Terminale · fiche 1 sur 12
Suites : limites et récurrence
Deux outils nouveaux : la récurrence, pour démontrer une propriété vraie à tout rang, et les théorèmes de comparaison, pour obtenir une limite sans la calculer.
L'essentiel en trois points
- Une récurrence se rédige toujours en trois temps : initialisation, hérédité, conclusion.
- Une suite croissante et majorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
- $\lim q^n = 0$ si $|q|<1$, et $+\infty$ si $q>1$.
Le raisonnement par récurrence
Initialisation : vérifier la propriété au rang initial.
Hérédité : supposer $P(n)$ vraie pour un $n$ quelconque fixé, et démontrer $P(n+1)$.
Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n \ge n_0$.
L'initialisation n'est pas une formalité. Une propriété peut être héréditaire sans jamais être vraie : « $2^n > 2^n + 1$ » se transmet de $n$ à $n+1$, et pourtant elle est fausse partout.
Dans l'hérédité, écrivez explicitement ce que vous supposez et ce que vous voulez obtenir. Le calcul consiste ensuite à relier les deux.
Limites de suites
$\lim n = +\infty$, $\lim \sqrt{n} = +\infty$, $\lim \dfrac1n = 0$.
Pour $q^n$ : la limite vaut $0$ si $-1 < q < 1$, $+\infty$ si $q > 1$, et il n'y a pas de limite si $q \le -1$.
Quatre formes n'ont pas de réponse immédiate : $\infty-\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$, $\dfrac00$. Il faut alors transformer l'écriture, en factorisant par le terme dominant.
Les théorèmes de comparaison
Si $u_n \ge v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.
Théorème des gendarmes : si $v_n \le u_n \le w_n$ et si $v_n$ et $w_n$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $u_n$ converge vers $\ell$.
$u_n = \dfrac{\sin n}{n}$ vérifie $-\dfrac1n \le u_n \le \dfrac1n$. Les deux bornes tendent vers $0$, donc $\lim u_n = 0$.
Le théorème de la limite monotone
Une suite croissante et majorée converge. Une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$. Énoncés symétriques pour les suites décroissantes.
Ce théorème garantit l'existence de la limite, mais ne la donne pas. Pour l'obtenir, on résout ensuite $\ell = f(\ell)$ quand la suite vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$.
Vérifiez que vous savez faire
- rédiger un raisonnement par récurrence complet
- justifier l'utilité de l'initialisation
- déterminer la limite d'une suite géométrique
- lever une forme indéterminée par factorisation
- appliquer le théorème des gendarmes et celui de la limite monotone
On nous pose souvent ces questions
Pourquoi l'initialisation d'une récurrence est-elle indispensable ?
Que dit le théorème de la limite monotone ?
Quand utiliser le théorème des gendarmes ?
Travailler ce chapitre plus loin
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