Terminale · fiche 11 sur 12
Produit scalaire dans l'espace et équations de plans
Un plan se décrit par un point et un vecteur normal. Les coefficients de son équation cartésienne donnent directement ce vecteur.
L'essentiel en trois points
- $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'+zz'$.
- Le plan $ax+by+cz+d=0$ admet $\vec{n}(a ; b ; c)$ comme vecteur normal.
- Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.
Le produit scalaire dans l'espace
$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'+zz'$ en coordonnées, et $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ avec l'angle.
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Vecteur normal et équation de plan
Un vecteur $\vec{n}$ est normal à un plan s'il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a\ ;\ b\ ;\ c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AM}\cdot\vec{n} = 0$, ce qui donne une équation $ax+by+cz+d = 0$.
Réciproquement, on lit le vecteur normal directement dans l'équation : pour $2x-3y+z-5 = 0$, c'est $\vec{n}(2\ ;\ -3\ ;\ 1)$.
Plan passant par $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ de normal $\vec{n}(3\ ;\ 1\ ;\ -2)$ : $3(x-1)+1(y-0)-2(z-2) = 0$, soit $3x+y-2z+1 = 0$.
Si le plan est donné par deux vecteurs directeurs, on cherche $\vec{n}(a\ ;\ b\ ;\ c)$ orthogonal aux deux : cela donne un système de deux équations à trois inconnues, dont on prend une solution non nulle.
Positions relatives
Si $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ : la droite est parallèle au plan, incluse ou non. Sinon, elle le coupe en un unique point, obtenu en substituant la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
Ils sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, sécants sinon — leur intersection est alors une droite.
Distance d'un point à un plan
$d(A\ ;\ \mathcal{P}) = \dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
La valeur absolue au numérateur n'est pas décorative : une distance est toujours positive.
Vérifiez que vous savez faire
- calculer un produit scalaire dans l'espace
- lire un vecteur normal dans une équation de plan
- déterminer l'équation cartésienne d'un plan
- étudier la position relative d'une droite et d'un plan
- calculer la distance d'un point à un plan
On nous pose souvent ces questions
Comment lire un vecteur normal dans l'équation d'un plan ?
Comment savoir si une droite est parallèle à un plan ?
Comment calculer la distance d'un point à un plan ?
Travailler ce chapitre plus loin
Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.
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