Terminale · fiche 5 sur 12

Primitives et équations différentielles

Chercher une primitive, c'est remonter la dérivation. Toutes les primitives d'une même fonction ne diffèrent que d'une constante.

L'essentiel en trois points

$F$ est une primitive de $f$ si $F' = f$.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$.

Définition

À savoir — primitive

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable et $F' = f$ sur $I$. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Règle — unicité à une constante près

Si $F$ est une primitive de $f$, les autres sont exactement les $F + k$, avec $k$ constante. Une condition du type $F(x_0) = y_0$ en détermine une seule.

Les primitives usuelles

Règle — le tableau

$f(x) = x^n \Rightarrow F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $f(x) = \dfrac1x \Rightarrow F(x) = \ln|x|$ ; $f(x) = e^x \Rightarrow F(x) = e^x$ ; $f(x) = \cos x \Rightarrow F(x) = \sin x$ ; $f(x) = \sin x \Rightarrow F(x) = -\cos x$.

Règle — formes composées

$u'u^n \Rightarrow \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{u} \Rightarrow \ln|u|$ ; $u'e^u \Rightarrow e^u$.

Astuce

Le réflexe qui fait gagner du temps : repérer si la fonction ressemble à $u' \times$ quelque chose en $u$. C'est le cas le plus fréquent au bac.

Exemple guidé

$f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2+1$, donc $F(x) = \ln(x^2+1)$.

Piège à éviter

Il n'existe pas de formule pour la primitive d'un produit ou d'un quotient quelconque. Si l'expression ne rentre dans aucune forme du tableau, il faut la transformer d'abord.

Les équations différentielles

Règle — y' = ay

Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, avec $C$ constante réelle.

Règle — y' = ay + b

Les solutions sont $x \mapsto Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, pour $a \neq 0$. Le terme $-\dfrac{b}{a}$ est la solution constante particulière.

Exemple guidé

$y' = -2y+6$ : la solution constante est $y = 3$, donc les solutions sont $y = Ce^{-2x}+3$. Avec $y(0) = 5$, on trouve $C = 2$ et $y = 2e^{-2x}+3$.

Vérifiez que vous savez faire

vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre
déterminer les primitives des fonctions usuelles
reconnaître une forme composée $u'u^n$, $\dfrac{u'}{u}$ ou $u'e^u$
déterminer la primitive vérifiant une condition initiale
résoudre une équation différentielle $y'=ay+b$

On nous pose souvent ces questions

Une fonction a-t-elle une seule primitive ?

Non, elle en a une infinité, qui diffèrent d'une constante. Une condition initiale permet d'en sélectionner une seule.

Quelles formes composées faut-il savoir reconnaître ?

Les expressions du type u prime fois u puissance n, u prime divisé par u, et u prime fois exponentielle de u.

Quelles sont les solutions de y prime égale a y plus b ?

Les fonctions de la forme C fois exponentielle de a x, diminuée de b sur a, où C est une constante déterminée par la condition initiale.

Travailler ce chapitre plus loin

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