
- résoudre une inéquation en retournant le symbole si nécessaire
- représenter et écrire l'ensemble des solutions
On nous pose souvent ces questions
Combien de solutions a l'équation x² = a ?
Quand faut-il retourner le symbole d'une inéquation ?
Comment écrire l'ensemble des solutions d'une inéquation ?
Travailler ce chapitre plus loin
Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.
- Le cours complet : Les équations et inéquations en TroisièmeLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
- Les exercices corrigés : Les équations en TroisièmeLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
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