Troisième · fiche 2 sur 12

Puissances et notation scientifique

En troisième, les puissances servent surtout à manipuler des nombres très grands ou très petits sans se perdre dans les zéros.

L'essentiel en trois points

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, à condition que la base soit la même.
Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$.
Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare d'abord les exposants.

Règle — les règles de calcul

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$ ; $(ab)^n = a^nb^n$ ; $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ; $a^0 = 1$.

Piège à éviter

Ces formules supposent la même base. $2^5 \times 3^5$ ne vaut pas $6^{10}$ mais $6^5$.

Exemple guidé

$\dfrac{(10^{-3})^2 \times 10^8}{10^{-1}} = \dfrac{10^{-6} \times 10^8}{10^{-1}} = \dfrac{10^2}{10^{-1}} = 10^3$.

Règle — la forme attendue

$a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ entier relatif.

Comment faire — y mettre un nombre

On déplace la virgule pour n'avoir qu'un chiffre non nul devant, et on compte de combien de rangs on l'a déplacée.

$0{,}000\,45 = 4{,}5 \times 10^{-4}$ et $328\,000 = 3{,}28 \times 10^5$.

Comment faire — comparer deux écritures scientifiques

On compare d'abord les exposants ; à exposants égaux, on compare les nombres devant.

$7{,}2\times10^5 < 1{,}1\times10^6$ car $5 < 6$, même si $7{,}2 > 1{,}1$.

À savoir — ordre de grandeur

L'ordre de grandeur est la puissance de $10$ la plus proche. Celui de $7{,}2\times10^5$ est $10^6$, celui de $2{,}1\times10^5$ est $10^5$.

Astuce

Les ordres de grandeur permettent de vérifier un résultat de physique ou de géométrie sans refaire le calcul exact.

On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant l'emporte. À exposants égaux seulement, on compare les nombres placés devant.

0,0001. L'exposant négatif indique un nombre petit, obtenu en divisant par dix puissance quatre.

C'est la puissance de dix la plus proche du nombre. Il sert à vérifier rapidement la vraisemblance d'un résultat sans refaire le calcul exact.

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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