Troisième · fiche 7 sur 12
Statistiques et probabilités
Les statistiques décrivent ce qui a été observé, les probabilités anticipent ce qui pourrait arriver. Les deux se rejoignent quand le nombre d'essais devient grand.
L'essentiel en trois points
- Moyenne, médiane et étendue décrivent trois aspects différents d'une même série.
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
- Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin.
Les indicateurs statistiques
Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\sum n_ix_i}{\sum n_i}$, sensible aux valeurs extrêmes.
Médiane : partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux.
Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Série : $2\ ;\ 3\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 28$. Moyenne $8$, médiane $3$, étendue $26$. La moyenne à elle seule donnerait une image trompeuse de cette série.
Séries regroupées en classes
On remplace chaque classe par son centre, puis on calcule la moyenne pondérée. Le résultat est approché, puisqu'on ignore la répartition à l'intérieur de chaque classe.
Les probabilités
En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$, et $0 \le P(A) \le 1$. De plus $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Expériences à deux épreuves
On écrit une probabilité sur chaque branche. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées. Pour un événement formé de plusieurs chemins, on additionne les résultats.
Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes ; on tire deux boules avec remise.
$P(\text{deux rouges}) = \dfrac35 \times \dfrac35 = \dfrac{9}{25}$.
$P(\text{une de chaque}) = \dfrac35\times\dfrac25 + \dfrac25\times\dfrac35 = \dfrac{12}{25}$.
Attention à la mention « avec remise » ou « sans remise » : sans remise, les probabilités de la seconde épreuve changent, car il reste une boule de moins.
Fluctuation
Sur un petit nombre de lancers, la fréquence observée s'écarte souvent de la probabilité. Plus le nombre d'essais augmente, plus elle s'en rapproche : c'est ce qui justifie de modéliser une expérience réelle par des probabilités.
Vérifiez que vous savez faire
- calculer moyenne, médiane et étendue d'une série
- interpréter ces indicateurs ensemble
- calculer la moyenne d'une série regroupée en classes
- construire et exploiter un arbre pondéré
- distinguer un tirage avec remise d'un tirage sans remise
On nous pose souvent ces questions
Pourquoi utiliser plusieurs indicateurs statistiques ?
Comment calculer une probabilité sur un arbre pondéré ?
Quelle différence entre un tirage avec remise et sans remise ?
Travailler ce chapitre plus loin
Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.
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