Terminale · fiche 9 sur 12

Sommes de variables aléatoires et concentration

Répéter une expérience et faire la moyenne réduit la dispersion. C'est ce que quantifient les inégalités de concentration.

L'essentiel en trois points

$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ toujours ; $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Pour la moyenne $M_n$ de $n$ variables identiques : $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$.
Loi des grands nombres : $M_n$ se concentre autour de $\mu$ quand $n$ grandit.

Espérance et variance d'une somme

Règle — les règles

$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$, sans condition.

$V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ uniquement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

$E(aX) = aE(X)$ et $V(aX) = a^2V(X)$.

Piège à éviter

La linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse, celle de la variance en demande une. C'est la distinction la plus souvent oubliée.

Échantillon et moyenne

Règle — les résultats

Soient $X_1, \ldots, X_n$ indépendantes et de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. Posons $S_n = X_1+\ldots+X_n$ et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$.

$E(S_n) = n\mu$ et $V(S_n) = n\sigma^2$.

$E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$.

Astuce

Le point essentiel : la variance de la moyenne est divisée par $n$. Multiplier la taille de l'échantillon par $100$ divise l'écart type par $10$.

Les inégalités de concentration

Règle — Bienaymé-Tchebychev

Pour tout $\delta > 0$ : $P\big(|X - E(X)| \ge \delta\big) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

Règle — inégalité de concentration

Appliquée à la moyenne : $P\big(|M_n - \mu| \ge \delta\big) \le \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$.

Exemple guidé

Avec $\sigma^2 = 4$ et $\delta = 0{,}5$, pour $n = 1000$ : $P\big(|M_n-\mu| \ge 0{,}5\big) \le \dfrac{4}{1000\times0{,}25} = 0{,}016$.

La loi des grands nombres

Règle — énoncé

Pour tout $\delta>0$, $P\big(|M_n-\mu| \ge \delta\big)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini : la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance.

Astuce

C'est la justification théorique des simulations : une fréquence observée sur un grand nombre de répétitions est une bonne estimation de la probabilité.

Vérifiez que vous savez faire

appliquer la linéarité de l'espérance
savoir quand additionner les variances
calculer espérance et variance d'une moyenne d'échantillon
appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
interpréter la loi des grands nombres

On nous pose souvent ces questions

Peut-on toujours additionner les espérances ?

Oui, la linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse. En revanche, additionner les variances exige que les variables soient indépendantes.

Que devient la variance d'une moyenne d'échantillon ?

Elle est divisée par la taille de l'échantillon. Multiplier cette taille par cent divise donc l'écart type par dix.

Que dit la loi des grands nombres ?

Que la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance. C'est ce qui justifie d'estimer une probabilité par une fréquence observée.

Travailler ce chapitre plus loin

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