Troisième · fiche 3 sur 12

Calcul littéral et identités remarquables

Les trois identités remarquables sont des raccourcis : elles évitent de développer à chaque fois, et surtout elles permettent de factoriser là où rien d'autre ne marche.

L'essentiel en trois points

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Développer

Règle — les trois identités

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Exemple guidé

$(3x+5)^2 = 9x^2 + 30x + 25$ ; $(2x-7)^2 = 4x^2 - 28x + 49$ ; $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$.

Piège à éviter

$(a+b)^2$ ne vaut pas $a^2 + b^2$. Le double produit $2ab$ manque presque toujours : testez avec $a = b = 1$, $(1+1)^2 = 4$ et non $2$.

Factoriser

Comment faire — les deux pistes

1. Chercher un facteur commun.
2. Sinon, reconnaître une identité remarquable lue de droite à gauche.

Exemple guidé

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ : différence de deux carrés.

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ : carré parfait, car $25 = 5^2$ et $10x = 2 \times x \times 5$.

$9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.

Astuce

Pour reconnaître un carré parfait, vérifiez que le terme du milieu vaut bien le double produit des racines des deux termes extrêmes. Sans cette vérification, on factorise à tort.

Enchaîner les deux techniques

Exemple guidé

$5x^2 - 45 = 5(x^2 - 9) = 5(x+3)(x-3)$ : d'abord le facteur commun, ensuite l'identité.

Application au calcul mental

Astuce

$101^2 = (100+1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$, et $99 \times 101 = (100-1)(100+1) = 10\,000 - 1 = 9\,999$.

Vérifiez que vous savez faire

développer avec les trois identités remarquables
reconnaître une différence de deux carrés
vérifier qu'une expression est un carré parfait
enchaîner facteur commun et identité remarquable
utiliser une identité pour un calcul mental

On nous pose souvent ces questions

Quelles sont les trois identités remarquables ?

Le carré d'une somme, le carré d'une différence et le produit d'une somme par une différence, qui donne une différence de deux carrés.

Pourquoi (a+b)² ne vaut-il pas a² + b² ?

Parce que le double produit 2ab est oublié. Avec a et b égaux à 1, le carré de la somme vaut 4 et non 2.

Comment reconnaître un carré parfait à factoriser ?

On vérifie que les deux termes extrêmes sont des carrés et que le terme du milieu vaut exactement le double produit de leurs racines.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Le cours complet : Calcul littéral en TroisièmeLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
Les exercices corrigés : Calcul littéral en TroisièmeLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
Le QCM du chapitre : Calcul littéral en TroisièmeDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.

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