Terminale · fiche 8 sur 12
Loi binomiale
La loi binomiale compte les succès dans une répétition d'épreuves identiques et indépendantes. Trois conditions à vérifier avant de l'employer.
L'essentiel en trois points
- Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
- $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
- $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.
Le schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès de probabilité $p$ et échec de probabilité $1-p$.
Un schéma de Bernoulli répète $n$ fois cette épreuve de façon identique et indépendante.
Un tirage sans remise ne convient pas : les épreuves ne sont plus indépendantes, puisque la composition de l'urne change. Vérifiez ce point avant toute application de la formule.
La loi binomiale
Si $X$ compte le nombre de succès, alors $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\ ;\ p)$ et :
$$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \quad \text{pour } 0 \le k \le n$$$p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'un chemin précis comportant $k$ succès ; $\dbinom{n}{k}$ compte le nombre de ces chemins dans l'arbre.
On lance $10$ fois une pièce équilibrée. $P(X = 4) = \dbinom{10}{4}\left(\dfrac12\right)^{10} = \dfrac{210}{1024} \approx 0{,}205$.
Espérance et variance
$E(X) = np$ ; $V(X) = np(1-p)$ ; $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.
L'espérance se retient sans calcul : sur $100$ lancers d'une pièce, on attend $50$ piles.
Calculer des probabilités cumulées
« Au moins un succès » : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
« Au plus $k$ » : $P(X \le k)$, obtenu à la calculatrice.
« Strictement plus de $k$ » : $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$.
La frontière entre $\le$ et $<$ change le résultat. Traduisez l'énoncé en inégalité avant de toucher la calculatrice.
Vérifiez que vous savez faire
- vérifier les conditions d'un schéma de Bernoulli
- reconnaître une situation modélisée par une loi binomiale
- calculer $P(X=k)$ avec la formule
- calculer espérance, variance et écart type
- traduire une phrase en probabilité cumulée
On nous pose souvent ces questions
Quelles conditions faut-il vérifier avant d'utiliser la loi binomiale ?
D'où vient le coefficient binomial dans la formule ?
Comment calculer la probabilité d'au moins un succès ?
Travailler ce chapitre plus loin
Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.
- Le cours complet : Probabilités et loi binomiale en TerminaleLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
- Tous les exercices de maths en TerminaleLa page qui rassemble toutes les ressources du niveau.
- Le QCM du chapitre : Loi binomiale en TerminaleDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.
Télécharger cette fiche en PDFVersion imprimable, sans la figure interactive.