Terminale · fiche 6 sur 12

Intégration

Une intégrale est une aire algébrique. Le théorème fondamental la relie aux primitives, ce qui la rend calculable.

L'essentiel en trois points

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$.
Si $f \ge 0$ sur $[a;b]$, l'intégrale est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.
Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Définition et calcul

Règle — le théorème fondamental

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\ ;\ b]$ :

$$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$$

Exemple guidé

$\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac83$.

Interprétation en aire

À savoir — aire algébrique

Si $f \ge 0$ sur $[a\ ;\ b]$, l'intégrale est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$, exprimée en unités d'aire.

Si $f \le 0$, l'intégrale est l'opposé de cette aire.

Piège à éviter

Une intégrale nulle ne signifie pas que la fonction est nulle : les aires au-dessus et au-dessous de l'axe peuvent se compenser. Pour une aire géométrique, il faut découper selon le signe de $f$.

Les propriétés

Règle — les règles de calcul

Linéarité : $\displaystyle\int_a^b \big(\lambda f+g\big) = \lambda\int_a^b f + \int_a^b g$.

Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$.

Positivité : si $f \ge 0$ sur $[a\ ;\ b]$ avec $a \le b$, alors $\displaystyle\int_a^b f \ge 0$.

Comparaison : si $f \le g$, alors $\displaystyle\int_a^b f \le \int_a^b g$.

Valeur moyenne

Règle — définition

$\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : c'est la hauteur du rectangle de base $[a\ ;\ b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

Intégration par parties

Règle — la formule$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$$

Astuce

On choisit pour $u$ la fonction qui se simplifie en dérivant — un polynôme ou un logarithme — et pour $v'$ celle qui s'intègre facilement, comme une exponentielle.

Exemple guidé

$\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$ : avec $u = x$ et $v' = e^x$, on obtient $\big[xe^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e-1) = 1$.

Vérifiez que vous savez faire

calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
interpréter une intégrale comme une aire algébrique
calculer une aire en découpant selon le signe de $f$
appliquer la relation de Chasles et la linéarité
mener une intégration par parties

On nous pose souvent ces questions

Une intégrale nulle signifie-t-elle que la fonction est nulle ?

Non. Les aires situées au-dessus et au-dessous de l'axe peuvent se compenser. Pour calculer une aire géométrique, il faut découper selon le signe de la fonction.

Comment calculer une intégrale ?

On cherche une primitive de la fonction, puis on calcule la différence entre sa valeur à la borne supérieure et sa valeur à la borne inférieure.

Comment choisir u et v prime dans une intégration par parties ?

On prend pour u la fonction qui se simplifie en dérivant, souvent un polynôme ou un logarithme, et pour v prime celle qui s'intègre facilement.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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